【核按钮】（新课标）2017高考数学一轮复习立体几何 8.7 空间向量的坐标表示、运算及应用习题 理

1、空间向量的坐标表示、运算及应用1空间向量根本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组_，使得_其中，a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c都叫做_2空间直角坐标系(1)如果空间的一个基底的三个基向量_，且长都为_，那么这个基底叫做单位正交基底，常用eq blcrc(avs4alco1(i，j，k)来表示(其中eq blc|rc|(avs4alco1(i)eq blc|rc|(avs4alco1(j)eq blc|rc|(avs4alco1(k)1)(2)在空间选定一点O和一个单位正交基底eq blcrc(avs4alco1(i，j，k)，以O为原点，分别以i，j，

2、k的方向为正方向建立三条数轴：_，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫做原点，向量i，j，k都叫做坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面(3)建系时，一般使xOy135(或45)，yOz90，建立_手直角坐标系(4)在空间直角坐标系中有一点A，假设eq o(OA,sup6()xiyjzk，那么有序实数组_叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作_其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的_3空间向量的直角坐标运算设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，a，b是非零向量，那么(1)向量加法：a

3、b_(2)向量减法：ab_(3)数乘：a_(4)数量积：ab_(5)平行：ab(b0)_x1x2，_，_(6)垂直：ab_(7)向量a的模eq blc|rc|(avs4alco1(a)_(8)向量a与b夹角公式：cosa，beq f(ab,blc|rc|(avs4alco1(a)blc|rc|(avs4alco1(b)_(9)点坐标和向量坐标：假设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，那么eq o(AB,sup6()_，线段AB的长度dABeq blc|rc|(avs4alco1(o(AB,sup6()_4直线的方向向量(1)与直线l_的非零向量a叫做直线l的方向向量(2)空间中任

4、意一条直线l，可以通过l上的一个定点A和l的一个方向向量a来确定设点P是l上的任意一点，那么l有向量表示形式_，其中t为实数，这种形式叫做直线的点向式注意同一条直线的点向式表示不唯一5平面的法向量和法向量的求法(1)平面的法向量平面，直线l，取直线l的方向向量a，那么_叫做平面的法向量(2)平面的法向量的求法设出平面的法向量为n(x，y，z)；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)；根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ；解方程组，取其中的一个解，即得法向量由于一个平面的法向量有_个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量6利用

5、空间向量表示立体几何中的平行、垂直和夹角 设直线l，m的方向向量为a，b，平面，的法向量分别为u，v，那么(1)线线平行：lm_(2)线线垂直：lm_(3)线面平行：l_(4)线面垂直，方法一：l_；方法二：假设e1，e2为平面的一组基底，那么leq blc(avs4alco1(ae1，,ae2)ae1ae20.(5)面面平行：_(6)面面垂直：_(7)线线夹角：l，m的夹角为eq blc(rc)(avs4alco1(0f(,2)，cos (8)线面夹角：l，的夹角为eq blc(rc)(avs4alco1(0f(,2)，sin (9)面面夹角：，的夹角为eq blc(rc)(avs4alco

6、1(0f(,2)，cos 注意：(1)这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合；(2)这里的线线夹角、线面夹角、面面夹角都是按照相关定义给出的，即0eq f(,2)，而二面角的大小是指两个半平面的张开程度，这可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围为_，假设设u，v的夹角为，当u，v均指向二面角内部或外部时(如图1)，二面角的大小为，coscos()coseq f(uv,blc|rc|(avs4alco1(u)blc|rc|(avs4alco1(v)；当u，v一个指向二面角内，另一个指向二面角外时(如图2)，二面角的大小为，coscoseq f(uv,blc|rc

