结构力学李廉锟版-结构位移计算

1、6-1 概 述6-2 变形体系的虚功原理6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算6-5 图乘法6-6 静定结构温度变化时的位移计算6-7 静定结构支座移动时的位移计算6-8 线弹性结构的互等定理第六章 结构位移计算 一、结构的位移 (Displacement of Structures)1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。 思考：变形与位移的差别？变形：结构在外部因素作用下发生的形状的变化。两者之间的关系：有形变必有位移；有位移不一定有形变。6-1 概述A位移转

2、角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角P2. 位移的分类6-1 概述 截面C、D 的相对竖向线位移为 :截面C、D 的相对角位移为: 6-1 概述AP引起结构位移的原因制造误差 等荷载温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?3.位移产生的原因6-1 概述铁路工程技术规范规定: 二、计算位移的目的(1) 刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度1/600 跨度；桥梁在竖向静活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度1/700 和1/900跨度高层建筑的最大位移1/1000 高度。 最大层间位移1/800 层高。6-1 概述(2) 超静定结构、动力和稳定计算的基础(3）施工要求 超静定结构

3、的内力不能仅由平衡条件确定，分析时必须考虑变形条件，因而需要计算结构的位移。 在结构的施工过程中，常需预先知道结构变形后的位置，以便采取一定的施工措施，使结构物符合设计图纸的要求。6-1 概述（3）理想联结 (Ideal Constraint)。三、 本章位移计算的假定叠加原理适用（principle of superposition)(1) 线弹性 (Linear Elastic),(2) 小变形 (Small Deformation),6-1 概述本章只讨论应用虚功原理求解结构位移。2. 功能法虚功原理应变能(卡氏定理) 研究变形和位移的几何关系，用求解微分方程式的办法求出某截面的位移（材

4、料力学用过，但对复杂的杆系不适用）。1.几何法 四、 计算方法6-1 概述 一、基本概念实功： 力在其本身引起的位移上所作的功。位移是由外力F引起的，F 做的功可表示为: 1.外力的实功6-2 变形体系的虚功原理 实功的数值就等于图上三角形OAB的面积。实功是外力的非线形函数，计算外力实功不能应用叠加原理。所以 设线弹性材料的弹性系数为k，则6-2 变形体系的虚功原理2.外力的虚功 虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相应的位移是彼此独立无关的。 虚功的数值是位移曲线所围的矩形面积。 虚功中的力与位移两者相互独立，计算外力虚功可应用叠加原理。 6-2 变形体系的虚功原理力F1

5、在力F2引起的位移12上作的功为虚功为例 F1力在其引起的位移11 上作的功为实功为 6-2 变形体系的虚功原理 结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移。 3.广义位移和广义力广义位移 与广义位移对应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系。 注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力。 广义力6-2 变形体系的虚功原理4.内力功 定义：从杆上截取一微段,作用在该微段上的内力在该微段的变形上做的功定义为该内力做的功。该微段

6、上相应的变形为轴向变形 剪力变形 弯曲变形 6-2 变形体系的虚功原理 如果变形就是由此内力引起的，则此微段上内力功应为实功，其为轴力、剪力和弯矩分别做的功之和：因为由胡克定律有： 故 实功数值上就等于微段的应变能。 所以内力实功6-2 变形体系的虚功原理 若变形与内力彼此无关，则此微段上的内力功是虚功，其为对于整根杆的内力虚功，则可对整根杆积分求得： 原因而定。 , 和 的具体表达式要视引起这个变形的具体内力虚功6-2 变形体系的虚功原理回顾（1）质点系的虚功原理 具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：fi ri=0. 对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功

7、之和为零。也即6-2 变形体系的虚功原理（2）刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。FPPB-FP P +FB B=06-2 变形体系的虚功原理二、虚功原理 1. 变形体的虚功原理 设一变形体在外力系作用下处于平衡状态。当变形体由于其他原因产生一符合约束条件的微小连续位移时，则外力系在位移上做的虚功的总和We，等于变形体的内力在变形上做的虚功的总和Wi，即， 这就是虚功方程。 （证明略）需注意： 外力系必须是平衡力系，物体处于平衡状态；6-2 变形体系的虚功原理 位

