浙教版七年级下册第2章二元一次方程第1讲二元一次方程组培优讲义(含解析)

1、第2章 二元一次方程第1讲 二元一次方程组命题点一：二元一次方程的定义【思路点拨】二元一次方程需满足三个条件：是整式方程；方程中共含有两个未知数；所有未 知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程.例1若（nn- 1）x+10y12mv 11 =250是关于x的二元一次方程，则 m的值是（B）A. 0或1B.0 C.1 D.任何数例 2 若 3x3m+ 5n+9+ 4y4m 2n-7=2 是关于 x,y的二元一次方程，则 ?等于（D）7A- 3命题点二：解二元一次方程组例3解下列方程组:(2)5x 2y = 4,2x3y= 5.4x 3y=17, y=75x.解:x = 2

2、, y= 3.解:x= 2, y=3.【思路点拨】对于（3）,运用整体叠加法解；对于（4）,可以整体设元后解决.2 017x 2 018y = 2 016,2 016x 2 015y = 2 017.2x+3y 2x-3y4+32x+ 3y2x 3y7,8.解：2 017x 2 018y = 2 016 ,2 016x-2 015y = 2 017.一，得 x 3y=1. + ，得 4 033x 4 033y = 4 033,即 xy=1.一,得2y=2,解得y=1.把y= 1代入，得x=2,则方程组的解为/y=1.设 2x + 3y = a, 2x3y = b,则a= 60,解得b= 24.

3、即2x + 3y=60,2x 3y= 24.，b= 74 37a b- 3+ 2=8则方程组的解为x = 9, y = 14.3x+ 2y + z=l3, (5) x + y + 2z=7,2x+ 3y z=12.x=2,解：y=22-531将丫=d代入，得x=，则方程组的解为5315312 y = 531.3x 2y + z = 6, (5) 2x + 3y z=11, x+2y + z = 8.，z= 1.例4解下列方程组：2ab=32, a3b=1.解:a=19, b=6.3(x-1) =y+5,x+22y-1+ 1.217x + 314y = 2, 314x + 217y = 2.x

4、= 6, y=10.217x+314y=2,314x+217y=2.4 小十 ,得 531(x+y)=4,即 x+y=. 53 1_ _4X217 -23(x + y) - 5(x-y) = 16, ) 2(x + y) + (x y) =15.一X 217,彳4 97y=2-53/，解得 y=可.解:x = 4.y=3.x = 3,解：y=2, z= 1.命题点三：方程组的解一一、，一、aix+biy = c, - 一 , x=5, 一，、-例5(1)若关于x,y的方程组的解为则方程组 TOC o 1-5 h z a2x+bzy = C2y=6,5ai(x1)+3bi(y+1) =4c,x=

5、5,、- 的解为-5a2(x1)+3b2(y+1) =4c2- y=7 一7mx-p y 5,x c,(2)甲、乙两人同时解方程组甲解题看错了中的m,解得 2 乙2xny= 13.y= 2,x = 3、x = 2、解题时看错中的n,解得y_7,则原方程组的解为匕丁例6(1)如果关于 x , y的二元一次方程组ax + by = 2 + a1，a2x b2y = 4+a2x= 2, A.y=3的解为(C)x= 1 ,BCy=3(2)已知方程组2x + 5y= 26, axby = 4和方程组ax + by = 2,a2x b2y = 4的解为x= 1.那么方程组 y=2,x = 2,x = 1,

6、D.y=2y=23x 5y = 36, bx+ay= 8的解相同，则b2a的值是-3命题点四：整数解问题【思路点拨】求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解例7阅读下列材料，然后解答后面的问题.我们知道方程2x + 3y = 12有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解.例：由 2x + 3y=12,得 y= 12 = 4 2x.( x, y 为正整数)，、则有 0 x0,6.又y = 4 2x为正整数，则2x为正整数. 332由2与3互质，可知x为3的倍数，从而x = 3,代入y = 4 ,x=2.32x + 3y= 12的正整数解为x= 3, y=2.x=

7、 1.x= 2.(1)请你写出方程 2x+y=5的一组正整数解： y3 三(只要写出其中的一组即 可).(2)若目为自然数，则满足条件的x值有(C) x 2A. 2个 B.3个 C .4个 D.5个(3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？解：设购买单价为3元的笔记本m本，单价为5元的钢笔n支.根据题意，得3m+ 5n=35,其中m, n均为正整数.35-3m-3 /日变形，得 n=-=7-rn,得55m 0,3.,0m0.353 由于n = 7m为正整数，则三m为正整数，可知 m为5的倍数. 55. .当 m=

