1.4生活中的优化问题举例课件

1、 例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解：设版心的高为xcm,则宽为此时四周空白面积为：求导数，有解得，x=16 (x=-16舍去）因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 所以，当版心高为16dm,宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm,宽为8dm时，海报四周空白面积最小。练习1、一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分 别是多少？则两个正方形面积

2、和为解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,其中0 x2时，f(r)0,它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；当r2时，f(r)0,它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低。（1）半径为2时，利润最小。这时f(2)0;当x(40,60)时,V(x)0.函数V (x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V (x)的最大值.答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3 2、若函数 f ( x )在定义域内只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或最小值.说明1、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

3、确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?Rh解 设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为 S(R)=2Rh+2R2.又V=R2h(定值),即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省. 问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?解:存储量=磁道数每磁道的比特数.设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达(R-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁

4、道上的比特数可达到 ,所以，磁道总存储量为：(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大。解：存储量=磁道数每磁道的比特数(2) 为求f(r)的最大值，先计算解得如何解决优化问题?优化问题优化问题的答案用函数表示的数学问题用导数解决数学问题优化问题用函数表示数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答利用导数解决优化问题的基本思路：这节课,我们来继续学习几个优化问题的例子1答案例4：如图,铁路线上AB段长100km,工厂C到铁路的距离CA=20km.现在要在AB上某一处D,向C修一条公路.已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比

5、为3:5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?B D AC解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为令 ,在 的范围内有唯一解x=15.所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省.注:可以进一步讨论,当AB的距离大于15千米时,要找的 最优点总在距A点15千米的D点处;当AB之间的距离 不超过15千米时,所选D点与B点重合.解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km.又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则

6、公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为B D AC例5在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)C(x)称为利润函数，记为P(x)。（1）、如果C(x)，那么生产多少单位产品时，边际 (边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)（2）、如果C(x)=50 x10000，产品的单价P100 0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？变式已知:某商品生产成本与产量q的函数关系式为, 价格p与产量q的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x 0，y 0，则另一个在抛物线上的顶点为（x，y），在x轴上的两个顶点为（x，0）、（x，0），其中0 x 2设矩形的面积为S，则S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，所以这种矩形中面积最大者的边长为和 (课本第37页B组第1题)某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天