图形相似专题练习含答案解析

1、-. z图形的相似1如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于ABCD2图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是A点PB点OC点MD点N3ABCDEF，相似比为3：1，且ABC的周长为18，则DEF的周长为A2B3C6D544如图，ABC中，ABAC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行请填上一个你认为适宜的条件：，使ADEABC不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！5如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q1请写出图中各对相似三角形相似比为1除外；2求BP

2、：PQ：QR6计算：|3|+0+cos23024sin607计算：2sin45+208计算：|+40sin309如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得CBD=60，假设牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度计算结果准确到0.1米，1.73210在我市迎接奥运圣火的活动中，*校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰角为45，测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度计算结果准确到0.1米，参考数据：1.414，1.73212明媚的一天，数学兴趣小组

3、的同学们去测量一棵树的高度这棵树底部可以到达，顶部不易到达，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案1所需的测量工具是：；2请在图中画出测量示意图；3设树高AB的长度为*，请用所测数据用小写字母表示求出*13我国南方局部省区发生了雪灾，造成通讯受阴如图，现有*处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38，塔基A的俯角为21，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高准确到0.1米14如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5，CB=12，AD是ABC的角平

4、分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE1求证：AC=AE；2求AD的长15如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E，2，连接AE，ED1求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；2假设以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下列图网格中画出放大后的五边形AEDCB；3经过A，E，D三点的抛物线能否由1中的抛物线平移得到.请说明理由16*县社会主义新农村建立办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图，甲，乙两村坐落在夹角为

5、30的两条公路的AB段和CD段村子和公路的宽均不计，点M表示这所中学点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村*处和乙村*处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村线段CD*处，甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村线段AB*处，请你在图中，画出铺设到乙村*处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短.17

6、如图，在RtABC中，C=90，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB，交折线BCCA于点G点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停顿运动，点Q也随之停顿设点P，Q运动的时间是t秒t01D，F两点间的距离是；2射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两局部.假设能，求出t的值；假设不能，说明理由；3当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；4连接PG，当PGAB时，请直接写出t的值18如图，E是A

7、BCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明图形的相似参考答案与试题解析1如图，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MNAC于点N，则MN等于ABCD【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AMBC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长【解答】解：连接AM，AB=AC，点M为BC中点，AMCM三线合一，BM=CM，AB=AC=5，BC=6，BM=CM=3，在RtABM中，AB=5，BM=3，根据勾股定理得：AM

8、=4，又SAMC=MNAC=AMMC，MN=应选：C【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边2图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是A点PB点OC点MD点N【考点】位似变换【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心即位似中心一定在对应点的连线上【解答】解：点P在对应点M和点N所在直线上，应选A【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心考察位似图形的概念3ABCDEF，相似比为3：1，且ABC的周

9、长为18，则DEF的周长为A2B3C6D54【考点】相似三角形的性质【专题】压轴题【分析】因为ABCDEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长【解答】解：ABCDEF，相似比为3：1ABC的周长：DEF的周长=3：1ABC的周长为18DEF的周长为6应选C【点评】此题考察对相似三角形性质的理解1相似三角形周长的比等于相似比；2相似三角形面积的比等于相似比的平方；3相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比4如图，ABC中，ABAC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行请填上一个你认为适宜的条件：B=1或，使ADEABC不再添加其他的

10、字母和线段；只填一个条件，多填不给分！【考点】相似三角形的判定【专题】压轴题；开放型【分析】此题属于开放题，答案不唯一注意此题的条件是：A=A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可【解答】解：此题答案不唯一，如C=2或B=1或【点评】此题考察了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题5如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q1请写出图中各对相似三角形相似比为1除外；2求BP：PQ：QR【考

11、点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质【专题】几何综合题【分析】此题的图形比拟复杂，需要仔细分析图形1根据平行四边形的性质，可得到角相等BPC=BRE，BCP=E，可得BCPBER；2根据ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PCQRDQ，PABRDQ根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系【解答】解：1四边形ACED是平行四边形，BPC=BRE，BCP=E，BCPBER；同理可得CDE=ACD，PQC=DQR，PCQRDQ；四边形ABCD是平行四边形，BAP=PCQ，APB=CPQ，PCQPAB；PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ2四边形ABCD和四边形AC

12、ED都是平行四边形，BC=AD=CE，ACDE，BC：CE=BP：PR，BP=PR，PC是BER的中位线，BP=PR，又PCDR，PCQRDQ又点R是DE中点，DR=RE，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR=3：1：2【点评】此题考察了相似三角形的判定和性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，则这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，则这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似6计算：|3|+0+cos23024sin60【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值【专题】计算题【分析】