8、移必须满足虚位移的条件满足约束条件的非常微小的连续位移； 外力与位移两者之间是相互独立没有关联的。平衡的外力系与相应的内力是力状态；符合约束条件的微小位移与相应的变形是位移状态。力状态的外力在位移状态的位移上做功之和(外力虚功)等于力状态的内力在位移状态的变形上做功之和(内力虚功)。 对于两个相互无关的力状态和位移状态的，可以虚设其中一个状态，让另一实际状态在此虚设状态下做功，列出虚功方程，可以求解不同的问题。 6-2 变形体系的虚功原理解释：两种状态力状态位移状态FPFP /2FP /2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为

9、可能状态。即位移应满足变形协调条件,力状态应满足平衡条件。 （1）属同一体系；6-2 变形体系的虚功原理2.杆系结构虚功方程 以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也适用于一切非线性结构。 希望能很好理解，尽可能达到掌握！6-2 变形体系的虚功原理虚位移原理 令实际的力状态在虚设的位移状态下做功所建立的虚功方程表达的是力的平衡条件。从中可以求出实际力系中的未知力。这就是虚位移原理。 虚力原理 令虚设的平衡力系在实际的位移状态下做功所建立虚功方程表达的是位移协调条件，从中可求出位移状态中的一些未知位移。这就是虚力原理(也称为余虚功原理)。 一个力系平衡

10、的充分必要条件是：对任意协调位移，虚功方程成立。 一个位移是协调的充分必要条件是：对任意平衡力系，虚功方程成立。3. 虚功原理的两种应用6-2 变形体系的虚功原理 注意: 虚位移原理写出的虚功方程是一个平衡方程式，可用于求解平衡力系中的未知力。例如：应用虚位移原理求支座C的反力FC。即 故 撤除与FC相应的约束,将FC变成主动力，取与FC正向一致的刚体位移作为虚位移。列出虚功方程： 6-2 变形体系的虚功原理 注意：虚力原理写出的虚功方程是一个几何方程，可用于求解几何问题。 例：当A支座向上移动一个已知位移c1，求点B产生的竖向位移。在拟求线位移的方向加单位力 由平衡条件 令虚设的平衡力系在实

11、际的位移状态下做功，得虚功方程求得与单位力方向相同。6-2 变形体系的虚功原理单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method。图示结构，要求 =?实际状态 位移状态虚拟状态 力状态6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法 用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移，可接右图选取虚拟状态，用虚拟力为单位力，故称为单位荷载法。外力虚功: 内力虚功:由虚功方程：此式即为平面结构位移计算一般公式。若结果为正，说明 在 上做正功，这

12、表明的实际方向与方向相同。若结果为负，说明 在 上做负功，这表明的实际方向与方向相反。 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法几点说明：(1) 所建立的虚功方程 ，实质上是几何方程。(2) 虚设的力状态与实际位移状态无关，故可设单位广义力 P=1(3) 求解时关键一步是找出虚力状态的静力平衡关系。特点: 是用静力平衡法来解几何问题。单位位移法的虚功方程 平衡方程单位荷载法的虚功方程 几何方程总的来讲：6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法2. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；1. 位移原因：荷载、温度改变、支座移动等；3. 材料性质：线性、非线性；4. 变形类型：弯

13、曲变形、拉(压)变形、剪切变形；5. 位移种类：线位移、角位移；相对线位移 和相对角位移。一般公式的普遍性表现在：6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法BA(b)试确定指定广义位移对应的单位广义力A(a)F=1F=1F=16-3 位移计算的一般公式 单位荷载法F=1(c)A(d)ABF=1F=16-3 位移计算的一般公式 单位荷载法ABCd(e)ABC(f)6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法AB(g)F=1F=1C(h)左右=？F=1F=16-3 位移计算的一般公式 单位荷载法由虚功原理有：W= Wi外力虚功 变形虚功 荷载作用引起的位移计算 等号左侧是虚设的单位外力在实际的位移上所做的外