8、 5 时，n=4；当 m= 10 时，n=1.答：有两种购买方案：购买单价为 3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；购买单 价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支.2x - ay = 6,例8(北京“迎春杯”竞赛题)已知关于x, y的方程组的解是整数，a是正整数,4x + y = 7那么a的值为 2.命题点五：解含参的二元一次方程组【思路点拨】本题是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样， 在方程两边同时乘或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.例9已知关于x, y的方程组”3y+1 有无数个解，则m的值为9.6xm什 3=0 例10已知关于

9、x, y的方程组ax + 2y = 1, 2x+ 3y = b.当a, b为何值时，方程组有唯一解?(2)当a, b为何值时，方程组无解？(3)当a, b为何值时，方程组有无穷解? TOC o 1-5 h z 一 ，4一解：(1)当aw.时，万程组有唯一解.3(2)当a= 4, bw3时，方程组无解. 323.(3)当a=a，b=5时，方程组有无分解. 32课后练习.已知关于x, y的方程xn-2+ 4y*n+1= 6是二元一次方程，则 m, n的值为(A)A. m= 1, n= 1 B , m= - 1, n = 1 C , m=n=4D , m= -1, n=:，333，33a +2b=4

10、、. (2019 南通)已知a, b满足方程组 , 则a+b的值为 (A) 2a+3b=6,A. 2 B, 4 C .2 D.4 TOC o 1-5 h z ,- x + 2y uk,、，.已知万程组的解满足xy=3,则k的值为(B)2x + y=1A. 2 B.2 C . 1 D.1,14x y = 5, _ 3x + y = 9,，一一，一.、，.已知万程组和有相同的解，求a, b的值(B)ax+ by = 13ax + 4by= 18A. a=2, b = 3 B . a= 11, b=7 C . a=3, b= 2 D . a=7, b=11一,，一一一,a2+ b2, (a b)(2

11、018 德州)对于实数a, b,定义运算“： ab= a例如43,因为ab.( a3,所以4.3=442+ 32 =5.若x, y满足方程组 叙 8,则x*y= 60.x + 2y=29,(2018 滨州)若关于x, y的二元一次方程组3x m尸 5,2x + ny = 6一仁一x=1,i,、，一的解是 则关于a, b的二兀y = 2,次方程组3( a+ b) m(a b) = 5, 2(a+b) +n(a b) =6解是3 a= 一2x = 2、 x = 4、 x = 6、7. (2019 越城区期末)3x + 2y=20的正整数解有或 或y = 7 y = 4 y= 1一，-x+2y =

12、k,，、8. （2019 天台期末）已知关于x, y的方程组2x + 3y_3k_1有以下结论：当卜=。时，方x= 2._.x=3k 2.一.程组的解是1；万程组的解可表示为y=-k；不论k取什么实数,x + 3y的值始终不变.其中正确的有 .（填序号）9.根据要求，解答下列问题.（1）解下列方程组.（直接写出方程组的解即可）x + 2y= 3,2x+y=3的解为x= 1 、y=1 13x + 2y=10,x = 2,?2x + 3y=10的解为金2xy=4,x = 4,d y 的解为 1x + 2y = 4 y = 4（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为x = y（3）请你构造

13、一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.3x + 2y=25, 解：2x + 3y=25,解为 y5,5.,E X = 1，一、，一一、一I.2 I.,1一一 ，、.，一10.如果 是关于x, y的万程（ax+by12） + | aybx+1| =0的解，求a, b的值. y=2x= 1，、一,2 -. 一解：把 y 2 代入万程，得（a+2b12） +| 2a b+1| =0.,- 、，a+2b12 = 0,又根据非负数性质，得方程组2。.b+l = 0,a = 2, 解得b = 5.、斗 ，、2x + 5y=3, 一,11 .阅读材料：善于思考的小军在解方程组八时，米用了一种“整体

14、代换”的4x+11y = 5 解法:解：将方程变形，得4x+10y + y = 5,即2(2x + 5y) +y = 5.把方程代入，得2X3 + y = 5. . y = - 1.把y=1代入，得x=4.方程组的解为x = 4, y= 1.请你解决以下问题:(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组3x 2y = 5,9x 4y=19. (2(2)已知x, y满足方程组3x2 2xy + 12y2=47, 222x+xy+8y =36.求x2 + 4y2的值.解：(1)把方程变形，得3(3x 2y) + 2y=19.把代入，得15+2y=19,即y = 2.把y= 2代入，得x=3,则方程组的解为x = 3, y=2.由，得 3(x2+4y2) =47+ 2xy,22 47 + 2xy即 x + 4y3把代入，得2X47+ 2xy=36 xy.3解得xy = 2,贝(J x2 + 4y2=17.一一、-x+ay+1=0, ，.关于x, y的方程组有无数组解，则a, b的值为(均bx 2y+1 = 0A. a=0, b = 0 B . a= 2