13、根据实数的有关运算法则计算【解答】解：原式=【点评】此题考察实数的根本运算，难度适中72021计算：2sin45+20【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值【专题】计算题；压轴题【分析】此题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算注意：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；二次根式的化简是根号下

14、不能含有分母和能开方的数8计算：|+40sin30【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简【专题】计算题【分析】此题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点在计算时，需要针对每个考点分别进展计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：原式=3+1=2【点评】此题考察实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算注意：任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数9如图，小明站在A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，这时测得CBD=60，假设牵引

15、底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面高度计算结果准确到0.1米，1.732【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】计算题；压轴题【分析】由题可知，在直角三角形中，知道角以及斜边，求对边，可以用正弦值进展解答【解答】解：在RtBCD中，CD=BCsin60=20=10又DE=AB=1.5，CE=CD+DE=CD+AB=10+1.518.8答：此时风筝离地面的高度约是18.8米【点评】此题考察直角三角形知识在解决实际问题中的应用10在我市迎接奥运圣火的活动中，*校教学楼上悬挂着宣传条幅DC，小丽同学在点A处，测得条幅顶端D的仰角为30，再向条幅方向前进10米后，又在点B处测得条幅顶端D的仰

16、角为45，测点A、B和C离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D点距离地面的高度计算结果准确到0.1米，参考数据：1.414，1.732【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】应用题【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；此题涉及到两个直角三角形RtBCD、RtACD，应利用其公共边DC构造方程关系式，进而可解即可求出答案【解答】解：在RtBCD中，tan45=1，CD=BC在RtACD中，tan30=，3CD=CD+10CD=+513.66米条幅顶端D点距离地面的高度为13.66+1.44=15.1米【点评】此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形

17、12明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度这棵树底部可以到达，顶部不易到达，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案1所需的测量工具是：皮尺，标杆；2请在图中画出测量示意图；3设树高AB的长度为*，请用所测数据用小写字母表示求出*【考点】相似三角形的应用【专题】方案型；开放型【分析】树比拟高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在下出现的影子来解决【解答】解：1皮尺，标杆；2测量示意图如下图；3如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，DEFBAC，【点评】此题运用相似三角形的知识

18、测量高度及考察学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力此题答案有多种，测量方案也有多种，如1皮尺、标杆、平面镜；2皮尺、三角尺、标杆13我国南方局部省区发生了雪灾，造成通讯受阴如图，现有*处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38，塔基A的俯角为21，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15米，求折断前发射塔的高准确到0.1米【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【专题】应用题【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；此题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案【解答】解：作BDAC于D在RtADB中，sinAB

19、D=AD=ABsinABD=15sin215.38米3分cosABD=BD=ABcosABD=15cos2114.00米5分在RtBDC中，tanCBD=CD=BDtanCBD14.00tan3810.94米8分cosCBD=BC=17.77米10分AD+CD+BC5.38+10.94+17.77=34.0934.1米11分答：折断前发射塔的高约为34.1米12分注意：按以下方法进展近似计算视为正确，请相应评分假设到最后再进展近似计算结果为：AD+CD+BC=34.1；假设解题过程中所有三角函数值均先准确到0.01，则近似计算的结果为：AD+CD+BC5.40+10.88+17.66=33.9

20、433.9【点评】此题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形14如图，在RtABC中，ACB=90，AC=5，CB=12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE1求证：AC=AE；2求AD的长【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理【专题】计算题；压轴题【分析】1由圆O的圆周角ACB=90，根据90的圆周角所对的弦为圆的直径得到AD为圆O的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形ADE为直角三角形，又AD是ABC的角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆O的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得

21、CD=ED，利用HL可证明直角三角形ACD与AED全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证；2由三角形ABC为直角三角形，根据AC及CB的长，利用勾股定理求出AB的长，由第一问的结论AE=AC，用ABAE可求出EB的长，再由1AED=90，得到DE与AB垂直，可得三角形BDE为直角三角形，设DE=CD=*，用CBCD表示出BD=12*，利用勾股定理列出关于*的方程，求出方程的解得到*的值，即为CD的长，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理即可求出AD的长【解答】解：1ACB=90，且ACB为圆O的圆周角，AD为圆O的直径90的圆周角所对的弦为圆的直径，AED=90直径所对的圆周