7、|(avs4alco1(u)blc|rc|(avs4alco1(v).7距离(1)点到直线的距离设过点P的直线l的方向向量为单位向量n，A为直线l外一点，点A到直线l的距离d_(如图3)图3图4(2)点到平面的距离设P为平面内的一点，n为平面的法向量，A为平面外一点，点A到平面的距离d (如图4)(3)线面距离、面面距离都可以转化为_自查自纠1.eq blcrc(avs4alco1(x，y，z)pxaybzc基底基向量2(1)两两垂直1(2)x轴，y轴，z轴(3)右(4)(x，y，z)A(x，y，z)竖坐标3(1)(x1x2，y1y2，z1z2)(2)(x1x2，y1y2，z1z2)(3)(x

8、1，y1，z1)(4)x1x2y1y2z1z2(5)aby1y2z1z2(6)ab0 x1x2y1y2z1z20(7)eq r(aa)eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)zeq oal(2,1)(8)eq f(x1x2y1y2z1z2,r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)zeq oal(2,1)r(xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)zeq oal(2,2)(9)(x2x1，y2y1，z2z1)eq r(x2x12y2y12z2z12)4(1)平行且非零(2)eq o(AP,sup6()ta5(1)向量a(2)eq blc(avs4alco1(

9、naa1xb1yc1z0，,nba2xb2yc2z0)无数6(1)abakb，kR(2)abab0(3)auau0(4)auaku，kR(5)uvukv，kR(6)uvuv0(7)eq f(blc|rc|(avs4alco1(ab),blc|rc|(avs4alco1(a)blc|rc|(avs4alco1(b)(8)eq f(blc|rc|(avs4alco1(au),blc|rc|(avs4alco1(a)blc|rc|(avs4alco1(u)(9)eq f(blc|rc|(avs4alco1(uv),blc|rc|(avs4alco1(u)blc|rc|(avs4alco1(v)07(

10、1)eq r(blc|rc|(avs4alco1(o(PA,sup6()2_blc|rc|(avs4alco1(o(PA,sup6()n)2)(2)eq f(blc|rc|(avs4alco1(o(PA,sup6()n),blc|rc|(avs4alco1(n)(3)点到面的距离 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)，给出以下4条表达：点P关于x轴的对称点的坐标是(x，y，z)；点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，y，z)；点P关于y轴的对称点的坐标是(x，y，z)；点P关于原点的对称点的坐标是(x，y，z)其中正确的个数是()A3 B2 C1 D0解：易知错误，仅正确，应选C. 假设向

11、量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，且(ca)2b2，那么x()A4 B2 C4 D2解：a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)，ca(0，0，1x)，2b(2，4，2)(ca)2b2(1x)2，解得xD. 假设直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，那么l与的位置关系为()Al BlCl Dl与斜交解：a(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即an.l.应选B. (eq avs4al(2021哈尔滨质检)空间中三点A(1，0，0)，B(2，1，1)，C(0，1，2)，那么点C到直线AB的距离为_解：eq o(AB,sup6()

12、(1，1，1)，eq o(AC,sup6()(1，1，2)，coseq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(AC,sup6()|)eq f(4,r(3)r(6)eq f(2r(2),3)，sineq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(1,3)，点C到直线AB的距离d|eq o(AC,sup6()|sineq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(r(6),3).故填eq f(r(6),3). 2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，

13、|b|12，那么以b，c为方向向量的两直线的夹角为_解：由题意得，(2ab)c0102010，即2acbc10.又ac4，bc18.cosb，ceq f(bc,|b|c|)eq f(18,123)eq f(1,2)，b，c120，两直线的夹角为60.故填60.类型一空间向量坐标的根本运算a(1，5，1)，b(2，3，5)(1)假设(kab)(a3b)，求实数k的值；(2)假设(kab)(a3b)，求实数k的值解：kab(k2，5k3，k5)，a3b(7，4，16)(1)(kab)(a3b)，eq f(k2,7)eq f(5k3,4)eq f(k5,16)，解得keq f(1,3).(2)(ka