14、力虚力，右侧是虚设单位力状态的内力在实际位移状态的变形上做的内力虚功之和。6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算对于直杆，则可用dx代替ds。计算位移的公式为 单位力状态下结构的轴力、剪力和矩方程式。 实际荷载引起结构的轴力、剪力和弯矩方程式。 E、G 材料的弹性模量和剪力弹性模量. A、I 杆件的横截面面积和横截面惯性矩. 剪力在截面上分布的不均匀系数，对于矩形截面=1.2。 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算（1）梁、刚架：只考虑弯矩Mp引起的位移。 （2）桁架：只有轴力。 桁架各杆均为等截面直杆则6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算公式简化： 拱坝一类的厚度较大的拱形结构，其剪力也

15、是不能忽略的。所以计算拱坝时，轴力、剪力和弯矩三项因素都须要考虑进去。 (4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力的影响不计，位移计算公式为 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算（3）组合结构 例6-1 图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩 I 均为常数，试求B点的竖向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。 解: (1) 作出荷载作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程。横梁BC 竖柱CA 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算(2)求B 点的竖向位移BV 写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图横梁BC 竖柱CA 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算(3) 求B点的水平位移

16、BU 在B点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程 横梁BC 竖柱CA 注意：负号表示位移的方向与假设的单位力的方向相反。 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算（4）求B点的线位移B 例6-2 一圆弧形悬臂梁受匀布荷载作用，设曲梁矩形截面的弯曲刚度为EI ，半径为r ，圆弧AB 的圆心角0 及荷载 q 均为已知，试求截面B 的竖向及水平向位移BV和BU。 解: 当曲梁的半径较大截面比较薄时，可忽略轴力和剪力的影响。 (1) 列出曲梁在荷载作用下的弯矩方程。假定曲梁内侧纤维受拉为正弯矩。 取B点为座标原点，任意截面C 的横座标为x，该截面的弯矩：6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 (

17、2) 求BV ，在B点加一竖向单位力，单位竖向力引起的弯方程为 采用极坐标表示由于 所以 6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 (3) 求BU，在B点作用一单位向水平力，列出此水平向单位力引起的弯矩方程6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 例6-3 平面桁架如图，已知各杆截面积均为A=0.410-2m2弹性横量E=200GPa，试求B点和D点的竖向位移。解: (1) 求出实际荷载状态下各杆的内力。 (2) 求BV6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 在B点加一向下的单位力,求此单位力引起的各杆轴力FN 。6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算(3) 求DV 在D点加一向下单位力，求出此虚

18、设状态 各杆的轴力FN 。6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算 在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法。6-5 图乘法 (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 静定结构的内力计算；2. 利用位移计算公式求静定结构的位移；3. 刚架与梁在荷载作用下的位移计算公式, 即:已有基础：(对于等截面杆)(对于直杆)图乘法求位移公式为:图乘法的适用条件是什么?图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。6-5 图乘法 例.试求图示梁B端转角。解:MPMi为什么弯矩图在杆件同侧图乘

19、结果为正?6-5 图乘法 顶点：指曲线切线与杆轴重合或平行6-5 图乘法 几种常见图形的面积和形心位置的确定方法图乘法小结：1. 图乘法的应用条件（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。2.若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。3. 如图形较复杂，可分解为简单图形。6-5 图乘法 (1) 曲-折组合图形分解6-5 图乘法 (2) 梯-梯同侧组合6-5 图乘法 (3) 梯-梯异侧组合ABCDabcd图图b c取负值6-5 图乘法 复杂图形的处理：+=+=6-5 图乘法 求MPMi6-5 图乘法 (4) 阶梯形截面杆6-5 图乘法 例 1. 已

