湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题(三)文(含解析)

1、湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题（三）文（含解析）湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题（三）文（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟。满分150分。第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合人=错误！，则满足AnB=B的集合B可以是（C）A.错误！B.x|-1x0【解析】:x1,0=错误！错误！一4=2,故选A.如图，在ABO,/B=45,D是边BC上一点，AO7,ADD=5,DO3,则AB的长为（A）A.错误！B.错误！C.2错误！D.错误

2、！【解析】由余弦定理得cosO错误！，sin堤错误！，在ABC,由正弓g定理得A及错误！,故选A.7.在区间0,4上随机地选取一个数t,则方程x2tx+3t8=0有两个正根的概率为（A）A.错误！B0错误！C.错误！D.错误！【解析】方程X2tx+3t8=0有两个正根，则有错误！t8或错误！t&4,又te0,4,则所求概率为P=错误！，故选A.8.下列函数中，y的最小值为4的是（D）A.y=x+XB,y=错误！C.y=sinx+错误！（0 x4;当x0时y04,故A错误；丫=错误！=2错误！.设t=错误！（t错误！），则y=2错误！易知函数在te错误！，+oo）时单调递增，所以y3错误！，故B

3、错误；设t=sinx（0 xtt）则y=t+错误！（04,故选D。9.已知函数y=f（x）的周期为2,当x1,1时f（x）=x2,那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（A）湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题（三）文（含解析）A.10个B.9个C.8个D.1个【解析】作出两个函数的图象如下，二.函数y=f（x）的周期为2,在1,0上为减函数，在0,1上为增函数，函数y=f（x）在区间0,10上有5次周期性变化，在0,1卜2,3、4,5、6,7、8,9上为增函数,在1,2、3,4、5,6、7,8、9,10上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为0,1，再看函

4、数y=|lgx|,在区间（0,1上为减函数，在区间1,+）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1,再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选A.长方体ABCDABCD中，A及1,BCCD与底面ABCDT成的角分别为45、60,则长方体ABCDA1B1CD的外接球的体积为（A）A.错误！兀B。错误！兀C。错误！兀D.错误！兀【解析】长方体ABCABGD中，A艮1,BCCD与底面ABCDf成的角分别为45、60,BO口口=错误！，.长方体ABCDABCD的各顶点都在同一球面上，球的一条直径为错误！，可得半径R=错误！，因此，该长方体ABCD-ABC1D的外接球的体积为V=错

5、误！冗R3=错误！兀，故选Ao.已知双曲线C:错误！一错误！=1的左、右焦点分别是Fi、F2,正三角形AFF2的一边AF与双曲线左支交于点B,且错误！=2错误！，则双曲线C的离心率为（B）A.错误！+1B.错误！+1C.错误！+1D。错误！【解析】由错误！=2错误！可知：B为AC之中点.BELAC.错误！=2c,错误！=c,错误！=错误！c,.e=错误！=错误！=错误！=错误！+1。故选Bo.定义在R上的奇函数f错误！对任意Xi,x2错误！都有错误！0。若x,y满足不等式f错误！f错误！，则当1&X&4时，错误！的取值范围是（D）A.错误！B。错误！C.错误！D.错误！【解析】设XiX2,贝U

6、XiX20.由错误！0,即f（Xi）f（X2）,所以函数f（x）为减函数.又因为y=f（x）为奇函数，所以f（x22x）y2-2y,gp（x-y）（x+y2）0.因为错误！=1错误！=1错误！，而在条件错误！下，易求得错误！e错误！，所以1+错误！C错误！，所以错误！C错误！，所以1错误！e错误！，即错误！e错误！，故选D.选择题答题卡题号123456789101112答案CDDCAAADAABD第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.将某班参加社会实践编号为：1,2,3,