22、角为直角，又AD是ABC的BAC的平分线，CAD=EAD角平分线定义，CD=DE在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，在RtACD和RtAED中，RtACDRtAEDHL，AC=AE全等三角形的对应边相等；2ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，根据勾股定理得：AB=13，由1得到AED=90，则有BED=90，设CD=DE=*，则DB=BCCD=12*，EB=ABAE=ABAC=135=8，在RtBED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即12*2=*2+82，解得：*=，CD=，又AC=5，ACD为直角三角形，根据勾股定理得：AD=【点评】此题考察了圆周角定理，勾股定理，

23、以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，此题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的灵活运用圆周角定理及勾股定理是解此题的关键15如图，矩形ABCD的长，宽分别为和1，且OB=1，点E，2，连接AE，ED1求经过A，E，D三点的抛物线的表达式；2假设以原点为位似中心，将五边形AEDCB放大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的3倍，请在下列图网格中画出放大后的五边形AEDCB；3经过A，E，D三点的抛物线能否由1中的抛物线平移得到.请说明理由【考点】作图位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质【专题】压轴题

24、；网格型【分析】1A，E，D三点坐标，可用一般式来求解；2延长OA到A，使OA=3OA，同理可得到其余各点；3根据二次项系数是否一样即可判断两个函数是否由平移得到【解答】解：1设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=a*2+b*+cA1，E，2，D2，1分，解之，得过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=2*2+6*4分2如图7分3不能，理由如下：8分设经过A，E，D三点的抛物线的表达式为y=a*2+b*+cA3，E，6，D6，解之，得a=2，aa经过A，E，D三点的抛物线不能由1中的抛物线平移得到8分【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变a的值16

25、*县社会主义新农村建立办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段村子和公路的宽均不计，点M表示这所中学点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村*处和乙村*处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村线段CD*处，甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，

26、并求其最小值；方案三：供水站建在甲村线段AB*处，请你在图中，画出铺设到乙村*处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短.【考点】作图应用与设计作图【专题】压轴题；方案型【分析】1由题意可得，供水站建在点M处，根据垂线段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村*处和乙村*处的管道长度之和的最小值为MB+MD，求值即可；2作点M关于射线OE的对称点M，则MM=2ME，连接AM交OE于点P，且证明P点与D点重合，即AM过D点求出AM的值即是铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的值；3作点M关于射线OF的对称点M，作MNOE于N点，交OF于点G，

27、交AM于点H，连接GM，则GM=GM，可证得N，D两点重合，即MN过D点求GM+GD=MD的值就是最小值【解答】解：方案一：由题意可得：A在M的正西方向，AMOE，BAM=BOE=30，又BMA=60MBOB，点M到甲村的最短距离为MB，1分点M到乙村的最短距离为MD，将供水站建在点M处时，管道沿MD，MB线路铺设的长度之和最小，即最小值为MB+MD=3+km；3分方案二：如图，作点M关于射线OE的对称点M，则MM=2ME，连接AM交OE于点P，PEAM，PE=AM，AM=2BM=6，PE=3，4分在RtDME中，DE=DMsin60=3，ME=DM=，PE=DE，P点与D点重合，即AM过D点

28、，6分在线段CD上任取一点P，连接PA，PM，PM，则PM=PM，AP+PMAM，把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA，DM线路铺设的长度之和最小，即最小值为AD+DM=AM=；7分方案三：作点M关于射线OF的对称点M，作MNOE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM，MN为点M到OE的最短距离，即MN=GM+GN在RtMHM中，MMN=30，MM=6，MH=3，NE=MH=3，DE=3，N，D两点重合，即MN过D点，在RtMDM中，DM=，MD=10分在线段AB上任取一点G，过G作GNOE于N点，连接GM，GM，显然GM+GN=GM+GNMD，把供水站建在甲村的G处，管道

29、沿GM，GD线路铺设的长度之和最小，即最小值为GM+GD=MD=，11分综上，3+，供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短12分【点评】此题主要考察线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度17如图，在RtABC中，C=90，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点点P从点D出发沿折线DEEFFCCD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QKAB，交折线BCCA于点G点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停顿运动，点Q也随之停顿设点P，Q运动的时间是t秒t01D，F两点间的距离是25；2射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两局部.假设能，求出t的值；假设不能，说明理由；3当点P运动到折线EFFC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值；4连接PG，当PGAB时，请直接写出t的值【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质【专题】压轴题【分析】1由中位线定理即可求出DF的长；2连接DF，过点F作FHAB于点H，