14、b)(a3b)，(k2)7(5k3)(4)(k5)(16)0，解得keq f(106,3).【点拨】利用向量平行的性质：ab(b0)abx1x2，y1y2，z1z2可求解第(1)问的k值；利用向量垂直的性质：abab0 x1x2y1y2z1z20建立方程可求第(2)问的k值空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，设aeq o(AB,sup6()，beq o(AC,sup6().(1)假设|c|3且ceq o(BC,sup6()，求c；(2)求a和b的夹角的余弦值；(3)假设kab与ka2b互相垂直，求k的值解：(1)eq o(BC,sup6()(2，1，2)，ceq o(

15、BC,sup6()，cmeq o(BC,sup6()m(2，1，2)(2m，m，2m)(mR)|c|eq r(2m2m22m2)3|m|3，m1.c(2，1，2)或c(2，1，2)(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1.又|a|eq r(121202)eq r(2)，|b|eq r(120222)eq r(5)，cosa，beq f(ab,|a|b|)eq f(1,r(10)eq f(r(10),10).故a和b的夹角的余弦值为eq f(r(10),10).(3)由(2)知|a|eq r(2)，|b|eq r(5)，ab1.(kab)(ka2b)k2a2k

16、ab2b22k2k100，解得k2或keq f(5,2).类型二空间两直线的平行与垂直设a，b是不相交的两条直线l1，l2的方向向量，试判断以下各条件下两条直线l1，l2的位置关系：(1)aeq blc(rc)(avs4alco1(2，1，3)，beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(3,2)；(2)aeq blc(rc)(avs4alco1(5，0，2)，beq blc(rc)(avs4alco1(1，3，f(5,2)；(3)aeq blc(rc)(avs4alco1(2，1，4)，beq blc(rc)(avs4alco1(3，2，1).解：(1)由aeq blc

17、(rc)(avs4alco1(2，1，3)2eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(3,2)2b，得ab，又两条直线l1，l2没有交点，所以l1l2.(2)由于ab51032eq f(5,2)0，所以ab，从而l1l2.(3)由aeq blc(rc)(avs4alco1(2，1，4)，beq blc(rc)(avs4alco1(3，2，1)可知，不存在任何实数，使ab，且ab0，那么这两条直线l1，l2不相交、不平行也不垂直，故两条直线l1，l2是不垂直的异面直线【点拨】先考查两个方向向量是否平行或者垂直，将空间几何问题代数化，用直线的方向向量之间的计算代替传统的空间几

18、何推理，这是空间向量的最根本的作用，使用得当非常简便如下图，正方体ABCDABCD的棱长为1，E，F分别是BC，CD上的点，且BECFa(0a1)，那么DE与BF的位置关系是()A平行 B垂直C相交 D与a值有关解：建立如下图空间直角坐标系，那么D(0，0，1)，E(1a，1，0)，B(1，1，1)，F(0，1a，0)，eq o(DE,sup6()(1a，1，1)，eq o(BF,sup6()(1，a，1)eq o(DE,sup6()eq o(BF,sup6()(1a)(1)1(a)(-1)(1)a1a10.eq o(DE,sup6()eq o(BF,sup6()，即DEBF.应选B.类型三直

19、线和平面的平行与垂直(eq avs4al(2021汕头模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1eq r(2)，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C.证明：(1)建立如下图的空间直角坐标系，那么点O(1，1，0)，D1(0，0，eq r(2)eq o(OD1,sup6()(1，1，eq r(2)又点B(2，2，0)，M(1，1，eq r(2)，eq o(BM,sup6()(1，1，eq r(2)，eq o(OD1,sup6()eq o(BM,sup6().又OD1与BM不共线，OD1

20、BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，BM平面D1AC.(2)连接OB1，易知点B1(2，2，eq r(2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，eq o(OB1,sup6()(1，1，eq r(2)，eq o(AC,sup6()(2，2，0)，eq o(OD1,sup6()eq o(OB1,sup6()0，eq o(OD1,sup6()eq o(AC,sup6()0，OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，D1O平面AB1C.【点拨】用向量证明直线与平面平行，可以通过证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，也可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，当然，直线要在平面外

