小波理论译文

1、研究生英文文献阅读翻译报告姓名：专业：导师签字：小波理论Alan B Marc1小波理论的解释小波理论是：通过一系列的特殊信号为一个信号、系统或者过程建立一个模型，并与数 学理论相结合。特别信号只是小波。它们必须振荡和有一定振幅，并能在正负方向上很快衰 减为零。为了满足所需的振荡条件，必须选择正弦信号。快速衰减的条件是一个放缓或窗口 操作。两个条件必须同时满足，才能成为一个小波。小波的周期有限，而且平均值为零。不 像正弦波（傅立叶分析的基础）是平稳和可预见的，小波往往是不规则的和不对称的。我们通过一系列小波来逼近一个信号，这个小波集的每个小波都是由同一个函数，即原 小波通过平移和伸缩来构建的，

2、这个函数称为母小波。小波理论是通过把信号分解成许多相 关的部分来代替原信号。当分解的部分是分层并平移的小波时，这个过程就叫做小波分解或 小波变换。小波重构或逆小波变换就是把各部分小波集合到一起，以撷取原有的信号。作为小波变换的一个形象比喻，可以看看用星望望远镜观看天空。通过一个透镜（母小 波）在多视野（小波系数）、不同层次（焦距或者分辨率）及多视角上观察天空。在不同的尺 度和平移（焦距和位置）上，我们得到了天空的一个新视野（小波系数）。大部分信号属于一维信号，除了一维信号，小波分析可以应用到两维数据（图像）， 而且可以处理高维数据。小波分析能够揭示数据的不同方面，其他信号分析技术，如信号的 趋

3、势、间断点、在较高微分量上的不连续性和自相似性，这是其他分析工具做不到的。2小波变换和傅立叶变换小波变换与较常用的傅立叶变换或傅立叶级数有关。傅立叶模型是指数函数在不同的频 率上的函数的加权总和。每一个不同的频率上的加权值是该频率的傅立叶系数。类似的，小 波模型是母函数经尺度变换和平移后的函数的加权之和。小波变换中母小波取代指数函数， 尺度和平移取代频率变换，二维小波系数取代一维傅立叶系数。有一种方法可以看看傅立叶变换和小波变换的时频分析的差别，那就是看看时频面上基 函数的覆盖面。下图所示窗口傅立叶变换（WFT），那里的窗口是方波。方波窗口截断正弦或 余弦函数，以适应一个特定的宽度的窗口。在W

4、FT中，因为一个窗口用于所有频率，所以在 时频平面的各个地方该分辨率是相同的。小波变换的一个优点是窗函数是变化的。为了识别出信号的不连续性，我们需要非常短的基函数。同样，为了获得详细的频率分析，我们需要很长的基函数。达到这种要求的途径 之一是用短的高频基函数和长的低频基函数。而通过小波变换就可以达到这种要求。这个图 显示了 Daubechies小波在时频面的覆盖情况。小波变换有无穷多基函数。因此，小波能分析 其他时频分析方法，如傅立叶分析，所处理不了的信号。小波是一种数学函数，把信号分成 不同的频率成分，然后在不同尺度上对每部分进行分辨率分析。概括地说，傅立叶变换提供了一些信息，让我们知道在何

5、时及在什么频率信号发生了。 缺点是窗口大小是固定的，因此，提供的信息只有有限的精度。因此我们更喜欢用这种函数: 在低频信号处选用较大的时域窗，在高频部分采用较小的时域窗。这是因为许多信号需要灵 活的处理方法。小波变换可以做到这一点，通过在高频采用短函数和在低频采用长窗函数。3小波的多分辨率分析由于小波分析可以在时间以及频率都可以较好的局部化，它可以处理非平稳（瞬态）信 号，即非常自然和人为作出的信号，而且更有效。因此它更紧凑，更容易实现。小波提供多 分辨率分析。它是这样定义的：我们可以用不同分辨率上的各部分信号的有限和来代替一个 原信号。这样的话，我们就可以根据应用的目的来处理各个部分信号。这

6、样就可以紧凑的和 在不同分辨率上代替原信号，用于分解和重构的目的。对于大部分的用户来说，这是最有趣 的问题。小波有一个或两个参数。因为小波有这么多的约束，而且这种约束与信号无关，而 大多与数学和计算的局限性有关。因此我们不能盲目的选择小波。小波通常是基于此进行选 择：“如果您得到您需要的，那就是他了，如果没有，那么尝试其他”。最常用的实用小波 是Daubechies小波。Haar小波实际上是一个微分算子。Daubechiesl相当于Haar。如上所述，小波有一非常重要的参数。这个参数定义了两件事：支撑长度和消失矩。支 撑长度是小波的长度，这将影响局部化的能力。小波越长，当计算任何位置的幅度时所

