三角形中位线定理几种证明方法教学中需要说明地方

1、-. z三角形中位线定理的证明及其教学说明以下容作者为：第四中学瀚书教师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如下图，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有AD FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC。因为，所以DE 法2：如下图，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，则FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为，所以DE 法3：如下图，延长DE至F，使，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC。因为，所以DE 法4：如下图，过点E作MNAB，过点A作AMBC

2、，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DEBC，即DE。法5：如下图，过三个顶点分别向中位线作垂线二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜测过程：二维转化为一维在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的在联系，从而作如下探索引导。如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系.图：如果点A不在直线BC上，图形如何变

3、化.上述结论仍然成立吗图：说明：学生观察几何画板制作的课件演示：当ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由二维转化为一维，学生就不难猜测性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜测，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。第二，要知道中位线定理的使用形式，如： DE是ABC的中位线 DEBC，第三，让学生通过局部题目进展训练，进而掌握和运用三角形中位线定理。题1 如图4.11-7，RtABC，BA

4、C90，D、E分别为AB，BC的中点，点F在CA延长线上，FDAB.(1)求证：AFDE；(2)假设AC6，BC10，求四边形AEDF的周长.分析 此题是考察知识点较多的综合题，它不但考察应用三角形中位线定理的能力，而且还考察应用直角三角形和平行四边形有关性质的能力。(1)要证AFDE，因为它们刚好是四边形的一组对边，这就启发我们设法证明AEDF是平行四边形.因为DE是三角形的中位线，所以DEAC.又题给条件FDAB，而在RtABC中，因AE是斜边上的中线，故AEEB.从而EABB.于是EABFDA.故得到AEDF.所以四边形AEDF为平行四边形.(2)要求四边形AEDF的周长，关键在于求AE

5、和DE，AEBC5，DEAC3.证明：(1)D、E分别为AB、BC的中点，DEAC，即DEAFRtABC中，BAC90，BEECEAEBBC，EABB又FDAB，EABFDAEADF，AEDF为平行四边形AFDE(2)AC6，BC10，DEAC3，AEBC5四边形AEDF的周长2(AE+DE)2(3+5)16题2 如图，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是BC、AD的中点，延长BA和CD分别与EF的延长线交于K、H。求证：BKECHE.分析 此题考察三角形中位线的构造方法及应用、平行线的性质.由中点想到中位线，又要把结论联系起来，既要使中位线的另一端点处一理想的位置，又使需证明的角转移过

6、来，可考虑，连BD，找BD中点G，则EG、FG分别为BCD、DBA的中位线，于是得到了解题方法.考虑到结论辅助线不要乱作，取中点比作平行线好.证明：连BD并取BD的中点G，连FG、GE在DAB和BCD中F是AD的中点，E是BC的中点FGAB且FGAB，EGDC且EGDCBKEGFE，CHEGEFABCD FGEGGFEGEF BKECHE题3 如图， ABCD为等腰梯形，ABCD，O为AC、BD的交点，P、R、Q分别为AO、DO、BC的中点，AOB60。求证：PQR为等边三角形.分析 此题考察三角形中位线定理、等边三角形判定方法、直角三角形斜边中线定理。利用条件可知PRAD，能否把PQ、RQ与

7、AD(BC)联系起来成为解题的关键，由于AOB60，ODOC，则ODC为等边三角形，再由R为OD中点，则BRC90，QR就为斜边BC的中线.证明：连RC，四边形ABCD为等腰梯形且ABDCADBC ADCBCD又DC为公共边 ADCBCDACDBDC ODC为等腰三角形DOCAOB60 ODC为等边三角形R为OD的中点ORC90DRC(等腰三角形底边上的中线也是底边上的高)Q为BC的中点 RQBCAD同理PQBCAD在OAD中 P、R分别为AO、OD的中点PRAD PRPQRQ故PRQ为等边三角形3、教学难点：本课难点是三角形中位线定理的证明，证明方法的关键在于如何添加辅助线教师可以在证明思路

8、上进展引导、启发，防止生硬地将辅助线直接作出来让学生承受。例如，教师可以启发学生：要证明一条线段的长等于另一条线段的长的一半，可将较短的线段延长一倍，或者截取较长的线段的一半。上面的这种辅助线的作法可以概括为短延长、长截短，这种辅助线的作法还可以用于证明线段和、差、倍、分等方面。证明线段的和、差、倍、分常用的证明策略：1，长截短：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可在长线上截取一局部等于另两条线段中的一条，然后再证明另一局部等于剩下的一条线段的长。角也亦然2，短延长：要证明一条线段等于另外两条线段的和与差，可先延长较短的一条线段，得到两条线段的和，然后再证明其与长的线段相等。角也这样3，

9、加倍法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，可加倍延长线段，延长后使之为其2倍，再证明与另一条线段相等。角也这样4，折半法：要证明一条线段等于另一条线段的2倍或1/2，也可取长线段的中点，再证明其中之一与另一条线段相等。角也可用5，代数运算推理法：这种方法是利用代数运算证明线段或角的和、差、倍、分。6，相似三角形及比例线段法：利用相似三角形的性质进展推理论证。题1短延长：如下图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点。1假设PAQ=45，求证：PB+DQ=PQ。2假设PCQ的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ=45证明：1延长CB至E，使BE=DQ，连接AE。四边形ABCD是正方形ABE=ABC=D=90，AB=AD在ABE和ADQ中AB=AD，ABE=D，BE=DQ2延长