高考数学总复习考点知识及题型专题讲义56离散型随机变量的均值与方差

1、高考数学总复习考点知识及题型专题讲义五十六离散型随机变量的均值与方差知识梳理1.离散型随机变量的均值与方差n(2)D(X) =71 (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 例两为随机变量X的标准差.二项分布的均值、方差若 XB(n, p),则 EX=np, DX=np(1-p).两点分布的均值、方差若X服从两点分布，则 EX=p(p为成功概率)，DX = p(1-p).离散型随机变量均值与方差的性质E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b) = a2D(X) (a, b 为常数).典例剖析题型一离散型随机变量的均值与方差例1

2、已知离散型随机变量X的分布列为X123P3_3_151010则X的数学期望E(X)=.3答案2解析 E(X)=1X3+2X 3_+3X，= 15 = 3川”匚。15丁 乙 10丁。 10102.变式训练随机变量E的分布列如下，其中 a、b、c为等差数列，若 EE=；则DE的值为3 TOC o 1-5 h z E-1Pab c5答案9解析由分布列得a+ b+c=1,由期望E($ = 1得一a+c= 1, 33由a、b、c为等差数列得2b=a+c,59.由得a=2，b=J, c=J， 632 .DE解题要点 如果已知两边一角或是两角一边解三角形时，通常用正弦定理.题型二二项分布的均值与方差例2 (

3、2015广东理)已知随机变量 X服从二项分布 B(n, p),若E(X)=30, D(X) = 20,则p答案31解析 依题意可得 E(X)=np=30,且 D(X)=np(1-p) = 20,解得 p=-.3变式训练某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了 1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 X,则X的均值为 .答案 200解析记“不发芽的种子数为r ,贝U 3B(1 000, 0.1),所以 EE= 1 000X0.1 = 100,而 X=2E,故 EX=E(2 $=2EE= 200.例3 (2013福建节选)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两

4、种抽奖方案，方案甲的中奖率为2,中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为2,中奖可以获得3分；未中奖则不 35得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？E(2X1),选择方案乙抽奖累计得分的均值为解析 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(3X2), TOC o 1-5 h z 由已知可得，XiB(2, 2), X2B(2, 2), 352 42 4所以 EXi = 2X3=-, E

5、X2=2X5=5,812从而 E (2Xi )=2 EXi = , E3X2= 3EX2=至， 35因为 E(2Xi)E(3X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.方法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Xi,都选择方案乙所获得的累计得分为X2,则Xi, X2的分布列如下：X1024P144999X2036P9251225425144 8912412所以 EX1 = 0X9+2x9 + 4x9=3, EX2=0 x25 + 3X3+6x 25 = y.因为 EXEX2,所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大.解题要点 求随机变量X的均值与方差时，可首先

6、分析X是否服从二项分布，如果XB(n,p),则用公式E(X)=np； D(X)= np(1 p)求解，可大大减少计算量.题型三离散型随机变量的均值与方差有关的应用题 例4 (2015安徽理)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出 3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望).A.解析(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正

7、品”为事件P(A) =A2A3a2310.(2)X的可能取值为200, 300, 400.A21P(X=200)=A1=-,A3+C2c3A23P(X=300)= A3P(X = 400) = 1-P(X = 200)-P(X = 300)136=1一记一记，.故X的分布列为13E(X)= 200X-+300X X200300400P1103 而610卜 400X=350.10变式训练(2015四川理)某市A, B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了 3名男生、2名女生，B中学推荐了 3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3

8、人.女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取 4人参赛，设X表示参赛的男生人数， 求X 的分布列和数学期望.解析(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名，参赛学生全从 B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为 零=长,C6c6 100因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为,1991 -=100 100.p(X=1)=育=5 TOC o 1-5 h z (2)根据题意，X的可能取值为1, 2, 3, c3c31C2C2 3P(X=2)=方=5C3c31p(X=3) =育=5 所以X的分布列为X12