7、要考 虑的时间序列就越多。平均的情况会更容易发生，和DFT中的类似。消失矩的阶数始终与支 撑长度成一定比例。消失矩的阶数定义了序列中将被忽略的多项式阶数。当我们越来越感觉到在不同尺度上测量平均值的方法更能不受噪音影响时，研究人员的 注意力开始从基于频率分析的傅立叶变换转到基于尺度分析的小波变换上来。首次提到我们 现在称之为“小波”的东西，似乎是由阿尔弗雷德哈尔在1909年提出。JeanMorlet首次提 出以现在这种理论形式出现的小波概念。小波分析方法主要由Y. Meyer和他的同事所发展， 从而确保了小波方法的传播。主要的方法可以追溯到1988年的Stephane Mallat的著作。从那

8、时开始，国际上开始研究小波，并以 Ingrid Daubechies Ronald Coifman 和 Victor Wickerhauser 为先锋。基于试验结果，我们可能需要选择任何一种小波。我们可以看看小波db1（Daubechies1）， 因为它的细节系数给出了信号的急速变化，并给出了过渡状态（加速或者减速）。利用小波， 我们可以制定和实施一算法来分解一个信号。在小波基的空间集束性和光滑度之间，不同的 小波集需要作出不同的折中。小波变换包括一无限集合。许多小波，如Daubechies小波，都 有分形结构。小波集内部是由系数大小和迭代阶数来进行区分的小波子集合。小波集内部的各个小波 是由

9、消失矩来分类的。信号处理包括以下处理：把一些物理现象（即反射光，紧缩肌肉，空 气运动）变成一个“信号”（或反之亦然），决定信号的条件和处理信号以提取或编码所 需的信息，并对提取信息进行解释或处理。小波去噪4.1噪音在研究不同的降噪技术之前，有必要的澄清什么是噪音。真实世界的数据采集系统的噪 音分布是未知的。我们已经看到，小波变换在不同的应用领域，如分类，压缩，和估计中是不可缺少的。 小波的一个关键性能是它能为许多不同的信号群提供不受任何影响的小波基。因此，小波扩 展中的大部分信号信息由相当数量的大小波系数所表征。小波变换的这一属性使小波特别适 合于信号去噪。已经表明，小波可以比以前使用的方法更

10、有效地消除噪音。这个噪音可能受到几个因素 的影响，包括传输的中断，数据收集的不完善，录音质量，实验误差等，毫无疑问，在实际 去噪中，小波降噪会继续影响这个领域。建立模型的目的不是预测就是分类采样数据，在许多情况下，在问题域中可能发生自然变 化。从分散的数据中消除噪音会随着研究的角度不同而不同。如果散乱数据没有噪音，那么 问题将是插值。当存在信号时，大部分方法的本质是:我们能用一类提前选择好的函数去逼近 我们想逼近的未知信号。在噪声未知的情况下，有一些函数已经被提前选择好进行信号逼近， 该方法被称为“非参数回归”。4.2小波去噪去噪经常是实现一个算法，来得到一个参数或者一些参数，这些参数控制着所

11、得模型的 偏差和方差的折中。方差大概和系数的个数成正比，而偏差是由略去一些不为零的系数造成 的。这些参数在一些情况下被称为平滑参数。如果这些参数的数值都过小，则噪声方差将是 决定性因素。如果这些参数值选择过大，那么偏差将会占据数据内容，从而引起高频信号的 丢失。小波变换可以用来信号降噪。这是通过在嘈杂的数据中运用小波变换，对那些低于某一 个数值的小波系数进行阈值选择，然后逆变换得到顺畅的原始数据。这个过程被Donoho和 Johnstone称为的“小波收缩”。在许多系统中，会用到加性高斯白噪声这个概念。这种噪音具有高斯概率密度函数和白 功率谱密度函数（噪音分布在整个频谱），并且是线性叠加到我们

12、所要分析的各种信号上。那些与数据打交道的科学家与工程师在现实生活中所得到的信号都含有噪声。在理想情 况下，对于很多实际应用，当噪声小得可以忽略时，就没有必要去噪。然而，我们常常要去除 噪声以恢复原信号，以便于进一步分析。那么，应该在时域还是应该在变换域进行去噪呢？ 如果是在变换域，我们应该用傅立叶变换以进行时频分析还是要用小波变换进行多分辨率分 析呢？ 一些小波的热衷者这样说：小波变换给当代信号与图像处理带来了新的革命。保守的 人则认为只是对变换库作了一些补充。一种叫做小波收缩的去噪方法让这些推崇者成小波就 是我们要找的方法，它摆脱了最优化困扰，可以普遍应用。如果没有真实的具有说服力的证 据，这些持怀疑态度的人是不会愿意接受这些说法的。另我们高兴的是越来越多的文章开始 解决这一问题，从而更能客观评价小波收缩去噪的用途。让我们通过一系列的试验和例子， 来研究这个小波方法。小波的应用小波理论可以应用于许多领域，如语音分析，图像分析，生物医学成像，理论数学，物 理，数据压缩，通信系统，控制系统，石油勘探和地震遥感，声纳，天气预报