第2讲空间点、线面的位置关系

1、考点突破考点一：平面基本性质的应用考点二：空间两条直线的位置关系考点三：异面直线所成的角课堂小结第2讲空间点、线、面的位置关系夯基释疑思想方法易错防范概要基础诊断夯基释疑证明(1)连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点考点一平面基本性质的应用考点突破P 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据； 公理2及

2、其推论是判断或证明点、线共面的依据； 公理3是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理规律方法考点突破考点一平面基本性质的应用(1)证明由已知G、H分别是FA、FD的中点，得FGGA，FHHD，考点突破考点一平面基本性质的应用GHBC，四边形BCHG为平行四边形G为FA中点知，BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面考点突破考点一平面基本性质的应用解析(1)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此G

3、H与MN共面；图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图中GH与MN异面考点二空间两条直线的位置关系考点突破(2)如图，连接C1D，BD，AC，在C1DB中，MNBD，故C正确；CC1平面ABCD，BD平面ABCD，CC1BD，MN与CC1垂直，故A正确；ACBD，MNBD，MN与AC垂直，故B正确；A1B1与BD异面，MNBD，MN与A1B1不可能平行，故D错误，选D.答案(1)(2)D考点二空间两条直线的位置关系考点突破 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及

4、线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决规律方法考点突破考点二空间两条直线的位置关系证明法一(反证法)假设AD和BC共面，所确定的平面为，那么点P，A，B，C，D都在平面内，直线a，b，c都在平面内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立，AD和BC是异面直线考点突破考点二空间两条直线的位置关系法二(直接证法)acP，它们确定一个平面，设为，由已知C平面，B平面，BC平面，AD平面，BAD，AD和BC是异面直线考点突破考点二空间两条直线的位置关系考点三异面直线所成的角考点突破解(1)在四棱锥PABCD中，PO面ABCD，PBO是PB与面ABCD所成的角，即P

5、BO60，在RtABO中，AB2，OAB30，BOABsin 301，PO面ABCD，OB面ABCD，POOB，【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60. (1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值考点三异面直线所成的角考点突破(2)取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角)【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面

6、ABCD所成角为60. (1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值F考点三异面直线所成的角考点突破在DEF中，由余弦定理，【例3】如图，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60. (1)求四棱锥的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值F 求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型： 利用图中已有的平行线平移； 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； 补形平移规律方法考点突破考点三异面直线所成的角考点突破考点三异面直线所

7、成的角【训练3】已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小解析法一如图，取AC的中点P，连接PM，PN，所以MPN(或其补角)为AB与CD所成的角则MPN60或MPN120，若MPN60，因为PMAB，所以PMN(或其补角)是AB与MN所成的角又因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.考点三异面直线所成的角考点突破若MPN120，则易知PMN是等腰三角形所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上直线AB和MN所成的角为60或30.【训练3】已知三棱锥A

8、BCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小考点三异面直线所成的角考点突破法二由ABCD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1-C1CD1D中进行考虑，如图，由M，N分别是BC，AD的中点，所以MNAA1，即BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角连接A1B1交AB于O，所以A1B1CD，即AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角所以AOA160或120，由矩形AA1BB1的性质可得BAA160或30.所以直线AB和MN所成的角为60或30.答案60或30【训练3】已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为6

9、0，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线，然后证明其他点都在这条直线上2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面思想方法课堂小结易错防范课堂小结1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件4两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角（见教辅）考点突破 备用题 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC