双曲线复习课件和练习

1、第七节 双 曲 线1.双曲线的定义平面内的动点M与两定点F1,F2 _=2a (a为正常数)2a _0，b0)_(a0，b0)性质对称性对称轴：_对称中心：_对称轴：_对称中心：_范围_顶点顶点坐标：A1_,A2 _顶点坐标：A1_,A2_渐近线_坐标轴原点坐标轴原点 xa或x-ay-a或ya(-a,0)(a,0)(0，-a)(0，a)性质离心率e=_,e(1,+)a,b,c的关系_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长2a2b判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）

2、.（1）平面内到点F1(0，4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的集合是双曲线.( )（2）平面内到点F1（0，4）,F2（0，-4）距离之差的绝对值等于8的点的集合是双曲线.( )（3）方程 （mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )（4）双曲线方程 （m0,n0,0）的渐近线方程是 即 ( )（5）等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 .( )（6）若双曲线 (a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则 （此结论中两条双曲线为共轭双曲线）.( )【解析】（1）错误.由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.（2）错误.因为|MF1|-|MF2|=8=|F1F2|，表示的轨迹

3、为两条射线.（3）错误.当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0,n0,b0)的渐近线方程为 当0时， 的渐近线方程为 即 同理当0)的渐近线方程为x2-y2=0即y=x，显然两直线互相垂直，其实轴、虚轴长均为2a,（6）正确.双曲线 (a0,b0)的离心率 同理答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0)，动点M满足|MA|-|MB|=6，则点M的轨迹方程是( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选D.由|MA|-|MB|=6，且60,b0)的离心率e=2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为_.【解析】

4、由已知 c=2a. 又一个顶点到相应焦点的距离为1，即c-a=1. 由得a=1,c=2,b2=c2-a2=4-1=3,双曲线C的方程为答案：考向 1 双曲线的定义【典例1】（1）（2012辽宁高考）已知双曲线x2-y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|+|PF2|的值为_.（2）（2013宝鸡模拟）已知定点A(0, 7),B(0,-7),C(12,2),以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一个焦点F的轨迹方程.【思路点拨】（1）解题关键是根据双曲线的定义及勾股定理构建关于|PF1|,|PF2|的方程，进而求解.（2）先根据椭圆的定义得出动点F满足的

5、等式，再根据三定点间关系，探究出动点F与两定点A，B的差为常数，从而用定义法求轨迹方程.【规范解答】（1）不妨设|PF1|PF2|.由双曲线方程x2-y2=1知a=b=1，c= ，由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2 由已知条件PF1PF2及勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8 上述两式联立，解得|PF1|= +1,|PF2|= -1,故|PF1|+|PF2|=2 .答案：2 （2）由椭圆的定义知: |AC|+|AF|=|BC|+|BF|，又因为A(0,7),B(0,-7),C(12,2),所以|AC|=13,|BC|=15,因此|AF|-|BF|=2

6、,所以F的轨迹是双曲线的一支，其中c=7,a=1,b2=48,因此所求轨迹方程为：【互动探究】本例题（1）中“PF1PF2”改为“F1PF2=60”，结果如何？【解析】不妨设|PF1|PF2|，由双曲线方程x2-y2=1,知a=b=1, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4 又F1PF2=60,由余弦定理得：|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=|F1F2|2=(2c)2=8 -得|PF1|PF2|=4 代入得：|PF1|2+|PF2|2=4+2|PF1|PF2|=4+24=12.|PF1|+|PF2|= 【拓展提升】1

7、.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧（1）常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用.（2）技巧：经常结合|PF1|-|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系.2.利用双曲线定义求点的轨迹方程的注意点特别注意条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整个双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，并且要在其方程中准确限定变量x(y)的范围.【变式备选】过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ交左支于P，Q两点，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长为_.【解析】因为x2-y2=8，所以2a=由题设及双曲线的定义得:|PF2

8、|-|PF1|=|QF2|-|QF1|=所以|PF2|+|QF2|-|PF1|-|QF1|=即|PF2|+|QF2|-|PQ|=又因为|PQ|=7，所以|PF2|+|QF2|=7+因此,PF2Q的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=14+答案：14+考向 2 双曲线的标准方程和简单性质【典例2】（1）（2012湖南高考）已知双曲线C：(a0,b0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )(A) (B)(C) (D)（2）（2012浙江高考改编）如图，F1,F2分别是双曲线C： (a0,b0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线

9、段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是_.【思路点拨】（1）利用待定系数法.先根据双曲线的几何性质，由焦距为10，求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线方程，得a=2b，从而由a2+b2=c2，求出a，b，得方程.（2）利用双曲线的简单性质，结合图形的特征，通过求PQ的中点，再由|MF2|=|F1F2|构建关于a,b,c的方程，进而求解.【规范解答】（1）选A. 的焦距为10， 又双曲线渐近线方程为 且P(2,1)在渐近线上， =1，即a=2b 由解得a=2 ，b= ，所以方程为（2）设双曲线的焦点坐标为F1(-c,0),F2(c,0);B(0,b),点F

10、1，B所在直线为双曲线渐近线方程为 由得Q( )，由得P( ),线段PQ的中点坐标为( ).由a2+b2=c2得，线段PQ的中点坐标可化为( )，直线F1B的斜率为线段PQ的垂直平分线为令y=0，得由|MF2|=|F1F2|得答案：【拓展提升】1.利用待定系数法求双曲线方程的三种常见类型及相应技巧(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2+By2=1(AB 0)，这种形式在解题时更简便.(2)当已知双曲线的渐近线方程bxay=0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为 b2x2-a2y2=(0)，再根据其他条件确定的值.(3)与双曲线

11、有相同的渐近线的双曲线方程可设为 （0），再根据其他条件确定的值.2.双曲线的简单性质的三大关注点（1）“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点.（2）“四线”：两对称轴（实、虚轴），两渐近线.（3）“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的焦点三角形.3.双曲线的离心率与渐近线斜率的关系(1)已知双曲线的离心率e求渐近线方程时要注意及判断焦点的位置.(2)已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时，当焦点不确定时， 因此离心率有两种可能.【提醒】双曲线中a，b，c之间的关系为c2=a2+b2,不要和椭圆之间的关系混淆.【变式训练】已知双曲线的渐近线方程为

12、2x3y=0.（1）求该双曲线的离心率.（2）若双曲线经过点P（ ），求双曲线的方程.【解析】（1）当焦点在x轴上时，所以当焦点在y轴上时，所以即双曲线的离心率为 或 .（2）由双曲线的渐近线方程为2x3y=0,可设双曲线方程为4x2-9y2=(0).双曲线过点P( ),46-94=,=-12,故所求双曲线方程为4x2-9y2=-12,即考向 3 双曲线与直线、其他圆锥曲线的综合【典例3】（1）（2013景德镇模拟）设离心率为e的双曲线C： （a0，b0）的右焦点为F，直线l过焦点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是 ( )(A)k2-e21 (B)k2-e21(C)

13、e2-k21 (D)e2-k21（2）（2013蚌埠模拟）已知双曲线 （a0,b0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线与椭圆： 有相同的焦点，则该双曲线的标准方程为_.【思路点拨】（1）将直线l的方程与双曲线C的方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，只要保证其有相异的两实根即可求解.（2）先写出渐近线方程，利用其和圆相切，构建关于a,b的方程，再利用与椭圆有相同的焦点得c,从而得解.【规范解答】（1）选C.设双曲线C的右焦点为F（c，0），（其中c2=a2+b2），则直线l的方程为y=k（x-c），将其代入双曲线C的方程 （a0，b0），并整理得（b2-a2k2）

14、x2+2a2k2cx-a2（k2c2+b2）=0由已知直线l与双曲线C的左、右两支都相交，所以有b2-a2k20,且即：b2-a2k20，又b2=c2-a2，所以有c2-a2-a2k20，即：c2（1+k2）a2，e21+k2，得：e2-k21.（2）圆C：x2+y2-6x+5=0可化为：(x-3)2+y2=4.所以其圆心C(3,0),半径r=2,双曲线 的渐近线方程是：bxay=0,又渐近线与圆相切，所以 又椭圆 的焦点为(-3,0),(3,0),双曲线的焦点为(-3,0),(3,0),即a2+b2=c2=9 由得b=2,c=3,a2=5.双曲线的标准方程为：答案：【拓展提升】 1.解决简单

15、直线与双曲线位置关系问题的方法及相应的技巧（1）通法：将直线l的方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0）代入双曲线E的方程F（x,y)=0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元二次方程.解此方程或利用根与系数的关系整体代入的思想解题.（2）点差法：在涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点与斜率问题时，常把直线与圆锥曲线的交点坐标代入圆锥曲线方程，作差后结合已知条件进行转化求解.【提醒】利用点差法时，对求出的结果要验证其是否满足相交的要求，即0.2.解决双曲线与圆、椭圆、双曲线交汇问题的两大策略（1）以图助解，数形结合.（2）各个击破.【变式训练】(2013陕西师大附中模拟)已知

16、双曲线E的中心为原点，F(3,0）是E的一个焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且A与B的中点为N(-12，-15），则E的方程为( )(A) (B)(C) (D) 【解析】选B.方法一：设双曲线的方程为 (a0,b0)，由题意知直线l的斜率为 可知直线l的方程为y=x-3.联立方程得 整理得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2= 又A与B中点N（-12,-15）, =-24,5a2=4b2,又c=3,a2+b2=9,可得a2=4,b2=5.故双曲线的方程为方法二：设双曲线的方程为 (a0,b0)，由题意知c=3,a2+b2

17、=9，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有：两式作差得：又直线AB的斜率是所以4b2=5a2，将4b2=5a2与a2+b2=9联立，解得a2=4,b2=5，所以双曲线的方程为【易错误区】忽略讨论双曲线的焦点位置致误【典例】（2013淮南模拟）已知双曲线 (mn0)的一条渐近线方程为 则该双曲线的离心率e为_.【误区警示】 本题易出现的错误是误认为焦点在x轴上，不讨论焦点位置而丢解.【规范解答】当m0,n0时，当m0，n0)的两顶点为A1,A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A,B,C,D.则（1）双曲线的离心率e=

18、_.（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 =_.【解析】（1）如题干图： 化简得：c4-3a2c2+a4=0，即e4-3e2+1=0，又e1,则（2）由题意知：S1=2bc,在OF2B2中连接OA,则AF2=b，矩形ABCD边长答案：1.如图1所示，一平面曲边四边形ABCD中，曲边BC是某双曲线的一部分，该双曲线的虚轴所在直线为l，边AD在直线l上，四边形ABCD绕直线l旋转得到一个几何体.若该几何体的三视图及其部分尺寸如图2所示，其中俯视图中小圆的半径为1，则该双曲线的离心率是( )(A)3 (B)4 (C) (D)2【解析】选D.由题意，不妨设双曲线方程为 （

19、a0，b0），则根据三视图可得a=1，（2，3）在双曲线上，代入双曲线方程可得b2=3，c2=a2+b2=4，c=2，双曲线的离心率是 故选D.2.以双曲线 (a0,b0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线( )(A)相交 (B)相离 (C)相切 (D)不确定【解析】选C.由已知双曲线的左焦点F为( )，渐近线方程为 即bxay=0.圆心F到渐近线的距离又圆F的半径为b,所以圆F与双曲线的渐近线相切.3.已知双曲线 (a0,b0)的焦距为 一条渐近线平分圆x2+y2-4x+2y=0，则双曲线的标准方程为_.【解析】由已知2c= c=又渐近线bx+ay=0过圆(x-2)2

20、+(y+1)2=5的圆心(2,-1).有2b-a=0,即a=2b.又a2+b2=5,即(2b)2+b2=5,解得b=1,a=2,所以双曲线的标准方程为答案：一、我们因梦想而伟大，所有的成功者都是大梦想家：在冬夜的火堆旁，在阴天的雨雾中，梦想着未来。有些人让梦想悄然绝灭，有些人则细心培育维护，直到它安然度过困境，迎来光明和希望，而光明和希望总是降临在那些真心相信梦想一定会成真的人身上。威尔逊二、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实才止；像种子在地下一样，一定要萌芽滋长，伸出地面来，寻找阳光。林语堂三、多少事，从来急；天地转，光阴迫。一万年太久，只争

21、朝夕。毛泽东四、拥有梦想的人是值得尊敬的，也让人羡慕。当大多数人碌碌而为为现实奔忙的时候，坚持下去，不用害怕与众不同，你该有怎么样的人生，是该你亲自去撰写的。加油！让我们一起捍卫最初的梦想。柳岩五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。俞敏洪六、将相本无主，男儿当自强。汪洙七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。方志敏八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。佚名九、很多时候，我们富了口袋，但穷了脑袋；我们有梦想，但缺少了思想。佚名十、你想成为幸福的人吗？但愿你首先学会吃得起苦。屠格涅夫十一

22、、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。伏尼契十二、世之初应该立即抓住第一次的战斗机会。司汤达十三、哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。鲁迅十四、信仰，是人们所必须的。什麽也不信的人不会有幸福。雨果十五、对一个有毅力的人来说，无事不可为。海伍德十六、有梦者事竟成。沃特十七、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？丁尼生十八、梦想无论怎样模糊，总潜伏在我们心底，使我们的心境永远得不到宁静，直到这些梦想成为事实。林语堂十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。佚名二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。歌德二十一、梦境总是现实的反面。伟格利二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋

23、斗。苏格拉底二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。柳岩二十四、生命是以时间为单位的，浪费别人的时间等于谋财害命，浪费自己的时间，等于慢性自杀。鲁迅二十五、梦是心灵的思想，是我们的秘密真情。杜鲁门卡波特二十六、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。白哲特二十七、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。康德二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。加里宁二十九、梦想家命长，实干家寿短。约奥赖利三十、青年时准备好材料，想造