9、3P-3 1555 TOC o 1-5 h z 因此,X 的数学期望为 E(X)= 1 XP(X= 1)+2XP(X= 2) + 3X P(X= 3)= 1 X1 + 2X-+3X- = 2.555解题要点求离散型随机变量 E的均值与方差的方法: (1)理解E的意义，写出E可能取的全部值;(2)求E取每个值的概率;写出E的分布列;(4)由均值的定义求E(9;(5)由方差的定义求 D(?.当堂练习. (2015安徽理)若样本数据xi, X2,，xio的标准差为8,则数据2xi1, 2x21,，2xio 1的标准差为.答案 16解析 已知样本数据x1，x2,，x10的标准差为s=8,则s2 = 6

10、4,数据2x11, 2x21,， 2x10 1的方差为22s2= 22X 64,所以其标准差为 ,22X 64 = 2X 8= 16.某射手射击所得环数E的分布列如下：78910Px0.10.3y已知E的均值EE=8.9,则y的值为.答案 0.4x+ 0.1 + 0.3 + y= 1解析由可彳#y=0.4.7x+8X 0.1 + 9X 0.3+10y=8.9 TOC o 1-5 h z 、一 ，1 一.设随机变量 E的分布列为P(E= k)=-(k=2, 4, 6, 8, 10)则DE等于.5答案 8解析EE= g(2 + 4+6+8 + 10)=6, D) = 1( - 4)2+(-2)2+

11、 02+22+42= 8.55. 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6,现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X的均值为 .答案 2.376解析 X的所有可能取值为3, 2, 1, 0,其分布列为X3210P0.60.240.0960.064 .EX = 3X 0.6+2X 0.24+1 X 0.096 + 0X 0.064=2.376.I ，一 一，_1 L5.(2014局考浙江卷)随机变量E的取值为0,1,2.若匕卫=0)=.E(尸1,则D(?=5答案25解析设 P( E= 1)= a, P( E= 2)= b,15+ a+ b=1,则5解得a+2b= 1,3 a

12、=5.1 b=5，一一, 1 312所以 D(A5+3X31 工.课后作业一、填空题.设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4, 一人的上班途中有 3个交通岗，则此人遇红灯的次数的期望为 .答案 1.2解析 二.途中遇红灯的次数 X服从二项分布，即 XB(3, 0.4), E(X)=3X 0.4=12.若E是离散型随机变量，3升2,则.E(r)= 3E(?+2, D(=9D(9E(r)=3E(3, D(力=9D(?E(r)= 3E(?+2, D(=9D(9+2E(r)=3E(3, D(力=9D(?+4答案.签盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的六支签，从中任意取3支，

13、设X为这3支签的号码之中最大的一个，则 X的数学期望为 .答案 5.25解析 由题意可知，X可以取3, 4, 5, 6,11八 C33L C23C C21P(X=3)=CT20 P(X=4)=C1=20, P(X=5) = cI=io, P(X=6)=C3=2.由数学期望的定义可求得E(X) = 3X20+4x20+5X130+6X2 = 5.25.4.若随机变量E的分布列如下表，则 E(9的值为.012345P2x3x7x2x3xx答案290解析根据概率和为1求出120 x=宿，E( 9= 0X 2x+ 1 X 3x+ 2 X 7x+ 3 X 2x+ 4X 3x+ 5 X x= 40 x=.

14、5.由以往的统计资料表明，甲、乙两运动员在比赛中得分情况为：a(甲得分)012P(& = xi)0.20.50.3被乙得分)012P(垣=xi)0.30.30.4答案 0.7现有一场比赛，派哪位运动员参加较好？ .答案甲解析 E(&)=E(&)=1.1, D(Ei) = 1.12x 0.2+ 0.12X0.5+ 0.92X0.3= 0.49, D( 2)= 1.12 X 0.3 + 0.12X 0.3+0.92 X 0.4=0.69, -D( &)4+(0-0)2X+ (2-0)2x4= 2.二、解答题. (2015重庆理)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，

15、肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A) =C2c1c50r=14.(2)X的所有可能值为0, 1, 2,且c87,、 c2c87c、c2c11P(X=0)=C10= P(X=1)=1T= P(X=2)=嬴=行.综上知，X的分布列为X012P715715115故 E(X)=0 xj1 xZ+2X, = 3)151515 5( 1 ) ,. (2015天津理)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择 4人参加比赛.(1)设A为事件“选出