21、用向量证明直线和平面垂直，可以通过证明直线的方向向量和平面内的两条相交直线的方向向量分别垂直，也可以通过证明该直线的方向向量和平面的法向量平行(eq avs4al(2021安徽淮南二模)在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA13，BC2，D是BC的中点，F是CC1上一点，且CF2.(1)求证：B1F平面ADF；(2)假设eq o(C1P,sup6()eq f(1,3)eq o(C1A1,sup6()，求证：PF平面ADB1.证明：ABAC，D是BC的中点，ADBC，取B1C1的中点D1，那么DD1平面ABC，分别以CB，AD，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，ABACAA13，

22、BC2，A(0，2eq r(2)，0)，B(1，0，0)，C(1，0，0)，A1(0，2eq r(2)，3)，B1(1，0，3)，C1(1，0，3)，CF2，F(1，0，2)(1)eq o(B1F,sup6()(2，0，1)，eq o(DA,sup6()(0，2eq r(2)，0)，eq o(DF,sup6()(1，0，2)，eq o(B1F,sup6()eq o(DA,sup6()0，eq o(B1F,sup6()eq o(DF,sup6()0，B1F平面ADF.(2)eq o(C1P,sup6()eq f(1,3)eq o(C1A1,sup6()eq f(1,3)(1，2eq r(2)，0

23、)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2r(2),3)，0)，Peq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(2r(2),3)，3)，eq o(PF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，f(2r(2),3)，1).设平面ADB1的法向量为n(x0，y0，z0)，那么eq blc(avs4alco1(no(DA,sup6()0，,no(AB1,sup6()0，)有eq blc(avs4alco1(2r(2)y00，,x02r(2)y03z00，)取z01，那么n(3，0，1)eq o(PF,sup6()n0，PF平面ADB1，

24、PF平面ADB1.类型四平面和平面的平行与垂直(eq avs4al(2021安阳模拟)在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，E，F分别为棱AD，PB的中点，且PDAD.求证：平面CEF平面PBC.证明：建立如下图空间直角坐标系，那么A(1，0，0)，P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(1,2)，设平面CEF的一个法向量为n1(x，y，z)，那么eq blc(avs4alco1(n1o(EF,sup6()0，,n

25、1o(EC,sup6()0，)得eq blc(avs4alco1(f(1,2)yf(1,2)z0，,f(1,2)xy0，)取x1，那么n1eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，f(1,2).同理求得平面PBC的一个法向量为n2eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2).n1n210eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)eq f(1,2)0，n1n2.平面CEF平面PBC.【点拨】利用空间向量证明面面垂直的根本方法：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即

26、可如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点E在线段BB1上，且EB11，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点(1)求证：平面A1B1D平面ABD；(2)求证：平面EGF平面ABD.证明：以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如下图空间直角坐标系，那么B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)设BAa，那么A(a，0，0)，Geq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，4)，A1(a，0，4)(1)eq o(BA,sup6()(a，0，0)，eq o(BD,sup6

27、()(0，2，2)，eq o(B1D,sup6()(0，2，2)，eq o(B1D,sup6()eq o(BA,sup6()0，eq o(B1D,sup6()eq o(BD,sup6()0.eq o(B1D,sup6()eq o(BA,sup6()，eq o(B1D,sup6()eq o(BD,sup6()，即B1DBA，B1DBD.又BABDB，B1D面ABD.B1D面A1B1D，平面A1B1D平面ABD.(2)eq o(EG,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，1，1)，eq o(EF,sup6()(0，1，1)，eq o(B1D,sup6()(0，2，2)

28、，eq o(B1D,sup6()eq o(EG,sup6()0，eq o(B1D,sup6()eq o(EF,sup6()0.B1DEG，B1DEF.EGEFE，B1D平面EGF.又由(1)知B1D平面ABD，平面EGF平面ABD.类型五空间距离正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，求点F到平面A1D1E的距离解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如下图，那么A1(0，0，1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，Feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，0)

