定积分几何意义的动态演示

1、定积分几何意义的动态演示-兼谈几何画板的制图方法孙国庆沿河县第二中学565300定积分是普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2中的重要内容，它的几何意义是：如果在区间。,b上函数f连续且恒有f (x) 0，那么定积分jb f (x)dx表示由直线x = a,x = b, y = 0和y = f (x)所围成的曲边梯形(图1)的 a面积.为了求曲边梯形的面积，主要采取“分割、近似代替、求和、取极限”等 步骤来完成，在教学过中如果借助几何画板，可以形象直观地展示“以直代曲” “逼近”的过程，为帮助学生理解定积分的定义.本文拟借助几何画板求以f ( x) = x 2为曲边的曲边梯形面积的过程，渗透

2、“以直代曲”的方法和极限思想.用几何画板制作曲边梯形步骤1.单击“图表”中的“正方形网格”，在横坐标轴上:“构造”线段AB，分别“度量”出点A、B的值作为区间a, b .:步骤2.在线段AB上“构造”一点C，并“度量”点C的“横坐标”得xC的横坐标值.一F7i步骤3.在“图表”中“新建函数” f (x) = x2，单击“度量” 中的“计算”，在“新建计算”框中点击f (x) = x2，再点击xC 点确定”得函数f (x) = x2的纵坐标值.步骤4.先后选中度量值xC、xc2,单击“图表”中的“绘 制点”，得函数f (x) = x2图象上的一个点C1.步骤5.先后选中点C和C1，单击“构造”中

3、的“轨迹”，得函数f (x) = x2在区间a,b 上的图象.步骤6.重复步骤3、4分别得出点A、B在函数图象上的 对应点A、B，再分别“构造”线段AA、BB，得曲边梯形 1111ABB1 A1 (如图 1).二、对曲边梯形进行均匀分割步骤1.在线段AB上“构造”一点D，重复上述“一”中的步骤6画线段DD1.步骤2. “度量”线段房 的长度，在“图表”中“新建参数”作为分割数， 这里不妨设为n = 6，在“度量”中“计算” n-1 = 5 （在后续制图过程中作为迭 代次数），再计算出竺 的值； TOC o 1-5 h z 步骤3.选中，在“变换”中“标记距离”，选中点D， ：_ I点击“变换”

4、中的“平移”（垂直距离设为0）得点E，重复步： 帛彳 骤 1 得线段 EE ；111步骤4.选中，在“变换”中“标记距离”，选中点线段DD 1，点击“变 n换”中的“平移”得点D与EE重合，记为点F，构造线段DF，得四边形DEFD ； 1 1 1 1步骤5.顺次选中、D、E、F、D ,“构造”四边形DEFD1二J的内部；选项中四边形DEFD的内部，在“度量”中“计 J 京f I * I I *J|- + + |算”四边形DEFD 的面积，并将标签改为S。，“度量”坐标女S原点和横坐标上的单位点的距离0G，“计算”。0，并将标签改为S .OG步骤6.在“图表”中“新建参数” T = 0，在“度量

5、”中“计算” S + T，得 图2步骤7.顺次选中点D、参数T、迭代次数n-1，并按住shift键，点击“变 换”中的“带参数的迭代”，使之分别从D E、T S + T的原象到象的映射；步骤8.对点D进行分离，点击点D，单击“编辑”中的“从线段中分离点”， 如图4。步骤9.对点D与A进行合并，分别选中点D、A，单击“编辑”中的“合并 点”，如图5. TOC o 1-5 h z 三、动态演示|1、改变分割次数，可以发现，随着分割次数的不断增加，其小矩形的面积之和越接近于曲边梯形的面积，如取n = 1000 时，如图 6，I2、拖动点A或B可以改变区间的大小，如将点拖到与原点重合时，得到如 图7所

6、示的面积。四、制图说明几何画板一个最重要的特点是，在运动中保持几 - ，F一匕卫:.z- 何关系的不变性，本文在制图过程运用了几何画板中：m ：7rTr：ir：1 。应 CJ33 3OS 0 33 i)X 信灾土 g 三戎 的大部分功能，如“编辑”菜单中对点的分离与合并 :云厂切保 y成务；= 功能，“构造”菜单中线段的构造及多边形内部的构三日兰三 造，“变换”菜单中的平移功能和带参数的迭代功|言斥 云玉 冒怀盅顽三村 能，“度量”菜单中的计算功能，“图表”菜单号中的绘制点功能、新建参数、新建函数功能及绘制新函数功能等等。同时利用“带参数的迭代”功能可以看出，当越大，曲边梯形的面积S T 的值越