专题14 立体几何多选题 （解析版）

1、专题14 立体几何多项选择题L菱形ABCD中，ZBAO = 60。，AC与相交于点。，将 八钻。沿折起，使顶点A至点V，在折起的过程中，以下结论正确的选项是（）A. BDLCMB.存在一个位置，使VCDM为等边三角形c. DM与不可能垂直D.直线DM与平面所成的角的最大值为60。【答案】ABD【解析】A选项，因为菱形ABC。中，AC与5。相交于点。，所以AO_LB。，CO.LBD；将AB。沿8D折起，使顶点A至点折起过程中，AO始终与3。垂直，因此MOLED,又MOPICO，由线面垂直的判定定理，可得：平面CM。，因此50_LCM,故A正确；B选项，因为折起的过程中，AO边长度不变，因此D =

2、 CD；假设VC0M为等边三角形，那么CM = CD；设菱形A3CD的边长为2 ,因为N84O = 60。，那么AO = 45.sin6（T =6，即AO = A/O = g，又3+3-4 11CM = CD = 2,所以cos/MOC =,即二面角 50。的余弦值为一时，VCDM为等2x333边三角形；故B正确；C 选项，DM =OM-OD, BC = OC-OB 由 A 选项知，MO 工 BD , COLBD,所以血.丽=E.反=0，因此。万）（。3 。月） = OM.OC O万,O月，同B选项，设菱形A3c。的边长为2,易彳导OC = OM=g，OB = OD = 1,所以力必而= 3c

3、osNMOC + l，显然当 cos/MOC = ，时，DMBC = 0,即 DV/J_BC；故 C 错误； 3D选项，同BC选项，设菱形ABCZ）的边长为2,那么OM=g, OD = 1, MD = 2,由几何体直观图可知，当平面5c。，直线与平面5c。所成的角最大，为/MD0,易知乙皿0 = 60。.应选：ABD.OE = -DM AM =立易知 EA = ED = EM = 1AD的中点就是三棱锥BAMD的外接球的球心，球的半径为1，外表积是4，故D正确；应选：BD9.鬼分是两个不重合的平面，加，是两条不重合的直线，那么以下命题正确的选项是（）A.假设根，那么 _LaB.假设加。，= 那

4、么加C.假设“ _La, mA. （3，那么。AD.假设 m【a,m/n,n 工 /3 ,那么。分【答案】ACD【解析】假设m_La,那么三。1ua且。/?=尸使得加，mlb ,又mlln ,那么 _L，由线面垂直的判定定理得_La,故A对； 假设相 1, 0夕=，如图，设m= A8,平面为平面a, ml la ,设平面ADRA为平面夕，ac/ = A）i=，那么mJ_几，故 B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C对；假设那么几J_a,又，尸,那么。分，故D对；应选：ACD.10.在长方体ABC。44G，中，A8 =区。=1, A& =6, , f, P, Q 分别为棱 A3, AD.

5、DD1,8月的中点，那么以下结论正确的选项是（A. AC1BPBQ，平面 EFPQ平面EFPQD.直线4。和AC所成角的余弦值为Y2【答案】ABD【解析】A.如下图,C?皿C?皿因为A3 = BC = 1,所以四边形ABC。是正方形，所以又因为几何体为长方体，所以平面ABCO,所以AC_LOR,因为A3 = BC = 1,所以四边形ABC。是正方形，所以又因为几何体为长方体，所以平面ABCO,所以AC_LOR,又因为8。，=。，所以AC_L平面3OR,又因为BPu平面8。，所以ACJ_BP,故结论正确;B.如下图,B.如下图,假设用。，平面EFP。，因为PQu平面石QQ,所以BQ1P。,假设用

6、。，平面EFP。，因为PQu平面石QQ,所以BQ1P。,显然4。1尸。不成立，故假设错误，所以结论错误;连接BRCQ,由条件可知/80,/7/4，8。1/4，所以FP/BC1,又因为8。|八）二氏郎抨二尸，所以平面3CQ/平面EFF。，又因为BGu平面8G。，所以BQ/平面瓦尸。，故结论正确;D.如下图,连接。4,4月，因为。4/。耳，所以A。和AC所成角即为或其补角,由条件可知:4c = 2, ABl = 2, AC - V2 ,所以 cos/B】CA =4 + 2-4_ V2 2-2-V2 - 4故结论正确.应选：ABD.2.如图，在正方体ABC。AAG，中，点P在线段qc上运动，那么（）