24、一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。佚名三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。毛姆三十二、在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦，沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。马克思三十三、在劳力上劳心，是一切发明之母。事事在劳力上劳心，变可得事物之真理。陶行知三十四、一年之计在于春，一日之计在于晨。萧绛三十五、没有一颗心会因为追求梦想而受伤，当你真心想要某样东西时，整个宇宙都会联合起来帮你完成。佚名三十六、梦想不抛弃苦心追求的人，只要不停止追求，你们会沐浴在梦想的光辉之中。佚名三十七、一块砖没有什么用，一堆砖也没有什么

25、用，如果你心中没有一个造房子的梦想，拥有天下所有的砖头也是一堆废物；但如果只有造房子的梦想，而没有砖头，梦想也没法实现。俞敏洪三十八、如意算盘，不一定符合事实。奥地利三十九、志向不过是记忆的奴隶，生气勃勃地降生，但却很难成长。莎士比亚四十、如果失去梦想，人类将会怎样？热豆腐四十一、无论哪个时代，青年的特点总是怀抱着各种理想和幻想。这并不是什么毛病，而是一种宝贵的品质。佚名四十二、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。古龙四十三、梦想家的缺点是害怕命运。斯菲利普斯四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。纪伯伦四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的

26、人。佚名四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。歌德四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。鲁迅四十八、浪费别人的时间是谋财害命，浪费自己的时间是慢性自杀。列宁四十九、意志薄弱的人不可能真诚。拉罗什科五十、梦想绝不是梦，两者之间的差别通常都有一段非常值得人们深思的距离。古龙五十一、得其志，虽死犹生，不得其志，虽生犹死。无名氏五十二、所虑时光疾，常怀紧迫情，蹒跚行步慢，落后最宜鞭。董必武五十三、梦想只要能持久，就能成为现实。我们不就是生活在梦想中的吗？丁尼生五十四、很难说什么是办不到的事情，因为昨天的梦想，可以是今天的希望，并且

27、还可以成为明天的现实。佚名五十五、要用你的梦想引领你的一生，要用感恩真诚助人圆梦的心态引领你的一生，要用执著无惧乐观的态度来引领你的人生。李开复五十六、人类也需要梦想者，这种人醉心于一种事业的大公无私的发展，因而不能注意自身的物质利益。居里夫人五十七、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。伏尼契五十八、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。阿安普罗克特五十九、一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。高尔基六十、青春是人生最快乐的时光，但这种快乐往往完全是因为它充满着希望，而不是因为得到了什么或逃避了什么。佚名六十一、生命里最重要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚毅来完成它。歌德

28、六十二、没有大胆的猜测就作不出伟大的发现。牛顿六十三、梦想，是一个目标，是让自己活下去的原动力，是让自己开心的原因。佚名六十四、人生太短，要干的事太多，我要争分夺秒。爱迪生六十五、一路上我都会发现从未想像过的东西，如果当初我没有勇气去尝试看来几乎不可能的事，如今我就还只是个牧羊人而已。牧羊少年的奇幻之旅六十六、一个人越敢于担当大任，他的意气就是越风发。班生六十七、贫穷是一切艺术职业的母亲。托里安诺六十八、莫道桑榆晚，为霞尚满天。刘禹锡六十九、一切活动家都是梦想家。詹哈尼克七十、如果一个人不知道他要驶向哪个码头，那么任何风都不会是顺风。小塞涅卡七十一、人性最可怜的就是：我们总是梦想着天边的一座奇

29、妙的玫瑰园，而不去欣赏今天就开在我们窗口的玫瑰。佚名七十二、一个人如果已经把自己完全投入于权力和仇恨中，你怎么能期望他还有梦？古龙七十三、一个人有钱没钱不一定，但如果这个人没有了梦想，这个人穷定了。佚名七十四、平凡朴实的梦想，我们用那唯一的坚持信念去支撑那梦想。佚名七十五、最初所拥有的只是梦想，以及毫无根据的自信而已。但是，所有的一切就从这里出发。孙正义七十六、看见一个年轻人丧失了美好的希望和理想，看见那块他透过它来观察人们行为和感情的粉红色轻纱在他面前撕掉，那真是伤心啊！莱蒙托夫七十七、努力向上吧，星星就躲藏在你的灵魂深处；做一个悠远的梦吧，每个梦想都会超越你的目标。佚名七十八、正如心愿能够激发梦想，梦想也能够激发心愿。佚名七十九、梦想一旦被付诸行动，就会变得神圣。阿安普罗克特八十、对于学者获得的成就，是恭维还是挑战？我需要的是后者，因为前者只能使人陶醉而后者却是鞭策