29、，D1(0，1，1)，eq o(A1E,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，eq o(A1D1,sup6()(0，1，0)设平面A1D1E的一个法向量为n(x，y，z)，那么eq blc(avs4alco1(no(A1E,sup6()0，,no(A1D1,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(xf(1,2)z0，,y0，)令z2，那么x1.n(1，0，2)又eq o(A1F,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，1)，点F到平面A1D1E的距离为deq f(|o(A1F,sup6()n|,|n|)eq f

30、(blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)2),r(5)eq f(3r(5),10).【点拨】利用空间向量求距离的根本方法：(1)两点间的距离设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，那么|AB|eq o(AB,sup6()|eq r(x1x22y1y22z1z22).(2)点到平面的距离如下图，AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，那么B到平面的距离为|eq o(BO,sup6()|eq f(|o(AB,sup6()n|,|n|).如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2eq r(3).求点A到平面MBC的距离解：取CD

31、中点O，连接OB，OM，那么OBCD，OMCD.又平面MCD平面BCD，那么MO平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如下图空间直角坐标系易知OBOMeq r(3)，那么各点坐标分别为O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，eq r(3)，B(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，2eq r(3)设平面MBC的一个法向量m(x，y，z)eq o(BC,sup6()(1，eq r(3)，0)，eq o(BM,sup6()(0，eq r(3)，eq r(3)，eq blc(avs4alco1(mo(BC,sup6()0，,mo(BM,sup6()0

32、，)即eq blc(avs4alco1(xr(3)y0，,r(3)yr(3)z0.)取z1，那么m(eq r(3)，1，1)又eq o(AB,sup6()(0，0，2eq r(3)，点A到平面MBC的距离deq f(blc|rc|(avs4alco1(o(AB,sup6()m),blc|rc|(avs4alco1(m)eq f(blc|rc|(avs4alco1(2r(3),r(5)eq f(2,5)eq r(15).类型六空间角度(eq avs4al(2021天津)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCDeq r(5)，且点M

33、和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，假设直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为eq f(1,3)，求线段A1E的长解：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)M，N分别为B1C和D1D的中点，Meq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，1)，N(1，2，1)(1)证明：依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，eq o(

34、MN,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)，0)，由此可得eq o(MN,sup6()n0.又直线MN平面ABCD，MN平面ABCD.(2)eq o(AD1,sup6()(1，2，2)，eq o(AC,sup6()(2，0，0)设n1(x1，y1，z1)为平面ACD1的一个法向量，那么eq blc(avs4alco1(n1o(AD1,sup6()0，,n1o(AC,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x12y12z10，,2x10.)不妨设z11，可得n(0，1，1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的一个法向量，那么eq blc(av

35、s4alco1(n2o(AB1,sup6()0，,n2o(AC,sup6()0，)由eq o(AB1,sup6()(0，1，2)，得eq blc(avs4alco1(y22z20，,2x20.)不妨设z21，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(r(10),10)，于是sinn1，n2eq f(3r(10),10).二面角D1ACB1的正弦值为eq f(3r(10),10).(3)依题意，可设eq o(A1E,sup6()eq o(A1B1,sup6()，其中0，1，那么E(0，2)，从而eq o(NE,sup6()(1，2，1)又n(0，0

36、，1)为平面ABCD的一个法向量，coseq o(NE,sup6()，neq f(o(NE,sup6()n,|o(NE,sup6()|n|)eq f(1,r(122212)eq f(1,3)，解得eq r(7)2.又0，1，eq r(7)2.线段A1E的长为eq r(7)2.【点拨】(1)当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行(2)求二面角的正弦值，可分三步，第一步：求出两个平面的法向量；第二步：求出两个法向量夹角的余弦值；第三步：由二面角范围0，知正弦值为正，由余弦值可得正弦值(3)直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为eq f(1,3)，那么直线NE的方向向量eq o(NE,