7、A.直线32 J_平面4G。b.三棱锥尸-4G。的体积为定值C.异面直线AP与4。所成角的取值范围是45,90D.直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为逅3【答案】ABD【解析】对于选项A,连接42,由正方体可得AG _L42,且_L平面AgCQ,那么_L AC，所以4G,平面8。,故BD；同理，连接AR ,易证得A.D1. BD1，那么BD.，平面4G。,故A正确；对于选项bWpmg。=%_八相,因为点P在线段耳。上运动，所以右四=面积为定值，且G到平面a PR的距离即为G到平面4与co的距离，也为定值,故体积为定值，故B正确；对于选项C,当点P与线段BC的端点重合时,AP与4。所成角

8、取得最小值为60。,故C错误；对于选项D,因为直线3。平面4G，所以假设直线GP与平面4G。所成角的正弦值最大，那么直线C/与直线BD所成角的余弦值最大，那么尸运动到BC中点处，即所成角为/。田。，设棱长为1,在RJQGB中，cos/C】BDi =,故 D 正确 BD, 6 3应选：ABD3 .两条直线/,机及三个平面a, 0 , 7,那么。的充分条件是（）.A. I ua, I 1 BB. / , m 上 0, I .LmC. aly, /?|/D. lua, mu /3 , I.Lm【答案】ABC【解析】由面面垂直定理可以判断A氏。正确，对于选项。，lua, mu B , 11m,也可以得

9、到。/,故。错.应选：ABC.4 .如图,在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中,。为底面正方形的中心A1/N分别为侧棱AL形的中点, 有以下结论正确的有：（）PPDII 平面OA/NB.平面PCOII 平面OMNC.直线P。与直线MN所成角的大小为90 D. ONPB【答案】ABD【解析】选项A,连接BD,显然。为BD的中点，又N为PB的中点，所以POII ON,由线面平行的判定定理 可得，PDW平面OA/N；选项B,由A/N分别为侧棱Q4,心 的中点,得MNII AB,又底面为正方形，所以 MNII CD,由线面平行的判定定理可得，CD II平面OMN,又选项A得II平面OMN,由面面平行的判

10、定 定理可得，平面PC0II平面OMN；选项C,因为MNII CD,所以/ PDC为直线与直线MV所成的角， 又因为所有棱长都相等，所以/ PDC=60，故直线PO与直线MN所成角的大小为60;选项D,因底面为 正方形，所以A52 + A）2 =3。2,又所有棱长都相等，所以PB? + PD? = BD?,故PB工PD,又 PDW ON,所以ON_LPB,故ABD均正确.5.四棱锥PABCD,底面A4CD为矩形，侧面PCD_L平面ABC。，BC = 243CO = PC =。= 2遥.假设点为PC的中点，那么以下说法正确的为（）A.碗平面PCOPA/面C.四棱锥M A3CO外接球的外表积为36

11、D.四棱锥M ABC3的体积为6【答案】BC【解析】作图在四棱锥PABC。中:FB由题：侧面PC。，平面ABC。，交线为CD,底面ABC。为矩形，BC.LCD,贝U3C_L平面PC。，过点B只能作一条直线与平面垂直，所以选项A错误；连接AC交8D于0,连接MO, AQ4C中，QM II PA,。=面”80,PAZ面BD,所以B4/面MB。，所以选项B正确；四棱锥M A5CD的体积是四棱锥PABCQ的体积的一半，取CO中点N,连接PN,PN LCD,那么RV八平面ABC。，PN = 35，四棱锥 ABC。的体积= Jx|x2Gx2振义3板=12所以选项D错误.矩形 ABCO中，易得 AC = 6

