第1章复数与复变函数难题解答

1、第一章复数与复变函数习题nn2.设Z1,Z2，Zn是任意n个复数，证明：|Zk|Z/,并给出不等式中等号成立k1k1的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是Zi,Z2,.,Zn线性相关）.3.证明:1.亚（Imz)zReZImz设zaib,则Reza,|z|aab2.由题2知，zabiab故（a 2|ab 2即有b221 12a ba2 b2 a2 b22lab - Izl，1,(RezIm z) zRez Im z.Z12Z2| 乙Z2 |.2Z2Z1Z2Z1Z1 Z1Z2.若乙|Z2|,0,证明: TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark18 o

2、Current Document 22证明：不妨设Z2Z10.2Z2则Z242z24Z22z22即有Z1Z2|Z|Z2|成立.设|a|1,证明：若|z|=1,则Ja1.1az证明：由Z1得ZZ1故zazazzz1az1az即证之.6.设|a|1,|z|1.证明:1.证明:1az而1|a|2|z|27.设ZiZ,Zn,1az1|Z|22Reaz|a|212222|a|z|(1|a|)(1|z|)n是任意2n个复数,2Reaz|a|2|z|2;0;)证明复数形式的Lagrange等式:nzjj1zj12)(zjkZkjCauchy不等式：nzjj1证明：提示（记另外,ZjZiZ2Zn，detZ1Z

3、2ZnZiZ2Zndet(AA)0,detZdetZjn)(j1ZkZ2detzjZkznzjZkj|2则原式zjkZkj20.(1)Z1Z2ZndetZjj1Zjj1Zjjj1Zj0.由（1）=（2）可得证.习题把复数zcosisin写成三角形式.解:z1ei1.ie2(e1.ie21.i)e21._i2Ree21.i(2cos)e22.问取何值时有(1i)n(1ni).解：提示（.4ki,i1,k3.证明:ncoskk0sin2/1sin(n-)证明：由nikek02sin一2sinkk0cos-cos(n-)222sin一2nsinkk0nikimek0ei(n1)ee.n1sin2_s

4、in2ine,则即可得ncoskk0nikRee,k0zi114.证明：Z1Z2Z3和123同向相似的充分必要条件为Z221=0Z331证明：提示（Z1Z2Z3和Z1Z2Z3同向相似a,bC,使得kazkb(k1,2,3)W1Z11W|Z11ZiWi1w2az2b1w2,z2,1线性相关detZ2W210.)W3Z31W3Z31Z3W31(0,1),使得5.设Z1Z2,证明：z位于以Z1和Z2为端点的开线段上，当且仅当存在z4(1)z2；证明：z位于以乙和z2为端点的开线段上k0,Z2zk(zZi)k0,zZ21kk(0，1)，zz1(1)z2，(nk)6.图是三个边长为1的正方形，证明:AO

5、DBODCOD 2E A B C解：以。为原点，OM X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设OA z1,OBz2,OCz3则z11i,z22i,z33i,从而 arg(z1z2z3)arg(1 i )(2i)(3 i)arg(10i).因为i是单位向量，它的辐角为AOD BOD COD 一2210.证明：z1 z22证明：| z1z2 | Z122,2、一，,一Ziz22(Zi|z2|2),并说明等式的几何意义 TOC o 1-5 h z 22222Z2|Z1|2Rez1Z2|Z2|Zi|2Rez1Z2|Z2|_222(|Z1|Z2|)几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和1

6、1.设Zi,.,Zn是单位圆周(以原点为中心、半径为1的圆周)上的n个点，如果Z1,.,Zn是正n边形的n个顶点，证明：zk=0.k1证明：记ZiZ2.ZnC,设该正n边形的一个圆心角为，0.由复数乘法几何意义及正n边形对称性，ei0,即证之.设z1,z2,z3,24是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为z1z2z3z40.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）.设L是由方程azZzZd0所确定的点的轨迹，其中a,d是实数，是复数.证明：（i）当a=0,0时，L是一直线；（ii）当a0,2ad0时，L是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.r.2证明：（i）令d/2，

7、则d2,故原方程为（z,与垂直的直线Re（z）0,即z与垂直，从而轨迹是一条通过点(ii )记 22adr、2一一，、，、2原式azzazazad0(az)(az)az即证之.习题1一_一1.证明：在复数的千面表布下，z和=的球面像关于复平面对称z证明：设z x iy其球面对应的坐标为2- ,X3 i(1 z2)Izl21z2 1一 1 而=球面像对应的坐标为zXiX2i(1 z)i(1i(1X3X3，从而有X1X1, X2X2,X31X3 ,故z和=的球面像关于复平面对称 z2.证明:在复数的球面表示下，z和的球面像是直径对点当且仅当z =-1.证明:由于z对应的球面像为x12，x2z z二

8、，x3i(1 z )z21对应的球面像为X,x2,x3,计算可得：xj为/2x2,x3x3,故z和的球面像是直径对点.由球面表示的几何意义知,乙位于通过竖坐标轴的平面与xoy平面交点上，从而z,必与原点共线，则 z0 ,由 x3x3,易知 1 .3.证明：在复数的球面表示下C中的点z和的球面像间的距离为2z21证明：设z和w的球面像的坐标为Xi，X2，X3和 x/,x2,x3,则x1X2,2x2x2x3x3 2 22 x1x1 x2x2 x3x3x1x1x2x2乂3乂3z21z212Xxjx2x22x3x32 x1x1 x2x2 x3x3z|2 14.证明：在复数的球面表示下,b是二阶酉方阵，

9、则 C的变换w= gz-b诱导 dcz d了球面绕球心的一个旋转证明：先证z,w c,d z,wz2 1 |waz b aw b,te有 d , d z,w .cz d cw d是二阶酉方阵知,az b?a b(z w)det c dcz dawcw da b detc d类似的有aw原式=1, azcwad bc z wcz|w|21,故z w|2z 21 11z11,d乙w成立，从而诱导变换是一个等距,azbawb故d,czdcwd又等距变换的行列式是ab的连续函数且只取1两个值，而二阶酉方阵全体是连通的,cd从而行列式为常数.取ab=10,此时诱导变换是恒等变换，行列式为1,故此常数为1

10、,从而此等距cd01变换为旋转.习题1.设Z0(,0,Zn0,nN.证明：复数列Zn收敛到Z0的充要条件是lim znnz0 和 limarg zn argz0.证明：因为z0 （,0,0,starg Z0由不等式|zZ01|Zn|Z01|Z01argZnargZ0即得充分性由不等式|zZ0|zn|4|及|zZ0I|Zn|Z0|2|z0|sinargZn2argZ0并注意argZnargz0可得必要性.222n2.设zxiyC,证明：lim1zexcosxisiny.nn（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）习题2.设E C是非空点集,z,wC.证明：dz,E d ,E成立，而d z,Ed ,

11、E,E不成立证明:E,有 d(z,E)inf I z|z|zzI II d(z,E) |z取下确界得d(.E) inf Id(z,E)IzI，即 d(z,E) d( ,E) Iz I (1)同样可得d( ,E) d(z,E)Iz I(2)因此由(1) (2)可得结论成立.反例：令E 1, z 2,1.则 d(z,E)=i,d( ,E)=0, d(z ,E)=0.指出下列点集的内部、边界、闭包和导集：N=k：k为自然数;解：内部：空集；边界：N;闭包：N=k:k为自然数;导集：空集E=1:k为自然数：k解：内部：空集；边界：E0;闭包：E=E0;导集：0.D=B(1,1)B(1,1)；解：内部：

12、D=B(1,1)B(1,1);边界：DzC：|z1|1或|z1|1;闭包：DzC:|z1|1或|z1|1;导集：DzC:|z1|1或|z1|1；G=zC：1z2;解：内部：GozC：1|z|2；边界：；gzC:|z|2或|z|1闭包：GzC:1|z|2；导集：gzC:1|z|2；C.解：内部：C;边界：空集；闭包：C;导集：C.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：Z=k:k为自然数;解：闭集，非开集，非紧集；E为有限集；解：紧集；D=zC:Imz0Fk，FkzC:zkiy,0y1;k解：开集；1G=B(0,1)：k为自然数；k1解：非开，非闭，非紧；CB,R;解：紧集.8.设D是

13、开集，FD是非空紧集，证明：(i)dF,D0;n(ii)对任意0dF,D，存在F中的点ZiZ,.2,使得FBzD并且k1ndBzk,DdF,Dk1证明：(1)由定理1.5.6可得B(Zk,),成立d(F,D)d(,D)d(Zk,D)d(,D)|Zk|n即d(,D)d(F,D),即(B(zk,),D)infd(,D)d(F,D)k1习题.满足下列条件的点Z所组成的点集是什么如果是域，说明它是单连通域还是多连通域(i)ReZ1;实部是1的直线，不是域Imz5;虚部小于-5的开平面，单连通域zizi5;椭圆曲线不是域zi2i;闭圆盘单连通域argz1-;6半射线不是域/、一1z1,Imz-;2开弓形单连通域/、z1小2；z1圆盘外无界闭区域0argz-izi4左半平面(不含虚轴)与以(-1,0)为圆心，J2为半径的闭圆盘外部之交多连通域习题3.证明紧集的连续像为紧集.证明：任取f(E)的开覆盖Uu,则f1(U)f1(u)是E的一个开覆盖，因为E为紧集，存在有限个开集f1(U1),f1(U