通用版2020版高考数学大二轮复习大题专项练习分类汇编全集文

1、 大题专项练(一)三角函数A组基础通关1.已知在 ABC，角 A B, C的对边分别是 a, b, c,且 ccos B+( b-2a)cos C=0.求角C的大小；(2)若c=2,求 ABCW面积S的最大值.网(1)因为 ccosB+( b-2a)cos C=0,所以 sin Sos B*sin B-2sin A)cos C=0,所以 sin Ccos B+sin BcosC=2sin AcosC,所以 sin( B+C=2sin AcosC.又因为A+B+C=,所以 sin A=2sin AcosC.又因为AC (0,兀)，所以sin Aw 0,所以 cosC=1. 一一TT又CC (0,

2、兀),所以C=3.(2)由知，C=3,所以 c在 RgMAN.MBk，=a2+b2- 2abcosC=s2+b2-ab.又 c=2,所以 4=a+b2-ab.又a2+b22ab,当且仅当a=b时等号成立，11兀 _所以 abW4 .所以 ABC积的最大值(Sab。ma产自？为in ?)= 5x4Xsin/max /0.如图,在梯形 ABCW, Z A=Z D=90 , M为 AD上一点，AM2MD2, Z BMOOC .(1)若/ AMB60 ,求 BC(2)设/ DCM书，若 MB4MC求 tan 6 .g(1)由/ BMCeO , Z AMBSO ,得/ CMDO .在 RtAABlW ,

3、 MB2AM4;在 RtA CDlW2 由 MB4MC得 2sin(60- 6 ) =sin 6 ,所以 6cos 0 - sin 0 =sin 0 ,即 2sin 0 = vcos 0 ,整理可得tan 0=., MC2MD2在 MB*,由余弦定理，得 Bd=BIH-M62BM- MG cosZ BMCtS, BC2餐.(2)因为/ DCMC ,所以/ ABM驶 -9 ,0e0)个单位，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原 来的2倍，得到函数y=sin x的图象，求()的最小值.附(1) f(x) =m n-翼2acos2x+bsin xcosx-3, TOC o 1-5 h z ,_

4、v3v3 /口v3由 f (0) =2a - = t，佝 a=2-，一，v3?此时,f(x) =ycos2 x+ysin2 x,由 f (x) 0,所以6的最小值为-.6_,兀.函数f (x)=Asin (?+万)(八0, 30)的最大值为2,它的最小正周期为 2兀.(1)求函数f(x)的解析式；._,、， ,_.、一兀 兀(2)右g(x)=cos x f (x),求g( x)在区间-,不上的最大值和最小值.g(1)由已知f(x)最小正周期为2兀，一一 .2兀,一所以讨=2兀，解得3 : 1.因为f(x)的最大值为2,所以A=2,一一一 .7T所以f (x)的解析式为f (x) =2sin (

5、? +石).(2)因为 f(x)=2sin (?+ /)=2sin xcos-6+2cosxsin -6 = vsin x+cosx,ULr, 、 M.2 v3 ,.1 + c0s2 ?所以 g(x)=cosx f(x) =v3sin xcos x+cos x=-2sin2 x+2=sin (2?+ -6) + 2.因为-xW 4,所以-V0,06兀)的一系列对应值如表：x? -40?-6?-4?万3?4y01120-10求f (x)的解析式；一.1 .(2)若在 ABB ,AC2 8。=3,“丹=-2(八为锐角)，求ABC勺面积.g (1)由题中表格给出的信息可知，函数f(x)的周期为T=3

6、4 -(-1)=兀,一一2兀所以 co = =2.兀注意至ij sin(2 X0+巾)=1，也即 巾弓+2卜兀(kC Z),由 0()兀，所以()=-2.所以函数的解析式为f(x)=sin (2?+ ) =cos2x.1 一J兀(2).f(A)=cos2A=-2，且 A 为锐角，二 A=-在 ABC ,由正弦定理得?sin ?sin ?,r ? sin ?:sin B= ?2X3黄=.33 ,-. BOAC- B2，解得 a=3v2,由余弦定理，得 c2=b2+a2-2abcosC=10,解得 c=vl0.上 /口 c ?2+?2-?2v5(2)由(1)付 cosB=-2?=手 一 2 5由于

7、B是二角形的内角，得sin B=v1 - cos2?=父,5LL Ir _ A/5V2 2 v5A/23 V10所以 cos( B-C) =cos6cosc+sin Bsin C=5XT+ -xT=B组能力提升7.如图，在凸四边形 ABC珅，CD为定点，CD=3,AB为动点，满足AB=BC=DA=(1)写出cos C与cos A的关系式；(2)设 BCDF口 ABD勺面积分别为 S和1求S2+T的最大值.区(1)在 BCD ,由余弦定理，得 BD=BC+Cb2 BC- CcosC=4-2*cosC在 AB叶，BD=2-2cosA所以 4- 2v3cos C=2- 2cos A 即 cos A=