20、知EI为常数，求C、D两点相对水平位移 。应用举例lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图6-5 图乘法 例 2. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP6-5 图乘法 l/2ql/2MP6-5 图乘法 l/2ql/2MP6-5 图乘法 例3. 试求图示结构B点竖向位移。解:MPMi6-5 图乘法 例4.已知 EI为常数，求铰C 两侧截面相对转角 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP6-5 图乘法 例5.已知 EI 为常数，求A点竖向位移 。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图qlllqMP6-5 图乘法 6. 求B点水平位移。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MPl

21、l注意:各杆刚度可能不同6-5 图乘法 7.已知EI为常数，求B截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Mi6-5 图乘法 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图8. 求B点水平位移,EI=常数。lPllMP1MP6-5 图乘法 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图9. 求C、D 两点相对水平位移 。lllMP6-5 图乘法 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图10.求A点竖向位移, EI=常数 。MPlllAkk6-5 图乘法 lPlPl11.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。MP1111对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与其反对称

22、弯矩图图乘,结果为零.116-5 图乘法 PP11绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：6-5 图乘法 由温度变化引起的位移计算 (1)每根杆受的温度是均匀作用的，即每杆上各截面的温度是相同的。 (2)杆件的两侧的温度可以是不同的，但从高温一侧到低温一侧温度是按直线变化的。 (3)由于假定温度沿杆长均匀分布,不可能出现剪切变形, 只有轴向变形dut 和截面转角d。假定： 6-6 静定结构温度变化时的位移计算温度引起的纤维轴向变形为： 其中材料的线膨胀系数，即温度升高1时杆的应变。 设微段 ds 的 温度变化为：6-6 静定结构温度变化时的位移计算梁段上侧、下侧和中

23、心轴处纤维伸长分别为由于截面内的温度呈直线变化，有 得： 其中t= t2 t1 ，为杆两侧的温度变化之差。 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 令虚设的力状态在结构的实际位移状态下做功。在拟求位移的截面虚设一单位力，则外力在位移上做的功应等于内力在温度引起的变形上做的功之和，即式中 对结构中各杆求和。 单位力弯矩图中该杆弯矩图的面积。 单位力轴力图中该杆轴力图的面积。 所以 6-6 静定结构温度变化时的位移计算 正负符号取决于虚功是正功还是负功。若杆的轴心处的温度t0 是升高，而单位力轴力图中该杆受拉力，则此杆的内力虚功为正功，此项取正号，反之取负号。 若温度变化t使杆弯曲而某侧受拉，而单位

24、力弯矩图中该杆的弯矩也使该侧受拉，则虚内力做正功取正号，反之为负号。6-6 静定结构温度变化时的位移计算 例6-5 图示刚架，各杆均为矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2处。l=4m设刚架内部温度上升10外部下降20。线膨胀系数=110-5，试求D点的竖向位移。 解 (1) 在D点作用一向上的单位力F=1，作弯矩图 和轴力图 6-6 静定结构温度变化时的位移计算(2)计算 D点的竖向位移。两侧的温度差为 有杆轴线处的温升值为6-6 静定结构温度变化时的位移计算 例6-6 图示桁架，受日照均匀温升30。求C点竖向位移。 解：在C点作单位力并求出各杆轴力 。 己知各杆 t0=

25、30,t = 0故 6-6 静定结构温度变化时的位移计算制造误差引起的位移计算：每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移。6-6 静定结构温度变化时的位移计算由支座移动引起的位移计算 求由支座移动引起的结点某点的位移只是一个单纯的几何问题。可以用力学方法刚体的虚力原理来求解。 式中 是由单位力F所引起的支座反力；c 是与反力 相应的已知的支座位移。当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。 在要求位移的点上沿位移的方向加一单位力F，求出在此单位力作用下的支座反力R 。所有外力虚功之和应为零有：6-7 静定结构支座移动时的位移计算由平面杆件结构位移计算的一般公式： 对于静定结构，支座移

