直角坐标系下二重积分的计算法课件

1、第一节 二重积分的概念和性质第二节 二重积分的计算法第九章 二重积分(一)利用直角坐标系计算二重积分(二)利用极坐标系计算二重积分9.2 二重积分的计算法（一）-利用直角坐标系计算二重积分其中函数 、 在区间 上连续.(1)X型域预备知识:X型,Y型区域2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明（一）直角坐标系下计算【X型区域的特点】 穿过区域且平行于y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.(2)Y型域2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明(3)既非X型域也非Y型域如图

2、在分割后的三个区域上分别都是X型域(D1也是Y型域)则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明2.公式推导表示曲顶柱体的体积.a.回顾二重积分几何意义三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算b.回顾一元函数定积分的应用平行截面面积已知,立体体积求法:1.X型,Y型区域3.几点说明化二重为二次公式(1)aboxyDx2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明公式1公式22.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次

3、序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明公式(1) 【二重积分的计算步骤可归结为】画出积分域的图形，标出边界线方程；根据积分域特征及被积函数，确定积分次序.(写出不等式)根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。3.几点说明2.公式推导三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算1.X型,Y型区域3.几点说明(2) 使用公式1必须是X型域，公式2必须是若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 则为计算方便,可选择积分次序。Y型域.若积分域复杂,可分成若干X型Y型区域【类似例1】【解】看作X型域12oxy y=xy=1Dx三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直

4、角坐标系下计算D既是X型域又是Y型域【解】看作Y型域12oxyx = yx=2Dy12三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例2】【分析】D本身是Y型域先求交点三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算法1法2视为X型域计算较繁三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【例2】【补例1】【解】D既是X型域又是Y型域法1111xoy=xDxy三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算先对x积分更繁法2注意到先对x 的积分较繁，故应用法1较方便111yoy=xD1xy注意两种积分次序的计算效果！三、利用对称性奇偶性二、交

5、换二次积分次序一、直角坐标系下计算【解】三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算D既是X型域又是Y型域把D当作Y型域，先x后y积分练习【小结】以上例子说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(先对x易积就后积y,当y型区域)三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习1】【解】据二重积分的性质4（几何意义）交点三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习2】计算其中 D 是由直线 y=x 及抛物线 y2 = x 所围成【解】三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序

6、一、直角坐标系下计算先y积不出，故先x后y，即Y型域【补例2 】【解】 当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【类似例5】求两个底圆半径都等于R的直交【解】 设两个直圆柱方程为利用对称性, 考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为圆柱面所围成的立体的体积V.三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算类似例4交换二次积分 的积分次序.解：题设积分限:可改写为:所以三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算交换积分次序：若积分区域既是X型区域又是Y 型区域 , 目的为方便计算，或题目要求。补例3交换二次积分的积分次序.解：积分限:可改写为所以原式三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算【练习3】交换下列积分顺序【解】 积分域由两部分组成:视为Y型区域 , 则三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算三、利用对称性奇偶性二、交换二次积分次序一、直角坐标系下计算设D 位于x 轴上方的部分为D11、积分区域D关于x轴对称,则则2、积分区域D关于y轴对称,被积函数关于y为偶函数函数关于y为奇函数，设D 位于y 轴右方的部分为D2则则函数关于x为偶函数函数关于x为奇函数补例4计算其中积分区域 由曲线 与 所围成.解令因为