8、v3cos C-1.(2) S=2- BC- CD sin C=，；n ?, T=2AB - ADin A=2sin ALL,、， -2 -23. 21. 2.3,*2 1-2, 3 2瓷 3所以 S+T=4sin C+4sin A=4(1 -8s Q+4(1-cos M-2cos C+2cosC+=-3(c0s?-4)+ 7.由题意易知，CC(30 ,90 ),所以 cosCe (0,1),当cosC。时，0+T2有最大值7.8.某城市在进行规划时，准备设计一个圆形的开放式公园.为达到社会和经济效益双丰收 ，园林公司进行如下设计，安排圆内接四边形 ABC酢为绿化区域，其余作为市民活动区域.其

9、中ABDE域种植花木后出售， BCDK域种植草皮后出售，已知草皮每平方米售价为 a元,花木每平方米的售价是草皮每平方米售价的三倍.若BC km, AD=CD=km.(1)若BD=2V7 km,求绿化区域的面积 (2)设/ BCD=),当0取何值时，园林公司的总销售金额最大丽(1)在 BC加,BD=2v7, BC6, CD=4,由余弦定理，得 cos/ BCD=?K?2 = 62+42因为/ BCDE (0 ,180 ),所以/ BCD60 ,又因为A B, C D四点共圆，所以/ BAD=20 .在 AB计,由余弦定理，得 BC2=Ag+AD-2AB ACcosZ BAD将 AD=4, BD=

10、2睛代入化简，得 AB2+4AB-12=0,解得AB=2(AB=-6舍去).所以 S四边形 abc=&abd+SBegx 2X4sin120 gx 4X6sin60 =8v3(km2),即绿化空间的面积为 8V3km2.(2)在 BCD ABD43分别利用余弦定理得 TOC o 1-5 h z BD=62+42- 2X 6 X 4cos 0 ,BD=AB+42-2 X 4ABsos(兀-0 ),联立消去BD得A百+8AEC0S e +48cos 0 - 36=0,得(AB)( ABh8cos 0 -6)=0,解得 AB=6- 8cos e (AB=-6 舍去).一 .一 一3因为 AB：0,所

11、以 6- 8cos 0 0,即 cos 0 0,解得-2cos e i,一3 一，、r3又 cos 0 4,不妨设 cos 0 0=4,2兀则函数f( e)在(？?o,=)上为增函数； 31令 f( e)0,解得 cos ei=1-an-i(nC N,且 n2),则 Sn-Sn-i=(1 -an) -(1 -a n-i)( n N*,且 n2).*即 an=2an-1( n e N,且 n2).因为 $=1-an(nC N), _一1所以 S=1-a1=a1,即 a1=2.所以d是以2为首项，2为公比的等比数列故 an=(2) (n N).1 ?(2) bn=lOg 2an,所以 bn=lOg

12、2(、) =-n所以=f = 焉?+1111111故1-9 + (2-3)+3+(方-行产1-行4.设等差数列an的公差为d, d为整数，前n项和为S,等比数列 bn的公比为q,已知 *a=b, b2=2, d=q, So=100, n C N.求数列an与bn的通项公式；、一?99(2)设Cn=-,求数列 Cn的刖n项和Tn.?10?1+ 45?= 100解由题思可得”?1? = 2,?i = 9，?i = i解得?=2 (舍去)或?1二 21， TOC o 1-5 h z 一 9一，所以 an=2n-1, bn=2n-1.?2?-1*可，5丁,3572?-1.Tn=1 +2 + 22 +

13、23+,.+2?-11135792?-1-Tn=- + + T5 + -4 + -5 + +-* 222223242521111-可得2Tn=2+2 + 22+2?-2 -2?-12?+3 12?+32千=3- 2?,故 Tn=6- 2?-1 .5.已知正项数列an的前n项和为S,满足2$+1=2?+a(nC N*).求数列an的通项公式(2)已知对于nC N,不等式 +J-0,所以 af当 n2 时,2 $+1=2?+an(nC N*),2&-1+1=2?-1+an-1(nC N*),作差整理，得 an+&-1=2( 8+a-1)( an-an-1),1因为 an0,an+3n-10,以 a

14、n-a n-1=2,?+ 1故数列an为等差数列，所以an=?9(2)由(1)知 S=?(?+3)所以否=?(?+ 3) = 3(?- ?+3),_. 1111从而西 + 花 + ?73+?；?41111113L(1-4) + (2- 5) + (3- 6)+ +(?-211?+) + (?i1 T7+2) +(?- 77+S)41113 1+2+ 3- ?+11 ?+11_22?+2 - ?+3 0,11 -2n0,得 nw5,于是,S=.=5( ?1； ?5)=25.易知,n6 时,bn310g 范围.丽丁点(n,Sn)在函数f(x)2 时，Sn-1=2(n-1) 2+2( n-1),-，

