曲线积分与曲面积分例题解析

1、曲线积分与曲面积分 1第一型线面积分2222 .例1 求f(xy+yz + zx)ds,其中L是球面x十y+z = a与平面x+y十z = 0的交线。L1 .解法 1 (xy yz zx)ds 2(xy yz zx)dsL2 l解法2求曲线L的参数方程。由 x2+y2+z2=a2, x + y+ z = 0消去y ,得2即(x -)2 =a-(1-3z2)222a2令 z = J|asin t ,则于是得到两组参数方程我们可任选一组，例如第一组。显然，被积函数和L都具有轮换对称性，则解法3作坐标旋转。就坐标是 (x, y),新坐标是(X,Y),旋转角为e ,则旋转变换的一般公式为x = X c

2、os日-Y sin 8 , y = X sin 8 +Y cos81因为平面x+y+z=0的单位法矢为n =1,1,1,则它与z轴的夹角余弦为31cos4 =尸。下面分两步进行旋转，先将Oxy平面旋转一，得新坐标系Ou vz；再将Ozu平, 34面旋转巾，得新坐标系 Ouvw。即由旋转公式得于是得 x1 ,.:(u c o s -v ws i n )在这组变换曲线 L： x2+y2+z2=a2, x + y+ z =0 变为 u2 +v2 + w2 = a2 , w = 0,3故 (xy + yz +zx)ds =3 xyds = 一 f(u cos4 v)(ucos4 +v)dsLL2l注1

3、三种解法各具特点：解法1技巧性强，直接利用了几何意义，而不必化为定积分。解法2常规的方法，即写出参数方程套公式计算定积分这里主要难在第一步，写参数方程。通过解法2,给出了一种求参数方程的方法。解法3先通过坐标旋转，将问题转化为另一个与之等价的问题，再按常规的方法计算。Oxyz坐标系下的线积分 O u v彼标系下的线积分写出参数方程一套公式一计算定积分在新的坐标下，曲线有简单的参数方程。这个解法表明，可以适当地转化问题，例如作 坐标旋转，从而获得简单的参数方程。 2第二型线面积分例1计算曲线积分I = J(y2 -z2)dx + (z2 -x2)dy+ (x2 _y2)dz,LL是球面三角形x2

4、+y2+z2=1, x0, y0, z a 0的边界线，从球的外侧看去，L的方向为逆时针方向； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 222222L是球面x +y +z =a和枉面x +y = ax(a a 0)的交线位于 Oxy平面上万的部分，从x轴上(b,0,0)(b a)点看去，L是顺时针方向。解 (1)显然，L具有轮换对称性，且被积表达式也具有轮换对称性，将L分为三段22L1 ： x+y =1,z=0 (x0,y 0).22L2 ： y+z =1,x=0 (y0,z 0).22L3： x+z =1,y=0 (x0

5、,z 0)贝UI= (y2-z2)dx(z2 - x2)dy (x2- y2)dzL或I= (y2z2)dx(z2 x2)dy (x2-y2)dzL注1这里利用轮换对称性使计算化简，都是写为某积分的3倍。它们的区别在于第一种方法：积分表达式不变，积分化为L1上的积分的3倍。 TOC o 1-5 h z 第二种方法：积分曲线 L不变，积分化为表达式中第一项积分的3倍。问题1是否可化为既是 L1上的积分的3倍，又是表达式中第一项积分的3倍，即(2)曲线关于 Ozx平面对称，且方向相反同理(x2 - y2)dz =(x2 一 y2)dz = (x2 一 y2)dz = 0lL,y 0L,yi0222

6、22222、.故 I = (y z )dx (z x )dy (x -y )dz = (z -x )dyLL下面求曲线 L的参数方程。方法1利用球面的参数方程x=acos8sine, y = asinHsine, z=acose,代入柱面方程 x2+y2 = ax得sine=cos日，于是得 L的参数方程 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document x = a cos 0 , y = asin a cos6 , z = a | sine |, e 从:至U -a aa万法2 利用柱面的参数万程 x = 十 cos日，y = sine ,代入球面方程 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 2 222222x +y +z =a，得L的参数方程a a. a .x = 十cosH,y= sine, z = a|sin|, 日从 2n 至 U 0 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 2 222不妨取方法1中的参数方程进行计算，注2这里利用对称性（不是轮换对称性），立即可知前两项的积分为0。值得注意的是第二