第六章--二次型9课件

1、第六章 二次型基本概念二次型化为标准形的方法正定二次型的判定 二次型及其矩阵表示 矩阵合同在平面解析几何中 ，为便于识别曲线的类型、研究曲线的几何性质 ，可以坐标变换（二次曲线）（标准型）二次型定义及其矩阵表示 定义1 含有n个变量 的称为二次型. 二次齐次函数 记则二次型可记作 其中A为对称矩阵（ ）.二次型 用矩阵记号写出来因此二次型一一对应对称矩阵任给一个二次型,就唯一地确定一个对称矩阵；反之,任给一个对称矩阵,也可唯一地确定一个二次型. 我们把对称矩阵A叫做二次型f 的矩阵，也把 f叫做对称矩阵A的二次型. 对称矩阵A的秩就叫做二次型 f 的秩.例1 已知二次型解 二次型 f 的矩阵为

2、 由 知 ，即的秩为2，求参数 c .矩阵的合同对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换 或使二次型只含平方项(二次型的标准形或法式),也就是将线性变换（1）代入二次型，能使定义2 （线性变换定义的扩充）的线性变换（1）的系数矩阵为 记从变量 到变量当C是满秩矩阵时，称（1）为满秩(线性)变换（或非退化变换）. 当C是降秩矩阵时，称（1）为降秩（线性）变换（或退化变换）. 当C是正交矩阵时，称（1）为正交变换. 定义3 设 为两个 阶方阵定理1 若矩阵 与 合同，则 与 等价，合同性质：（1）反身性 （2）对称性 （3）传递性如果存在可逆矩阵 ，使则称矩阵 与 合同，或 合同于 .

3、且例2 设 和 为实对称矩阵，则由 与 相似可推出 与 合同，反之不然. 证 由 与 相似可知， 与 有相同的特征值又由 和 都是实对称矩阵可知，存在正交矩阵 和使得 和 都与对角矩阵 相似，即从而记 ，则由 有于是 ，即 与 合同.反之，虽然都是实对称矩阵，且取有 ，即 与 合同. 但由于对任意可逆矩阵 故 和 不相似，反例说明，在所给条件下合同不一定相似. 二、化二次型为标准形 化二次型为标准形，就是对实对称矩阵（1）正交变换法定理1 对于二次型 ，寻找可逆矩阵 ，使 成对角矩阵.总有正交变换 ，将 化为标准形 是 的矩阵 的特征值例1 求一个正交变换，化二次型 为标准形,并指出方程 表示

4、何种二次曲面 解 二次型 的矩阵为 它的特征多项式为 于是 的特征值为 当 时，解方程组 得基础解系单位化即得 当 时，解方程组得基础解系将 正交化，令再将 单位化，令于是所求的正交变换为 化二次型为标准形 显然， 表示的二次曲面为单叶双曲面. （2）配方法例2 用配方法化二次型 为标准形, 并求所用的变换矩阵.解 先将含 的项配方,有 再对后面含有 的项配方，有 令即所求的满秩变换为 相应的变换矩阵为 将原二次型化为标准形 （3）初等变换法构造 矩阵 ，对 每施以一次初等行变换，就对 施行一次同种的初等列变换； 当 化为对角矩阵时， 将化为满秩矩阵 ； 得到满秩线性变换 及二次型的标准形 例

5、3 用初等变换法化例1中的二次型 为标准形，并求所作的满秩线性变换. 解 二次型 的矩阵为 于是令 则所求的满秩线性变换为将原二次型化为小结比较例1和例3的结果可以看到，用不同的满秩线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的，但有两点是相同的： 标准形中平方项的项数，即二次型的秩. 标准形中正平方项和负平方项的项数. 惯性定理和二次型的正定性惯性定理和规范形 定理1 设实二次型 的秩为 ，使标准型有两个实满秩变换 及及则 ，且称 为二次型 （或矩阵 ）的这个定理称为惯性定理. 正惯性指数为二次型 （或矩阵 ）的负惯性指数对二次型 的标准形再作满秩变换 则有称之为二次型 的规范形. 定理2

6、实对称矩阵 与 合同的充分必要条件是 与 有相同的规范形. 二次型的正定性 定义1 设实二次型 ，如果对任何 都有 （显然 ）则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的, 记作 ；如果对任何 ，都有 则称 为负定二次型，并称对称矩阵 是负定的, 记作 . 例1 设 均为 阶正定矩阵， ，证明 为正定矩阵. 证 由 为正定矩阵，故对任意非零向量所以为正定矩阵.而于是定理3 若 是 阶实对称矩阵,则下列命题等价（1） 是正定二次型(或 是正定矩阵)； （2） 的 个特征值全为正； （3） 的标准形的 个系数全为正； （4） 的正惯性指数为 ； （5） 与单位矩阵 合同（或 为 的规范形）（6）存在可逆矩阵 ，使 ； （7） 的各阶顺序主子式都为正，即 证 (1)(2)由实二次型的性质知，存在正交变换 ，分别取其中为 的特征值. 化二次型 为标准形相应地 ，使又由二次型的正定性可知，显然. 因为 与 合同，故存在可逆矩阵 使即取 即可.对任意 ，有 ，于是等价条件（7）在此不予证明.例2 设二次型 试问 为何值时，该二次型为正定二次型.解 该二次型的矩阵为 由定理3可知，要 为正定矩阵，则 解之得即当 时，该二次型为正定二次型.定理4 若 是 阶实对称矩阵,则下列命题等价（1） 是负定二次型(或 是负定矩阵)； （2） 的 个特征值全