15、得an=n.当n=1时，a1=S=1,符合上式.*.：an=n(nC N). TOC o 1-5 h z ,/口11111由(1), 4可?+2 = ?( ?+ 2) = 2(?- ?+2) ,+=1 1-1+1- 1 +?1?3?2?4?+22324T n+1-T n =0,a(1 -a)对任意正整数n恒成立，求实数a的取值(?+1)( ?+3),;数列Tn单调递增, TOC o 1-5 h z 一,一 ，一,1：Tn中的最小项为Tl=. 3要使不等式T1log a(1 -a)对任意正整数 n恒成立，只要1 110g a(1 -a), 333即 log a(1 -a) 1og aa.一11解

16、得02 时，入(n-1) an=S-1+1,两式相减得 入na+1-入nan+入a n=an,即 入 n (an+1-a n) =(1 -入)才，由于a的各项均不相等?+1-?(n2),?-1?-?-1?(?-1) 当n4时，有_?， 1-: ？两式相减可得1-?-1?+1? ?-?-1,1?”当人2?+1- ?-1,?；+1=一 ? ?-1?-?-1由于 aniW。，/以 an+1-a n=an-an-1,即 2 3n = Cn+1 +3n-1 ( n3),故32, 33,，an,成等差数列.1再证当32, 33,，an,成等差数列时,入二2,因为32, 33,，3n,成等差数列， TOC

17、o 1-5 h z 所以 3n+1-3n=3，-3n-1(n3),可得叫-与=二 -?-1=3 1 33 3 1n ,?+1-?-?-1?-?-1?-?-11-?一一1所以入=2,1所以当且仅当 入=2时，32,33，3n,成等差数列.大题专项练（三）立体几何A组基础通关1.如图，三棱柱 ABC-ABC中，BC=CC平面ABC，平面BCCB.证明：(1) AC/平面 ABC;(2)平面ABC，平面A1BC.网(1)几何体为三棱柱？四边形ACCA1为平行四边形？ AC/ AC,又AG?平面ABC, AG平面ABC,.AC/平面 ABC.BC=Cffl四边形BCCB为平行四边形，：四边形BCCB为

18、菱形，：BC，BC.又平面 ABC,平面BCCB,平面ABCA平面BCdB=BC, ：平面 A1BC.又B1C?平面ABC :平面ABC，平面 ABC.如图，圆锥SO中，ABCD为底面圆的两条直径，ABH CD=O且AB! CDSO=O主P为SB的中点.求证：SA/平面PCD (2)求圆锥SO的表面积和体积. 画上接PO.P、皿别为SB AB的中点，：PO/ SA由于PO?平面PCDSA平面PCD：SA/平面 PCD(2)恻: SON OB2, SO为圆锥的高，OB为圆锥底面圆的半径，：V=3兀r 2h兀X 22 X 2咚，由于SO为圆锥的高，则母线SB=/?2 + ?2=2S,1122S 侧

19、面=2l SB=2X 2X 兀 X 2X 2V2=42 , S 底面=兀=兀2=4兀，故 S=S 底面+S 侧面=(4 +4v2)兀.等边三角形 ABC的边长为3,点D, E分别是边ABAC上的点，且满足假=蔡=2,如图甲，将4ADEgDEW起到 ADE的位置，使平面ADEL平面BCED连接AiR A1C,如图乙，点M为AD的中点.求证：EM/平面ABC(2)求四棱锥A-BCED勺体积.回取BD的中点N连接NE则NE/ BC在四麴t A1-BCED中，NE与BC的平行关系不变.连接 MN在DAB中，MN/ AB,又 NMT NE=NBAn BC=B. .平面 MN由平面 ABC又 EM?平面

20、MNE：EM/平面 A1BC.(2)二.等边三角形 ABC勺边长为3,且券?= 募=2, ：AD=,AE=2.在 AD计,/ DAE=0由余弦定理得 DE=V+ 22-2 X1 X2 Xcos60。= v3,从而 AD+DE=AE, ：AD1 DE.折起后有 AD DE.平面ADE1平面BCED平面AiDm平面 BCED=DAD?平面 ADE.ADJ面 BCED.1：四棱锥Ai-BCED勺体积 V=1S四边形bced-AiD3连接BE贝U S 四边形BCE=2CB- CBin / BCE+BD- DE=x 1 X3X sin60 +：x 2X g=743,、，17v3 - V=3 xx 1 =

21、7途T2-.如图所示，在多面体 ABCDEF,四边形 ABCD正方形，AB=2EF=2, EF/ AB EF_ FB /BFC90 , BF=FCH为 BC的中点.求证：FH/平面EDB(2)求证：ACL平面EDB求四面体B-DEF的体积.画& AC与BD交于点G则G为AC的中点，如图所示，连接EGGH；H为BC的中点，：GH/ AB.V EF/ AB EF/ GH.又 ; EF=GHAB：四边形EFH学平行四边形，：EG/ FH.V EG 平面EDBFH?平面EDB：FH/平面 EDB.(2)区叫:四边形ABCM正方形,/.ABI BC.V EF/ AB ,.EFL BC.又 V EFL F