7、，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知4号，20号，28号，36号，44号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是12.【解析】根据系统抽样的概念，所取的6个样本的编号应成等差数列，故所求编号为12.在ABC,错误！=4,错误！=3,l为BC的垂直平分线且交BC于点D,E为l上异于D的任意一点，则错误！（错误！一错误！）的值为错误！.【解析】错误！（错误！一错误！）=（错误！+错误！）（错误！一错误！）=错误！（错误！一错误！）+错误！（错误！一错误！）=错误！（错误！一错误！）=错误！（错误！+错误！）（错误！一错误！）=湖南省师大附中2019届高三数学上学期月

8、考试题(三)文(含解析)错误！(错误！2错误！2)=错误！X(169)=错误！。.过点错误！且在x轴上截距是在y轴上截距的两倍的直线的方程为_x2y=0或x+2y-4=0.【解析】截距都为零时直线过原点，斜率为卜=错误！，直线为x2y=0,当截距不为零时，x设万程为吗+错误！=1,代入点错误！得a=2,所以万程为x+2y4=0。.小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”.有甲、乙、丙3个柱子，甲柱子上有n(n3)个盘子，从上往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这n个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上游戏结束，在移动过程中每次只能够移动一个盘子，甲、乙、丙3个柱子都可以利用

9、，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为an,则：I一一甫a3=7；(2)当n3时，an+1,an的关系可表小为an+1、=2an+1.【解析】(1)易求a3=231=7;(2)当n3时，要将n个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上，只需将上面n-1个盘子转移到内柱子上，最少需要移动an1次，再将最大的那个盘子转移到乙柱子上，最少需要移动1次，最后将内柱子上的n-1个盘子移动到乙柱子上，最少需要移动an1次，即an2an1+1次，所以an+1=2&+1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本小题满分12分)湖南省师大附中2019届高三数

10、学上学期月考试题（三）文（含解析）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85.（1）计算甲班7位学生成绩的方差S2;（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班，乙班各一人的概率.【解析】（1）二甲班学生的平均分是85,错误！=85,x=5.3分则甲班7位学生成绩的方差为S=错误!错误！=40o6分（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为AB,乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为CD,E。从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：错误！，错误！，错误！，错误！，错误！，错误！，错误

11、！，错误！，错误！，错误！。8分其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：错误！，错误！，错误！，（C,E）o10分记“甲班，乙班各一人”为事件M则P音误！=1错误！=错误！，错误！ .12分故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班，乙班各一人的概率为.（本小题满分12分）如图，PA1平面ABCD矩形ABCD勺边长A氏1,BO2,E为BC的中点.（1）证明：PELDE（2）如果异面直线AE与PD所成的角的大小为错误！，求PA的长及三棱锥A-PED的体积.【解析】（1）证明：连接AE由AB=BE1,得AE错误！，1分同理DE错误！，A+DE=4=AD,由勾股定理逆定理得/AE氏90,D

12、EAE3分.PAL平面ABCD.PALDE；又PA?AA,.DEL平面PAE5分PEIDE6分（2）取PA的中点MAD的中点N,连MCNCMNAC.NC/AE,MN/PD,./MNC勺大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小，即/MN&错误！或错误！.（或者由观察可知，/MNG错误！，不需分类讨论）设PA=x,则NC=错误！，“用错误！，M的错误！。若/MN后错误！，由cos/MN错误！=错误！，得PA=2。9分.V.-PDVP-DAF错误！X错误！X错误！X错误！X2=错误！.10分若/MN&错误！，由cos/MNG错误！=错误！，显然不适合题意.11分综上所述，PA=2,三棱锥AP

13、ED勺体积为错误！。12分.（本小题满分12分）已知数列错误！的前n项和为Sn,且满足&=2,an+1+3Sn+2=0（nCN*）.（1）求数列错误！的通项公式；（2）是否存在整数对（mn）,使得等式a错误！mvan=4nn+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（mn）;若不存在，请说明理由.【解析】(1)当n)2时，(an+1an)+3(S$)=0,湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题(三)文(含解析)即(an+1an)+3an=0,an+12an(nn2),2分另由a22a得an+12an)所以数列an是首项为一2,公比为一2的等比数列，3分an=(2)n。4分(2)把an=(2

