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1、1 定积分的概念 在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.返回三个典型问题1. 设求曲边梯形 A 的面积S (A), 其中 yxO2. 已知质点运动的速度为求从时刻 3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 求线状物体的质量 m .显然,这就是说,在“常值”、“均匀”、“不变” 的情况下，a 到时刻 b,质点运动的路程 s.可以用简单的乘法进行计算. 而现在遇到的问题以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题中心思想：是“非常值” 、“不均匀”、“有变化”的情形，如何来解决这些问题呢？合理地归为一类特殊和式的极限.把曲边梯形看作许许多多小

2、的曲边梯形之和，每个小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代，虽然为此会产生误差，但当分割越来越细的一分为二时候，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积.yxO一分为四yxO一分为八yxO一分为 n可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积.yxO过程呢？ 这可以分三步进行. 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形a即在上找到 个分点如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的2. 近似:3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是S 总有差别. 当分割越来越细时，和式问题是：越细？就会越来越小.下面依次讨论这两个问题.与曲边梯形的面积矩形，因此黎曼和来表示分割 T 越来越

3、细,因为可能某些的长度不趋于 0 .就能保证分割越来越细.总结以上分析，下面给出定积分定义.对于另外两个实际问题,也可类似地归结为黎曼和给定的能够找到 的极限.定义1并称 J 为 f 在 a,b上的及任意定积分,记作注1列极限，也不是函数极限.注2 中,我们把小曲边梯形近似看作矩形时,显然要求因此定积分既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：f (x)在每个小区间 xi1, xi 上变化不大, 这相当于要求 f (x) 有某种程度上的连续性.a, b 上的一致连续性, 可证 f (x)在a, b上可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.解例1存在. 为方便起见,令以后将知道 f (x) 在a, b 上连续时, 利用 f (x) 在则此时黎曼和的极限

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