22、B B6 FB=B : EFL面 BFC 又 FH?平面 BFC ： EFL FH.ABL FH.BF=FCH为 BC的中点,.FH1BC又 ABH BC=B . FH，平面 ABCDFH AC.vFH/ EG.ACL EG.ACL BD EGA BD=G： ACh平面 EDB.(3) v EFl FB BFL FC EFn FC=F : BFL平面 CDEF： BF即为四面体 B-DEF的高.由(2)知,EF，平面 BFC ; EF FC.又EF/ AB/。下。为口尸中 EF 边上的高.BC=AB2=, ： BF=FC=2,二V四面体B-DEF=- x - X 1 X v2 x v2 =32

23、.如图,在五面体 ABCDEF,四边形CDE的矩形，ADL CD.证明：ABL平面ADE(2)连接BDBE若二面角E-CD-A的大小为120 , AD=2AB=2DE=2,求三棱锥 E-ABD勺体积.(1)网已为 CDL ADCDL DEADH DE=D所以CDL平面ADE因为四边形CDF叨矩形，所以EF/ CD.又EF?平面ABCDCD?平面ABCD所以EF/平面ABCD.因为EF/平面 ABCDEF?平面ABFE平面ABF由平面ABCD=AB所以EF/ AB又 EF/ CD 所以 CD/ AB又CDL平面 ADE所以ABL平面 ADE.(2)解因为CDLADCDh DE所以/ ADE为二面

24、角 A-CD-E的平面角，所以/ ADE=20&ADE=2DA- DE- sin / ADE=x2X1X= .于是 1_ 1_1c A |-_1、/ S Y 西V 三棱锥 E-ABD=V 三棱锥 B-ADE-3SaADE , AB与 X X 1 =6-.如图，在四麴t E-ABC由，底面ABCD1平行四边形，AB-v5, BC2,截面EBD等边三角形，MN分别是ADCE的中点.(1)求证：MN平面EAB(2)若EC=EAA9 DE求三棱锥 E-BMN勺体积.(1)证明知图，取EB的中点F,连接AFNF,. 一 一 1在 ECB ,易得 NF?2BC1又在平行四边形 ABCM, AM?尹C：NF

25、?AM：四边形AMN是平行四边形，V MIN/ AFAF?平面 EABMN?平面 EAB.MN/平面 EAB.(2)恻如图，连接AC交BD于点O连接EO在等月EAC中，EA=EC：EOLAC又在等边 EB叶,ECL BDEOL平面 ABCD.：EQL AB.又 ABL DE ES DE=E：ABL平面 BDE:ABL BD. ： VE-BM=M-EBM=2VC-EBM=1VE-BC耳&BCM EQ又 Sabcm=Sabc=AB.BD= -v2 , v2=1,LC K6EO=2 =VE-bm=6 X 1 X =v612b组能力提升.如图,四棱锥 A-BCD日,CDL平面 ABCBE/ CDAB=

26、BC=CABL bcm为 AD上一点,EML平面 ACD.求证：EM/平面ABC(2)若CD2BE2求点D到平面EMC勺距离.网中 AC的中点F,连接BF因为AB=BO以BF AC又因为CDL平面ABC所以CDL BF,又Cm AC=C所以BU平面ACD因为EML平面 ACD所以EM/ BF EMT平面ABCBF?平面ABC所以EM/平面ABC(2)阿因为EML平面 ACDEM?平面EMC所以平面 CME平面 ACD平面CME平面ACD=CMi点D作直线DGLCM则DGL平面CME.由已知 CDL平面 ABC BE/ CDAB=BC=CD=E 可得 AE=DE又EML AD所以M为AD的中点.

27、在 RtAABC , AC=2BC=2v2,在 RtAADC , AD=/?2 + ?2=2v3, Scd=28acd=1 x；X 2X2v2 =蟆,在 DCMh , CM=AD=/3,由等面积法知 1X CMK DG=2,所以DG等,即点D到平面EMC勺距离为草. 33?.如图，直三棱柱 ABC-ABC中，AC=BC=AA=AB=6, D, E分别为AB和BB上的点，且交=否?产入.(1)求证：当入=1时,ABCE(2)当人为何值时，三棱锥A-CDE的体积最小，并求出最小体积.旭叫:人=1, ： D E分别为AB和BB的中点，又AB=AA且三柱 ABC-ABC为直三棱柱，：平 行四边形 AB

28、BA为正方形，：DEL AB. AC=BCD为 AB的中点,.CDLAB.V三棱柱ABC-ABC为直三棱柱，CDL平面 ABBA,又 AB?平面 ABBA,.CDL AB,又 CDT DE=D：AB，平面 CDEC日平面CDE.ABXCE.(2)呼 BE=x 则 AD=x DB-x , BE=6-x ,由已知可得 C到平面ADE的距离即为 ABC勺边AB所对的高,h=V?2- (7) 2=4,V-CDE=VC-ADE=( S 四边形 ABBA -Sa AAD-S ADBE-SaABe) hIp II=3_36-3x-1(6-x)x-3(6-x)i - h=2(x2-6x+36) =2( x-3

