数值分析7 线性空间中向量的极限和范数

1、 5线性空间中向量的极限与范数直接法的误差分析和迭代法的收敛性一线性空间中向量的极限一用范 数来度量一、向量的极限设V是n维向量空间(线性空间)，X(K)EV设点，点是仰勺一组基底，(& (k),&(k)，,&(k)是x(k)在这组 12n12n基底下的坐标，即X(k) =&(k) +&(k) + + & (1)(2)【定义1】|(向量序列的极限2对2于V中的向量序列X(K)，由(1)式， 若对于任何i (i=1,2,n)总成立 lim & k =& k 3 11则称x(k)收敛到向量X = & +& + & 。 1122nn【例1】设11111V = R3, X(k) = (, (1 + )

2、k , 一)t V,贝U由于k 3时,0,(1 + )k e,kk2kkk1 八0,因此有2 kx( k) (0, e,0) t = x【例2】设V=R3X3中1 -1 k sin k / ksin k / k1 + 1/2k1/k1/k1 + 2 k2 k1 1 1 + 2k 汪意至 U lim 1 一一 = lim 1 + =lim k k32k k3 2klim x(k)= E (单位矩阵)。 k3k 3所以 sin k11,而 lim= 0 = lim ,k3 kk3k二、范数|【定义2】设V是线性空间，之对应且满足非负性对于xEV，当且仅当x=0时，hxh=0；齐次性对于xEV，II

3、 A x I = | 入 III x I若对于任意的xV,都有一个实数II xh与总有H X 110(3)入EC, C是复数域，总有(4)(3)三角不等式：对于x, yV,总有II x+y IIWII x | + | y II (5)则称H x I为元素x的范数。三、向量的内积与正交【定义3】|设V是实数域R上的线性空间，若对V中任意元素a , p和Y，都唯一地对应一个实数(a , p )，使满足交换律：(a , p ) = (p , a )分配律：(a +p , y ) =(a , y)+(P，丫 )非负性：(a ,a ) 30,当且仅当a =0时(a ,a ) =0齐次性：对任意 keR,

4、 (ka , p )=k (a , p )则称实数(a , p )为元素a与0的内积。【注】1)n维有序数组集(n维向量)&之中，对任意x, yeRn3, y)=才气.七(6)i=1称为x与y的内积。2)a, b上连续函数的全体构成线性空H V=Ca, b,对x, yeV, 规定(x, y) = jb p (t)x(t) y(t)dt ( 7 )a称其为带权p (t)的内积。它显然满足内积的定义。其中，权函数p(t)满足:在a, b上p(t)N0；对于g(t)eca, b, j人p(t)g(t)dt恒存在，且对非负的ag(t),b P (t)g(t)dt = 0时恒有g(t) = 0。a【定义

5、4】若V中两个向量x, y,其内积满足(x, y) =0 (8)则称x与y为正交向量。当V中的向量组x，x，x(n)两两正交时，称其为正交向量 组。若还有II x|=1对任何i=1, 2,，n成立，则称此向量组为标 准正交向量组。下面讨论一些具体的范数。四、Rn中的范数x G Rnv(9)(10)Il x ii 1= x.j=1II x II 2= J(x, x)=II x II = max x81 j 0 1=0,即I X. | =0,当且仅当X=0 齐次性：对于入ER, XfRn,1)而H x H2),(j=1, 总有IMII广习印|二1j=1三角不等式：ix+,qij=1依范数定义，x是

6、范数。注：1)Rn中的P范数：对于XeRn,xj i=13)Xj +七 j=ij=i+乙jj=1(11)2,., n)从而 x=0。=N-| XI1(12)X = X p ) p ,1 p 0; k E R 时，|kx| = |A(kx)| = |k|Ax| = |k| |x| ;验证三角不等式，当x, y E Rn,由H ： | b定义，有iix+l=iA(x+川 K10使对一切XERn，成立不等式aPk11xl p I虬k2k (14)常用的向量范数等价关系：|圳 J H n |x|II圳: I HI 2 jn 虬 土同I 11 圳2 IHI说明：任何两种范数做为逼近度量的尺度，逼近性态是

7、一样的。 五、方阵的范数【定义5】I Rnxn是n阶方阵全体的集合，如果AFRnXn , A的某个 非负的实值函数II A H，满足：（1）|A|30,而 |同| = 0。A = 0；（2）网| = |k|A|,k e R;（3）IA + 刿 | A| +| B；（4）网 |A|.| B。则称I A I是Rnxn上的一个方阵范数【例】（Frobenius范数）如果把方阵理解为n2维向量，按向量范数（2范数）的定义，来定义A的范数，即对AERnXn,规定|A| =咨 n aj）2 （15）i=1 j =1，A eRnXn，当(16)为Frobenius范数（F范数）。I【定义6】| （方阵与向量

8、乘积的范数）对任何xeRnIAHa J Hl -I HII则称I Al |与|H是相容的。“ a构造方阵的算子范数：利用定义6,有|Ax| |A INI从而H llHlln a aX令=可，则y是单位向量，在闭球：=i内ihi是变量的连续函数（定理4），因此，它能达到最大值|A|，即既| HM =1Hly =1 a a【定义7】I Ml是Rn上的任一向量范数，则lAl = ma4Arx0 xxRn=max|Ayl = max Axlyl=1 lx L1yeRnxwRn为Rnxn上的一个矩阵范数，称为矩阵的算子范数。(17)可以验证它符合方阵范数的定义常用的算子范数是从属于向量P（P=1，2,

9、+8）范数的算子范数:（1）列范数=max a1 j j(18)=%顶 At A（2） 2-范数2其中是AAtA方阵AtA的最大特征值.| A| = max aij j=1证（18）式：设|x|I，则 Ax = （3）行范数l|Ax|1= j=1设j=k时|i=1证（19）式：因为|A|2但是(19)(20)a x , a x，, a x )1 j j 2 j jnj jj =1j =1 町可=（i=1 j=1j=1aj i=1j=1 X X 0为AtA的特征值，量，则有2而l1，12, , l n为对应的标准正交向量组。X0：单位向=c |Ll + C |Ll + + C |Ll1 12 2n n|x |2 = (x , x ) = C2 = 1i=1由于八2i=1入c 2i i i i ii ii=1i=1i=1|Ax0|2 = (%, ATAX0)=(二四 Zx c 口 = E 当X0=以1时|Ap I2 =(日,ata)=(日,人日)=x111 11所以A2【例】设求范数II AH 1, 解显然H a|I AIL 及I AIf。AH =7由于 IATA =IAI2, =