14、)n代入a2,nman=4m+8中得(一2)2nm(2)n=4nn+8,nn=错误！，错误！=(2)n4+错误！,6分要使m是整数，则须有错误！是整数，；(2)n+4能被8整除,7分当n=1时，(一2)n+4=2,错误！=4,止匕时m=2,8分当n=2时，(一2)n+4=8,错误！=1,此时m=1,9分当n=3时，(一2)n+4=4,错误！=2,此时m=14,10分当n4,|(2)n+4|20,错误！不可能是整数，11分综上所述，所求满足条件的整数对有(2,1),(1,2),(14,3)。12分.(本小题满分12分)已知椭圆C：错误！+错误！=1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形

15、，且该三角形的面积为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C有一个内接的平行四边形，其一组对边分别过椭圆C的左右两焦点F1和F2,求这个平行四边形面积的最大值.【解析】(1)二.椭圆C：错误！+错误！=1(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为错误！，依题意错误！解得a=2,b=错误！，c=1,湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题(三)文(含解析)2、一x椭圆C的方程为：彳+错误！：，4分(2)设过椭圆右焦点F2的直线l:x=ty+1与椭圆交于A,B两点，则错误！整理，得：(3t2+4)y2+6ty9=0,一、，E6t._八由韦达止理，得：yi+y2=3t

16、2+4,yy2=错证！，6分|yiy2|=错误！=错误！=错误！，Saoa-SAOFA+SJAOFB=错误！X|OF|X|yiy2|=错误！，24Jt2+1 TOC o 1-5 h z 椭圆C的内接平行四边形面积为S=4Saoa尹康2,10分314令mi=1,则8f(0=错误！，注意到S=f(m)在1,+8)上单调递减，Sax=f(1)=6,当且仅当m1,即t=0时等号成立.故这个平行四边形面积的最大值为6。12分.(本小题满分12分)设f(x)=ex(ax2+x+1).(1)若a0,讨论f(x)的单调性；| 2。(2)x=1时，f(x)有极值，证明：当0C错误！时，|f(cos0)f(sin

17、0)【解析】(1)f(x)=ex(ax2+x+1)+ex(2ax+1)=aex错误！(x+2),1分当a=1时，由f(x)=错误！ex(x+2)20,所以f(x)在R上单增递增;2分当00,得x2或x一错误！；由f(x)0,得一ax错误！时，由f(x)0,得x错误！或x2,由f(x)0,得一2x0,得一2Vx1,.f(x)在2,1上单增.9分V9C错误！，.cos9,sin8C0,1,10分.错误！&f(1)f(0)=e12.12分请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，

18、。为坐标原点，曲线C：错误！(a为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：psin错误！=(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标.【解析】(1)曲线错误！可得：错误！曲线C的普通方程：x2+y2=4。3分直线l：psin错误！=1=错误！psin0+错误！pcos0,直线l的直角坐标方程：x+错误！y2=0.5分(2)二圆C的圆心(0,0)半径为2,圆心C到直线的距离为1,这三个点在平行直线11与12上，如图：直线11与12与l的距离为1.11：x+错误

19、！y=0,12：x+错误！y4=0。错误！可得错误！错误！两个交点(一错误！，1)、(错误！，一1)；错误！解得(1,错误！),8分这三个点的极坐标分别为：错误！、错误！、错误！.10分23.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=错误！，g(x)=af(x)|x1|.b的取值范(1)当a=0时，若g(x)Ix-2|+b对任意xC(0,+8)恒成立，求实数围；(2)当a=1时，求g(x)的最大值.【解析】(1)当2=0时，g(x)=错误！，错误！0错误！+b-b错误！+错误！，二.错误！+错误！，错误！=1,.b1,t1.5分(2)当a=1时，g(x)=错误！6分可知g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+