29、)2+27(0 x6 X(4-6)2+15X (5 -6) 2+21 X (6 -6) 2+12 X (7 -6) 2+3 X (8 -6)2+3X(9-6)2=1. 5.从B校样本数据统计表可知，B校样本数据的均值为?99?4X9+5X12+6X21+7X9+ 8 X6+ 9X360B校样本数据的方差为？?2? = 60 x9 X(4-6)2+12X (5-6)2+21X (6-6)2+9X(7-6)2+6X (8-6)2+3X(9-6)2 =1. 8.因为?= ?,所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又？?？ ?2?,所以A校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B校好.（2）依题意,从

30、A校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为京6Kx 12=4,分别设为12+ 3+ 3a, b, c, d;从成名贵为8分的学生中应抽取的人数为3=1,设为e;从成绩为9分的学生中应抽取12 + 3+ 3的人数为12+63+3 x 3=1,设为f.12+ 3+3所有基本事件有ab,ac,ad,ae, af,bc,bd,be, bf, cd,ce,cf, de,df, ef,共 15 个,其中满足条件的基本事件有ae, af, be, bf, ce, cf, de, df, ef,共9个,所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15分的概率P=5 =53.某公交

31、公司为了方便市民出行、科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站为研究车辆发车间隔时间 x（分钟）与乘客等候人数 y（人）之间的关系，经过调查得到如下数据间隔时间x（分钟）101112131415等候人数y（人）232526292831调查小组先从这 6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.检验方 法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数？?,再求;与实际等候人数y的差,若差值的绝对值不超过 1,则称所求线性回归方程是“恰当回归方程”（1）从这6组数据中随机选取 4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间之差大于1的概率；（2）若选取的是后面4

32、组数据，求y关于x的线性回归方程？= ?x+?,并判断此方程是否是“恰当 回归方程”；(3)在(2)的条件下，为了使等候的乘客不超过35人，则间隔时间最多可以设置为多少分钟？(精确到 整数)? ?-?参考公式:? = ?=?一二？=? ?.-？?2?2-，一 , ,网(1)设“从这6组数据中随机选取 4组数据后，剩下的2组数据不相邻”为事件 A记这六组数据分别为 1,2,3,4,5,6, 剩下的两组数据的基本事件有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共 15 种，其中相邻的有12,23,34,45,56, 共5种，所以 RA)=1-15=

33、3.(2)后面4组数据是:因为？二 空13415=13.5,? =26+29+28+31_4=28. 5,间隔时间(X分钟)12131415等候人数(y人)26292831? ?=1xiyi=1546,i?1?=734,?1546-4X13.5 X28.5 = 14734-4X13.52一 .,E ? ? 所以？= ?= 1? 工?- ?2?= 1?=?- ?=28. 5-1.4X13.5=9.6,所以？=1.4x+9. 6.当 x=10 时,?=1.4X 10+9. 6=23. 6,23.6- 23=0. 61;当 x=11 时,?=1.4 X 11+9. 6=25,25 -25=01,所以

34、求出的线性回归方程是“恰当回归方程”,1(3)由 1.4x+9. 6W35,得 xkc)0.050. 0250. 01kc3.8415. 0246. 6352?( ?- ?):K=(?+?)( ?+ ?)( ?+?)( ?+ ?)24画 由从这560家企业中随机抽取1家，抽到支持技术改造的企业的概率为7.可知：支持技术改造的企业共有320家，故列联表为所以K2的观测值k二560(80 X200- 40X240)120X440K320 X240支持不支持合计中型企业8040120小型企业240200440合计3202405605. 6575. 024故能在犯错误的概率不超过0. 025的前提下认

35、为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规 模”有关.(2)由(1)可知支持技术改造的企业中，中小企业比为1 : 3.所以按分层抽样的方法抽出的8家企业中有2家中型企业，分别用x、y表示,6家小型企业，分别用1、2、3、4、5、6表示.则从中选取 2 家的所有可能为xy、x1、x2、x3、x4、x5、x6、y1、y2、y3、y4、y5、y6、12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共 28 种.其中总奖金为 20 万的有 12、13、14、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56,共 15 种.15所以奖励总金额为2

36、0万兀的概率为-.某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个平行班，每班50人，某教师采用 A B两种不同的教学模式分别在甲、乙两个班进行教改实验，为了了解教学效果，期末考试后，该教师分别从两班中各随机抽取 20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图所示，记成绩不低于90分为“成绩 优秀”甲(1)在乙班的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2人，求抽出的两个人均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据填写2X2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为成绩优秀与教学模型有关甲班(A)乙班(B)总计成绩优秀成绩小优秀总计附：K2=?( ?-?)2P(K2kc)0.250.