37、sup6()与平面ABCD的法向量的夹角余弦值为eq f(1,3)，由此确定点E的位置(eq avs4al(2021天津)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)假设F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解：以A为原点建立空间直角坐标系，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)(1)证明：向量eq o(BE,sup6()(0，1，1)，eq o(DC,sup6()(2

38、，0，0)，故eq o(BE,sup6()eq o(DC,sup6()BEDC.(2)向量eq o(BD,sup6()(1，2，0)，eq o(PB,sup6()(1，0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，那么eq blc(avs4alco1(no(BD,sup6()0，,no(PB,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x2y0，,x2z0.)不妨令y1，可得n(2，1，1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，eq o(BE,sup6()eq f(no(BE,sup6(),|n|o(BE,sup6()|)eq f(2,r(6)r(2)eq f(r(3),3).直

39、线BE与平面PBD所成角的正弦值为eq f(r(3),3).(3)向量eq o(BC,sup6()(1，2，0)，eq o(CP,sup6()(2，2，2)，eq o(AC,sup6()(2，2，0)，eq o(AB,sup6()(1，0，0)，由点F在棱PC上，设eq o(CF,sup6()eq o(CP,sup6()，01.故eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CF,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CP,sup6()(12，22，2)由BFAC，得eq o(BF,sup6()eq o(AC,sup6()0，因此2(12)2(22eq f(3,

40、4)，即eq o(BF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，f(3,2).设n1(x，y，z)为平面FAB的法向量，那么eq blc(avs4alco1(n1o(AB,sup6()0，,n1o(BF,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x0，,f(1,2)xf(1,2)yf(3,2)z0.)不妨令z1，可得n1(0，3，1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0，1，0)，那么cosn1，n2eq f(n1n2,|n1|n2|)eq f(3,r(10)1)eq f(3r(10),10).易知二面角FABP是锐角，其余

41、弦值为eq f(3r(10),10).1在涉及正方体、长方体、直棱柱等几何体时，通过建立空间直角坐标系，实现向量的坐标运算解决几何问题简便有效，具体步骤为：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求相关点的坐标；(3)表示向量的坐标；(4)向量的坐标运算；(5)根据运算结果的几何意义表述有关问题2通过空间向量的坐标运算可解决立体几何中平行与垂直等位置关系问题，利用数量积可计算空间角和距离等问题，要注意空间角度与向量角度之间的区别和联系，求距离往往利用公式eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq r(aa)eq r(x2y2z2)计算，也可利用eq blc|rc|(avs4alco1(a

42、e)eq blc|rc|(avs4alco1(a)eq blc|rc|(avs4alco1(cos)(e为单位向量，为a，e的夹角)来求一个向量在另一条直线上的射影长3用向量方法证明空间中的平行关系(1)线线平行证明两直线的方向向量平行(2)线面平行证明线面平行有三种方法：一是证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；二是在平面内找一向量与直线的方向向量共线；三是证明直线的方向向量可以利用平面中的两不共线向量线性表示(3)面面平行证明面面平行有两种方法：一是证明两个平面的法向量平行；二是转化为线面平行、线线平行问题4用向量方法证明空间中的垂直关系(1)线线垂直证明两直线的方向向量垂直(2)线面垂直

43、证明直线的方向向量与平面的法向量平行根据线面垂直的判定定理，转化为证直线与平面内的两条相交直线垂直的问题(3)面面垂直根据面面垂直的判定定理，转化为证相应的线面垂直、线线垂直的问题证明两个平面的法向量互相垂直5用向量方法求空间角(1)两条异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求，但二者不完全相同，两异面直线所成角的取值范围是eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，而两向量所成角的取值范围是0，所以当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角(2)利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向

44、量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角；分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量，再转化为求这两个方向向量的夹角(或其补角)注意：直线与平面所成角的取值范围是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2).(3)利用空间向量求二面角，也可以有两种方法：分别在二面角l的面，内，沿，延伸的方向作向量n1l，n2l，那么这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；通过法向量求解设m1，m2，那么两向量的夹角与该二面角相等或互补注意：二面角的取值范围是0，6空间距离空间中的距离有：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、线到线的距离、线到面的距离、面到面的距离求距离的一般步骤是：一作