26、动不引起内力，材料不变形，因此du、d和ds为零，上式简化为: 负号系原来移项所得，不可漏掉！6-7 静定结构支座移动时的位移计算 例6-7 三铰刚架如图所示，若支座A下沉C，求BD柱的转角。 解：(1) 在BD柱上作用单位力矩M =1，求支座反力。 (2) 代入公式计算得： 结果得正值表示柱的转角方向与所假定的单位力矩的方向相同。 6-7 静定结构支座移动时的位移计算 例6-8 图示刚架右边支座的竖向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角A6-7 静定结构支座移动时的位移计算 1. 功的互等定理 F1作用下产生的内力和

27、变形称为第一状态，F2作用下产生的内力和变形称为第二状态。 先加F1然后加F2的情况，整个加载过中系统做的总功为 表示由编号为j 的力引起i点的位移。 先加F2后加F1，整个过程中系统做的总功为 6-8 线弹性结构的互等定理 因为线弹性体系做功与加荷的次序无关，有 故得 虚功互等定理：状态的力在状态的位移上做功等于状态的力在状态的位移上做功。6-8 线弹性结构的互等定理 由功的互等定理 可推出位移互等定理2. 位移互等定理 令功的互等定理中的力F1=F2=1 ,则有 位移互等定理：由单位荷载F1 引起的与荷载F2相应的位移21，在数值上等于由单位荷载F2引起的与荷载F1相应的位移12。这里用小

28、写的字母表示单位力引起的位移。 在一般情况下位移互等定理可写成： 6-8 线弹性结构的互等定理 注意：位移互等定理适用于广义力及其对应的广义位移。 上图表示了两个状态的线位移12 与21互等。 上图表示了线位移12数值上等于角位移21。6-8 线弹性结构的互等定理 3. 反力互等定理 第状态，支座1产生单位位移 1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。 第状态，支座2产生单位位移2V=1而引起支座反力k12 和 k22 6-8 线弹性结构的互等定理 由功的互等定理，第状态的力在第状态的位移上做虚功 ，等于第状态的力在第状态的位移上做虚功 。故有即 一般情况下可写成 6-8 线弹性结构的互等

29、定理 支座i由于支座j发生单位位移所引起的支座反力kij，等于支座j由于支座i发生单位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。 例： k12 是反力矩， k21是反力，两者互等只是数值上互等。 6-8 线弹性结构的互等定理 4. 反力位移互等定理 单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其方向的位移，但符号相反。-反力位移互等定理6-8 线弹性结构的互等定理 小 结 本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移

30、。在应用虚功原理时要涉及两个量：力系和位移。这两者是彼此无关的，但却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移两者彼此无关，因此可以虚设一组力系(虚力原理)，让它在实际的结构位移上做功, 列出虚功方程，从中求出未知位移。 这就是虚力原理表达的虚功方程。也就是位移计算的一般公式最基本的形式。小结 位移和变形( )是结构在给定条件下所具有的. 是实际的位移状态。力系( )则是虚设的。 虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。 变形(, )是泛指的，若是荷载引起的则代入公式(6.3.3) 即导出公式(6.5.2）

31、。若是温度引起的，则代入公式(6.3.1a) 、(6.7.1a) 和(6.7.2b)即导出温度变化引起的位移计算公式(6.7.3a)。 若计算支座移动引起的位移，则因静定结构因支座位移不会引起结构变形，只会引起结构的刚体位移, 这时=0 。公式等号右边前一项为零，只剩后一项. 这就是公式(4.7.4)。小结 虚功原理本身适用于任何变形体，但在本章推导位移计算公式时引入了弹性规律，故公式(6.5.2) 只适用于线弹性体系。 图乘法是具体的运算方法。只有满足一定的条件下才能用图乘法。象曲杆、变截面杆等均不能用图乘法。 互等定理是线弹性体系的基本定理。本章介绍的四个互等定理是最常用的。 这四个互等定理中，功的互等定理是最基本的。小结 1. 虚功原理