37、150. 100. 050.025kc1.3232. 0722. 7063. 8415. 024(?+?)( ?+ ?)( ?+?)( ?+ ?)帆(1)设抽出的两人均为“成绩优秀”为事件A从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件有(86,93),(86,96),(86,97),(86,99),(86,99),(93,96),(93,97),(93,99),(93,99),(96,97),(96,99),(96,99),(97,99),(97,99),(99,99),共 15 个.事件A包含的基本事件有10个，10RA)=记(2)列表甲班(A)乙班(B)总计成绩优秀156成绩小优秀1915

38、34总计202040K2 的观测值 k=40634oZ)2 =3.1372.706,：在犯错误的概率不超过 0. 10的前提下认为“成绩优秀”与教学模式有关.6.某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.(1)若所得分数大于等于 80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率.口(1)由题可得，男生优秀人数为100X(0.01+0.02)X 10=30(人),女生优秀人

39、数为100 X (0.015+0. 03) X 10=45(人). TOC o 1-5 h z 51(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是e二不，30 + 45151 1所以样本中包含男生人数为30 X话=2(人)，女生人数为45X-=3(人).设两名男生为 A,A2,三名女生为B,&则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为: A,A2,A,B,A,B2,A,B3,A, B,A2, B2,A2,B3,B,B2,B,B3,B2,B3,共 10 个，每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件C: “选取的2人中至少有一名男生”，则事件C包含的基本事件有: A,A2,A,

40、B,A,B2,A,B3,A2, B,A2, B2,A2,B3,共 7 个.所以RG) 即选取的2人中至少有一名男生的概率为170.B组能力提升7.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三白全体1 000名学生中随机抽取了 100名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图.(1)若直方图中后四组的频数成等差数列 ，计算高三全体学生视力在5.0以下的人数，并估计这100名学生视力的中位数(精确到0.1)；(2)学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，

41、根据表1及临界值表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0. 05的前提下认为视力与学习成绩有关系？年级名次是否近视前50名后50名近视4234不近视816附：临界值表2P（K2kc）0. 150. 100.050.0250. 0100. 0050. 001kc2. 0722. 7063.8415.0246. 6357. 87910. 8282?（?_?）2,（参考公式:K=，其中 n=a+b+c+d（?+?）（ ?+ ?）（ ?+?）（ ?+ ?）,硼（1）设各组的频率为fi（i= 1,2,3,4,5,6）,由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人,因为后四组的频数成等差数列，所以后四组

42、频数依次为27,24,21,18,则后四组频率依次为 0. 27,0.24,0.21,0 . 18,视力在5. 0以下的频数为 3+7+27+24+21=82（人），故全年级视力在5. 0以下的人数约为1000 X卷=820（人）.设100名学生视力的中位数为x,则有（0. 15+0. 35+1.35） X0.2+（x-4.6） X（0.24 + 0. 2）=0. 5, x=4. 7.2（2）K2的观测值k=野23.5092.a=e 时,f (x) =( x2-2x+2)e x-2ex2,所以 f (x) =x2ex- ex=x( xex- e),讨论:当 x0 时,xex- e0;当0Vx1

43、时，由函数y=xex为增函数，有xex-e0,有f (x)1时，由函数y=xex为增函数,有xex-e0,有f (x) 0.综上，函数f(x)的增区间为(-8,0),(1,+OO),减区间为(0,1).(2)怔明 a 1,所以-Jax2x2,所以 f (x) ( x2- 2x+2)e x+x2.令 g(x) =(x2-2x+2)ex+x2,则 g (x) =x2ex+2x=x(xex+2).令 h(x) =xex+2,有 h (x) =(x+1)ex.令 h (x) =0,得 x=-1.分析知，函数h(x)的增区间为(-1, +8),减区间为(-8, -1).所以 h(x) min=h(- 1

44、) =2-e0.所以分析知，函数g(x)的增区间为(0, +8),减区间为(-00,0),所以 g(x)min=g(0) =(0 2-2X0+2) Xe+02=2,故当 a2 .2.在某次水下科研考查活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为3+1(升)，在水底作业10个单位?时间，每单位时间用氧量为0. 9(升)，返回水面的平均速度为万(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升)，记该潜水员在此次考查活动中的总用氧量为y(升).(1)求y关于v的函数关系式；(2)若c0),求当下潜速度v取什么值时，总用氧

45、量最少.网(1)由题意，得下潜用时款单位时间),E0日、， f?)3603?72 60,十I、用氧重为11和 +1-X? = 50- + ?(升 );水底作业时的用氧量为10X0. 9=9(升)；返回水面用时g=到单位时间),用氧量为段* 1.5咚(升)，;总用氧量 y=350- + 240+9( v0).3?240 _ 3( ?3- 2000)y= 25 - ?2 = -25?2,令 y= 0,得 v=10技，3 r当0vi0及时，y103/2时，y 0,函数单调递增，.当0c 103/2时，y在c,15上单调递增，:当v=c时总用氧量最少.综上，若 0ce+2 解由定义域为(0,1) U(