45、作出表示距离的线段；二证证明它就是所要求的距离；三算计算其值(1)求空间中点到点的距离，可以利用两点间的距离公式，或转化为解三角形(2)利用三棱锥的底面与顶点的转换，可求三棱锥的高，即用等体积法求点到面的距离(3)空间中的各种距离一般都可以转化为点点距、点线距、点面距，假设用向量方法求空间距离，那么点点距、点线距最终都可用空间向量的模来求解，而点面距那么可由平面的法向量来求解1向量a(1，1，0)，b(1，0，2)，且kab与2ab互相垂直，那么k的值是()A1 B.eq f(1,5) C.eq f(3,5) D.eq f(7,5)解：易知kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，

46、2ab2(1，1，0)(1，0，2)(3，2，2)kab与2ab互相垂直，(kab)(2ab)(k1，k，2)(3，2，2)0，解得keq f(7,5).应选D.2点A(2，5，1)，B(2，2，4)，C(1，4，1)，那么向量eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()的夹角为()A30 B45 C60 D90解：由得eq o(AB,sup6()(0，3，3)，eq o(AC,sup6()(1，1，0)，coseq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(AC,sup6()|)eq

47、 f(3,3r(2)r(2)eq f(1,2).向量eq o(AB,sup6()与eq o(AC,sup6()的夹角为60.应选C.3eq o(AB,sup6()(1，5，2)，eq o(BC,sup6()(3，1，z) ，eq o(BP,sup6()(x1，y，3)假设eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，且eq o(BP,sup6()平面ABC，那么eq o(BP,sup6()()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,7)，f(15,7)，3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(40,7)，f(15,7)，3)C.eq blc(rc)(

48、avs4alco1(f(33,7)，f(15,7)，3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(f(33,7)，f(15,7)，3)解：eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0，即13512z0，解得zeq o(BP,sup6()平面ABC，有eq blc(avs4alco1(o(BP,sup6()o(AB,sup6()0，,o(BP,sup6()o(BC,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x15y60，,3x1y120，)解得eq blc(avs4alco1(xf(40,7)，,yf(15

49、,7).)eq o(BP,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(33,7)，f(15,7)，3).应选D.4长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，那么异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A.eq f(r(10),10) B.eq f(r(30),10) C.eq f(r(15),5) D.eq f(3r(10),10)解法一：建立坐标系如图，那么A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2).eq o(BC1,sup6()(1，0，2)，eq o(AE,sup6()(1，2，1)，coseq o(BC1,su

50、p6()，eq o(AE,sup6()eq f(o(BC1,sup6()o(AE,sup6(),|o(BC1,sup6()|o(AE,sup6()|)eq f(r(30),10).异面直线BC1与AE所成角的余弦值为eq f(r(30),10).解法二：连接AD1，D1E，易知BC1AD1，那么异面直线BC1与AE所成的角为EAD1(或其补角)由AD1eq r(5)，AEeq r(6)，ED1eq r(5)，得cosEAD1eq f(ADeq oal(2,1)AE2EDeq oal(2,1),2AD1AE)eq f(r(5)2r(6)2r(5)2,2r(5)r(6)eq f(r(30),10)

51、，即异面直线BC1与AE所成角的余弦值为eq f(r(30),10).应选B.5过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，假设ABPA，那么平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A30 B45 C60 D90解：建立如下图的空间直角坐标系，设ABPA1，那么A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)易知AD平面ABP，设E为PD的中点，连接AE，那么AEPD，又CD平面PAD，AECD，又PDCDD，AE平面CDP.eq o(AD,sup6()(0，1，0)和eq o(AE,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,