12、,OC = 3,ON =6,PCD 中求得：NM =；PC = a，在 RmMNO 中 MO = ON2+MN2 =3即：OM = OA = OB = OC = OD,所以。为四棱锥M ABC。外接球的球心，半径为3,所以其体积为36万，所以选项C正确应选：BC6 ,正方体ABC。-AgCB的棱长为2,平面。_LAG，那么关于。截此正方体所得截面的判断正确的是（）A.截面形状可能为正三角形B.截面形状可能为正方形C.截面形状可能为正六访形D.截面面积最大值为3G【答案】ACD【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立,如图设截面为多边形GMEE/VH ,Ai设AG = x,那么OVxl,那么

13、 GH = ME = NF = Cx,MG = HN = EF = 6Q x，MN = 2近,所以多边形GMEFNH的面积为两个等腰梯形的面积和，所以 S=(GH + MN)4 +-(MN + EFh2因为= J0(2r)2_(2应啊2 gq+2应).J|(2-x)2 = J|(2-)2，3所以 S=J(缶+ 20)J3(2 x)2 +-2a/2 + V2(2-x)- 2V22二-氐2+2氐+ 2百当x = l时，S,3=3B故D成立。 II kIX应选：ACD.正方体ABCD AgGS的棱长为1，,RG分别为BC,CG，3旦的中点.那么( )A.直线2。与直线A方垂直.直线4G与平面AEF平

14、行9C.平面A所截正方体所得的截面面积为1 D.点0和点G到平面AE方的距离相等【答案】BCz轴，建【解析】对选项A：（方法一）以。点为坐标原点，DA. DC、所在的直线分别为了、V、立空间直角坐标系，那么。（。,0,0）、A（l,0,0）、A（1，D、E -,l,0、F 0,1,-、G 1,1,- ,从而12）他=(0,0,1), af =他=(0,0,1), af =、 ,11 - 2911zr k,从而可/=。0,所以DD1与直线A/不垂直，选项A错误;（方法二）取。2的中点N ,连接AN,那么AN为直线AF在平面ADDA1内的射影，AN与不垂直, 从而A方与。2也不垂直，选项a错误；取

15、的中点为连接AM、GM ,那么GM/EF,易证平面4MG 平面AE/, 从而AG 平面选项B正确；对于选项C,连接入，DF9易知四边形A石尸，为平面A环截正方体所得的截面四边形（如下图）,且 DH = ah=E所以sA他且 DH = ah=E所以sA他S四边形AEFQ = T S&AD、H = Z，从而选项C正确; 4o对于选项D：（方法一）由于q - q梯形期GEBG1 ( H 1 1111 + XX X 2( 2j 2 2 2 2SECF1111X X ,2 2 2 8而Va-g)=Z SEFG e A瓦匕-ECF = Z SECF A，所以 A-GEF = 2匕_ECF , 即%一研二c

16、-aef，点G到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离的二倍.从而D错误.（方法二）假设点C与点G到平面的距离相等，即平面AE/将CG平分，那么平面AE/必过CG的中 点，连接CG交所于点。，易知。不是CG的中点，故假设不成立，从而选项D错误.8 如图，矩形ABC。，”为的中点，将AAW 沿直线40翻折成AA4,连接用。，N为片。的B.翻折过程中，C/V的长是定值；D.假设A5 = HM = 1,当三棱锥耳-A/。的体积最大时，三B.翻折过程中，C/V的长是定值；D.假设A5 = HM = 1,当三棱锥耳-A/。的体积最大时，三中点，那么在翻折过程中，以下说法中所有正确的选项是（）A.存在某个位置，使得CNLAg;C.假设 AB = BA/,那么 AA/J_BQ；棱锥用- AM。的外接球的外表积是47r.【答案】BD【解析】对于A,取AQ的中点为,连接CE交MQ于点尸，如图1如果CN_LAq,那么石NJLCN,由于 Ag_LA，那么 EN L NF,由于三线NE, NF, NC共面且共点，故这是不可能的，故不正确；对于B,如图1,由/NEC = /MA4，且NA昂AM = EC, 21，在ACN中，由余弦定理得：NC2 = NE2 + EC2 - 2NE- EC- cos ZNEC，也是定值,故NC是定值，故正确；