46、1, +OO),1?2-(?+2)?+1(x)节-(?-1)2 = ?(?-1)2-设 h(x) =x2-( a+2)x+1,要使y=f(x)在(e, +00)上有极值,贝U x2-(a+2)x+1=0有两个不同的实根 x1,x2,:A =(a+2) 2-40, a0 或 ae,:0 x11ex2, e又 h(0) =1,;只需 hle)0,即e2-(a+2)51e+1-2,联立可得ae+1-2. e即实数a的取值范围是(e+11- 2, +oo (2)证明由(1)知，当 xC (1, x2)时，f (x)0,“刈单调递增，：f(x)在(1, +0)上有最小值f(X2),即？ t C (1,

47、+8),都有 f(t) f (X2),又当xC(0, X1)时，f(刈0,“刈单调递增，当 XC(X1,1)时，f (x)f(X2) -f (X1)?=ln X2+对-ln X1-布?2?ln 唱 + ?2-1 - ?1-1=ln ?2+X2- tt-( X2e),设 k(x)=ln x2+x-?1?=2ln x+x-?(xe),一-21则 k (x) =?+1+苞0(xe), k(x)在(e, +8)上单调递增：k(x)k(e) =2+0-：,.f(t)-f (s) e+2-e.4. (2019河南商丘模拟)已知函数f (x) =(2 x+1)ln(2 x+1) -a (2 x+1) 2-x

48、 (a0).i 如图，设直线x=-2, y=-x将坐标平面分成I, n , m, iv四个区域(不含边界),右函数y=f (x)的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的a的取值范围；(2)当at求证：？xi, xzC (0,+OO)且 xiwx2,有 f (xi)+f (x2) 2fUM数f (x)的定义域为-2,+1,且当 x=0 时，f (0) =-a0.又直线y=-x恰好通过原点，:函数y=f (x)的图象应位于区域IV内,于是可得f (x) -x,即(2x+1)ln(2 x+1)-a (2 x+1)2-x0，：a?+7令 h(x)=ln(2 ?+ 1) 2?+ 12-2

49、ln(2 ?+ 1) 则 h(x)=-r时，h (x)0, h(x)单调递增；当xCe-i+oo2 ,)时,h (x)-24i .当 x0 时,2?7n5时,8 a4,;u( x)二熹-8a0时，f (x)为减函数,不妨设x2xi0,令 g(x)=f(x)+f(xi)-2f?+?. I2(xxi),可得 g(xi) =0,g (x)=f (x)-f?+ ?i?+?-.一一一,. x-l. f (x)(0, +8)上的减函数，, g (x) xi 时,g( x)为减函数,g(x2) g(xi) =0,即 f (xi)+f(x2)g(x).(1)附陟得 g (x) =-e-x+b=b-e1?.,i

50、-_右 b=0,则 g(x)=e? (0, +8),不合题息；若 b0, g(-J =e?-10,令 g (x) =-e-x+b=0,得 x=- ln b.g(x)在(-8,-ln b)上单调递减；在(-lnb,+0)上单调递增，ln b贝U g(x)min=g( - ln b) =e -bln b=b-bln be.综上所述，实数b的取值范围是(-oo,0) u e, +8).(2)证明易得 f (x) =? - ?2,则由题意，得f ( e)=e-ae2=-e,解得a=2. -f (x)=ln x+-2y,从而 f(1)=1, e?e即切点为le,1 ).将切点坐标代入 ex+y-2+b=

51、0中，解得b=0.g(x)=e-x.要证 f (x) g(x),即证 In x+e2?e-x(x (0, +00),只需证 xln x+exe-x(xC (0, +oo).令 u(x) =xln x+e, v( x) =xe-x, x C (0, +).贝U 由 u (x) =ln x+1 =0,得 x=1,u(x)在0,?上单调递减，+8)上单调递增，:u( x)min = j 1) =1.又由 v (x) =e-xxe-x=e-x(1 -x) =0,得 x=1,v(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+)上单调递减，V( x)max=V(1) =e.:U( x) U( x) min=V(

52、x) max V( x),显然，上式的等号不能同时取到.故对任意的xC(0, +8)，总有f(x) g(x).?2-16. (2019安徽马鞍山模拟)已知函数g(x)=xln x,h(x)= 2 (a0).若g( x) h(x)对x C (1, +oo)恒成立，求a的取值范围(2)证明：不等式(1+4)(1+?22)(l+?2)e4对于正整数n恒成立,其中e=2.718 28为自然对数的底数.2?ln ?+ 1(1)阐当 XC(1, +8)时，g(x)一?2一令 F( x)=2?ln ?+1 ?2(x1),2(?-1-?ln?)F(x) =?3(x1),记 m(x) =x- 1-x In x(

53、x1),贝U m(x) =-ln x0,n(x)在(1, +8)上单调递减，：mx)n(1) =0,F(x)0,即 F(x)在(1, +8)上单调递减,F(x)R1) =1,故 aC 1, +oo).(2)证明由(1)知取a=1,当 x (1, +8)时,g( x) h( x)恒成立,即xln *字恒成立，即ln x?1恒成立，一(?+1)2- 1?2+ 2oo ，一，八即 ln(1 +x) 2(?+1)= 2P?；-?对于 xC (0, +8)恒成立, 2(+ I) 2( + I)? I (为 _2+2(景 由此，ln 1+分 0. 求函数f(x)在区间(0, +8)上的零点个数 (2)函数