52、2)，f(1,2)分别是平面ABP和平面CDP的法向量，而eq o(AD,sup6()，eq o(AE,sup6()45，平面ABP与平面CDP所成的二面角为45.应选B.6在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，那么点A1到平面MBD的距离是()A.eq f(r(6),6)a B.eq f(r(30),6)a C.eq f(r(3),4)a D.eq f(r(6),3)a解：以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在射线为x，y，z轴，建立如下图空间直角坐标系，那么D(0，0，0)，B(a，a，0)，Meq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(a,2)，A1

53、(a，0，a)eq o(DA1,sup6()(a，0，a)，eq o(BM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，a，f(a,2)，eq o(DM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(a，0，f(a,2).设n(x，y，z)为平面MBD的一个法向量，那么eq blc(avs4alco1(no(BM,sup6()0，,no(DM,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(ayf(a,2)z0，,axf(a,2)z0.)取z1，那么neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，1).点A1到平面BDM的距离deq f(bl

54、c|rc|(avs4alco1(o(DA1,sup6()n),blc|rc|(avs4alco1(n)eq f(r(6),6)a.应选A.7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，那么直线DE与平面A1BC1所成角的正弦值为_解：设正方体的棱长为2，直线DE与平面A1BC1所成角为，建立如下图的坐标系，那么D(0，0，0)，E(0，2，1)，B1(2，2，2)，DB1平面A1BC1，eq o(DB1,sup6()(2，2，2)是平面A1BC1的一个法向量，又eq o(DE,sup6()(0，2，1)，sincoseq o(DB1,sup6()，eq o(DE,sup6()e

55、q f(o(DB1,sup6()o(DE,sup6(),|o(DB1,sup6()|o(DE,sup6()|)eq f(6,2r(3)r(5)eq f(r(15),5).故填eq f(r(15),5).8(eq avs4al(2021四川)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，那么cos的最大值为_解：建立坐标系如下图设AB1，那么eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，0

56、).设M(0，y，1)(0y1)，那么eq o(EM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，y，1)，eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)，coseq f(|o(AF,sup6()o(EM,sup6()|,|o(AF,sup6()|o(EM,sup6()|)eq f(blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)f(1,2)y),r(1f(1,4)r(f(1,4)y21)eq f(21y,r(5)r(4y25)，eq blcrc(avs4alco1(f(21y,r(4y25)eq sup12(2)1eq f(8y1,4y25)，令8y1t，1t

57、9，那么 eq f(8y1,4y25)eq f(16,tf(81,t)2)eq f(1,5)，当且仅当t1时取等号coseq f(21y,r(5)r(4y25)eq f(1,r(5)eq f(2,r(5)eq f(2,5)，当且仅当y0时取等号故填eq f(2,5).9设，分别是平面，的法向量，根据以下条件判断平面，的位置关系：(1)(2，2，5)，(6，4，4)；(2)(1，2，2)，(2，4，4)；(3)(2，3，5)，(3，1，4)解：(1)262(4)540，.(2)易得eq f(1,2)，.(3)由条件可知，不存在任何实数，使，且0，那么平面与不平行也不垂直，平面，相交10(eq a

58、vs4al(2021福建)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)假设M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值证明：(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD.ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以eq o(BE,sup6()，eq o(BD,sup6()，eq o(BA,sup6()的方向为x轴，y轴，z轴的正方向

59、建立空间直角坐标系依题意得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，Meq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，那么eq o(BC,sup6()(1，1，0)，eq o(BM,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(1,2)，eq o(AD,sup6()(0，1，1)，设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，那么eq blc(avs4alco1(no(BC,sup6()0，,no(BM,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x0y00，,f(1,2)y0f(1,2)z00，)取

60、z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1，1)，设直线AD与平面MBC所成角为，那么sin|cosn，eq o(AD,sup6()|eq f(|no(AD,sup6()|,|n|o(AD,sup6()|)eq f(r(6),3).故直线AD与平面MBC所成角的正弦值为eq f(r(6),3).11如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPDeq r(2)，PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，ABBC1，O为AD的中点(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值；(2)求B点到平面PCD的距离；(3)线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD的余弦值为