第三讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

1、第三讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词7/25/2022回归课本1.逻辑联结词命题中的或且非叫逻辑联结词.7/25/20222.命题pq,pq,p的真假判断pqpqpqp真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真7/25/2022注意:p与q全真时,pq为真,否则,pq为假.p与q全假时,pq为假,否则,pq为真.p与p必定是一真一假.7/25/20223.全称量词存在量词(1)全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”,简记作xM,p(x).7/25/2022 (2)存在量词短语“

2、存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题,特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”,简记作x0M,p(x0).(3)两种命题的关系全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.注意:同一个全称命题特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活地选择.7/25/2022命题全称命题“xA,p(x)”特称命题“xA,p(x)”表述方法对所有的xA,p(x)成立存在xA,使p(x)成立对一切xA,p(x)成立至少有一个xA,使p(x)成立对每一个xA,p(x)成立对有些xA,使p(x)成立任选一个xA,p

3、(x)成立对某个xA,使p(x)成立凡xA,都有p(x)成立有一个xA,使p(x)成立7/25/2022考点陪练1.（2011安徽）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数7/25/2022解析：本题是一个全称命题，其否定是特称命题，同时将命题的结论进行否定，答案为D.答案：D7/25/20222.(2010威海模拟题)已知命题p:xR,cosx1,则( )A.p:x0R,cosx01B.p:xR,cosx1C.p:x0R,cosx01D.p:xR,cos

4、x17/25/2022解析:全称量词的否定应为存在量词,所以命题p:xR,cosx1的否命题是x0R,cosx01.答案:C7/25/20222.(2010广州联考题)若函数f(x),g(x)的定义域和值域都是R,则“f(x)g(x),xR”成立的充要条件是( )A. x0R,使得f(x0)g(x0)B.不存在任何实数x,使得f(x)g(x)C.xR,都有f(x)+g(x)D.存在无数多个实数x,使得f(x)g(x)7/25/2022解析:f(x)g(x),xR的含义即对任意的实数,都有f(x)0 B.xN*,(x-1)20C.xR,lgx0,函数f(x)=ax2+bx+c.若x0满足关于x的

5、方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )A.xR,f(x)f(x0) B.xR,f(x)f(x0)C.xR,f(x)f(x0) D.xR,f(x)f(x0)7/25/2022解析:由题知:x0为函数f(x)图象的对称轴方程,所以f(x0)为函数的最小值,即对所有的实数x,都有f(x)f(x0),因此xR,f(x)f(x0)是错误的,选C.答案:C7/25/2022类型一含有逻辑联结词的命题真假判定解题准备:解决该类问题基本步骤为:1.弄清构成它的命题pq的真假;2.弄清它的结构形式;3.根据真值表判断构成新命题的真假.7/25/2022【典例1】 已知命题p:xR,使tanx=

6、1,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x2,下列结论:命题“pq”是真命题;命题“pq”是假命题;命题“pq”是真命题;命题“pq”是假命题.其中正确的是( )A. B.C. D.7/25/2022 解 先判断命题p和q的真假,再对各个用逻辑联结词联结的命题进行真假判断.命题p:xR,使tanx=1正确,命题q:x2-3x+20的解集是x|1x0;(2)xN,x41;(3)xZ,x30,即x2+20.所以命题“xR,x2+20”是真命题.(2)由于0N,当x=0时,x41不成立.所以命题“xN,x41”是假命题.(3)由于-1Z,当x=-1时,能使x31.所以命题“xZ,x30.7/25/

7、2022分析 先否定量词:存在任意.再否定判断词.解 (1)非p:存在一个有理数不是实数.为假命题,属特称命题.(2)非p:所有的三角形都不是直角三角形.为假命题,属全称命题.(3)非p:有些二次函数的图象与y轴不相交.为真命题,属特称命题.(4)非p:xR,x2-2x0.为真命题,属特称命题. 7/25/2022反思感悟 只否定全称量词和存在量词,或只否定判断词,因否定不全面或否定词不准确而致错.从以上的符号语言和例子可以看出,对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.对特称命题的否定,在否定判断词时,也要否定存在量词.7/25/2022类型四 与逻辑联结词全称量词存

8、在量词有关的命题中参数范围的确定解题准备:1.由简单命题的真假可判断复合命题的真假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该复合命题的简单命题的真假.利用简单命题的真假分别求出参数满足的条件,再取二者的交集即可.7/25/20222.此类题目经常与函数不等式等知识相联系,要注意分类讨论思想的应用.【典例4】 已知两个命题r(x):sinx+cosxm,s(x):x2+mx+10.如果对xR,r(x)s(x)为假,r(x)s(x)为真,求实数m的取值范围.分析 由题意可知,r(x)与s(x)有且只有一个是真命题,所以可先求出对xR时,r(x),s(x)都是真命题时m的范围,再由要求分情况讨论出所求m

9、的范围.7/25/20227/25/2022 反思感悟 解决这类问题时,应先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况),然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围,最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.7/25/2022错源一错误理解命题的否定【典例1】 已知命题p:函数f(x)=-(5-2m)x是减函数.若p为真命题,求实数m的取值范围.7/25/2022错解 命题p:f(x)=-(5-2m)x是减函数,p:函数f(x)=-(5-2m)x为增函数,05-2m1,21,m0D.对任意的xR,x3-x2+1”,可能的错误是“顾此失彼”,忽略了细节.正解 题目中命题的意思是“对任意的xR,x3-x2+10都成立”,要否定它,只要能找到至少一个x,使得x3-x2+10即可,故命题“对任意的xR,x3-x2+10”的否定是“存在xR,x3-x2+10”,故选C.答案 C 7/25/2022评析含有量词的命题的否定方法:对全称命题的否定,在否定判断词时,还要否定全称量词,变为特称命题.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否定判断词,而不否定省略了的全称量词.7/25/2022技法综合法【典例】 (2010合肥第一次质检