54、F(x)的导数F(x)=(ex-a)f(x)，是否存在无数个a (1,4),使得ln a为函数F(x)的极大值点？请说明理由.回 f (x)x-?)ex,?.,当0 x-1日中,f ( x) 6时，f (x)0,f(x)单调递增，所以当 x (0, +8 )时，f(x)min=f因为 f(?)f(0) =-?0, 666所以存在 XoC |(?,1 +?,使 f (Xo) =0,且当 0VxXo 时，f (x) Xo 时，f (x) 0.故函数f (x)在(0, +8)上有1个零点，即X0.(2)当 a1 时,ln a0.因为当 xC(0,ln a)时,ex-a0.由知，当 xC(0, X。)

55、时，f(x)0.下面证:当 aC (1,e)时,ln aX0,即证 f(ln a)0, 3所以g(x)在(1,e)上单调递增，由 g (1) =-30, 33所以存在唯一零点t0C(1,e),使彳g g (t0)=0,且 x C (1, 10)时，g (x) 0, g(x)单调递增.所以当 xC(1,e)时，g(x)maxg(1), g(e)上“、1 c ,、6-e2 c由 g(1) =-60，g(e)= 6 0，得当 xe (1,e)时，g(x)0.故 f (In a) 0,0 ln axo.当 0 xln a 时,ex-a0, f (x) 0, F( x)单调递增;当 In ax0, f

56、(x) 0,F (x) =(e x-a) f (x) 0, F(x)单调递减.所以存在aC (1,e) ? (1,4),使得In a为F(x)的极大值点.i.已知函数 f(x)=ln x-a(x-1)( aC R).若a=-2,求曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程；(2)若不等式f(x)0对任意的xC (1, +8)恒成立，求实数a的取值范围丽(1)若 a=-2，则 f (x)=ln x+x-1, f (x) =?+1,：切点为(1,0),切线的斜率k=f (1) =2.;若a=-2,曲线y=f (x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=2x-2._.1,. f(x)=ln x

57、-2a(x-1),_1?2- ?f (x) =?- 7 =多,当a0, ：f (x)在(1, +8)上单调递增当 x1 时，f (x)f =0,.a2,即 0?wi 时，f(x)=U=-F1 时，f(x)2 满足题意.当 0a1 时，由 f (x) 0,结合 x1 可得 1x?,由 f (x) ? f (x)在11, ?)上单调递增，在(京,+8)上单调递减：f ? f(1) =0,：0a0)的焦点，过F的动直线交抛物线 C于A B两点.当直线与x轴垂直时,|AB|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M抛物线C上存在点P使得直线PAPMPB 的斜率

58、成等差数列，求点P的坐标.阐因为F(?,0),在抛物线方程y2=2px中，令x=?,可彳#y=p.于是当直线与x轴垂直时，|AB尸2P=4,解得p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.(2)因为抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，所以M -1, -2).设直线AB的方程为y=x-1,联立方=?4?, 消去 x，得 y2-4y-4=0.设 A(x1,y) Rx2,y2),贝U y1+y2=4, y1y2=-4.若点Rx, y)满足条件，则2kPM=kPA+kPB,即 2 . ?0+2= ?0-?1?0-?2?0+1 = ?0- ?1 + ?0 - ?2?2?2?2因为点P, A, B均在抛物线上

59、，所以Xg=, x1 =, x2=.代入化简可得2(?0 + 2)4+20?2?0+ ?1+?2?2 +(?1 + ?2) ? 0+ ?1 ?2将 yi+y2=4, yiy2=-4 代入，解得 丫。= 2.将yo= 2代入抛物线方程,可得 刈=1.于是点P(1, 2)为满足题意的点.一？?2 ?21 . 一 .3.已知椭圆C?2+ ?2=1(ab0)的离心率为可左、右焦点分别为Fi、F2, A为椭圆C上一点，AR与y轴相交于B |AB|=|F 2B|, |OB|=4(O为坐标原点).3(1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为 Ai, A过A, A2分别作x轴的垂线l 1, l

60、2,椭圆C的一条切线l: y=kx+m( kw 0)分别与 l i, 12交于点 M N 求证：/ MFN4 MFN.g(1)如图,连接AF由题意得|AB|二|F 2B|=|F iB|,所以BO为 FiAE的中位线，一一.一?28又 BQL F1F2,所以 AE，FiF2,且|AF2|二2|BO|=/= 3,又 e=? = ；, a2=b2+c2,所以 a2=9, b2=8, 3. .一 .、一一?2?2故所求椭圆C的方程为 y+ w=i(2)由(i)可得，Fi(-i,0), F2(i,0), li 的方程为 x=-3,12 的方程为 x=3.由?=?=-3,? +?得?= -3, ? = -