等比数列高考专题复习

1、等比数列【知识点回顾】.等比数列的概念q称为等比数如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q0),这个数列叫做等比数列，常数列的公比.通项公式与前n项和公式n1前n项和公式：当q 1时,当q 1时,通项公式：anaiq,a1为首项，q为公比.Snnaiai(1qn)aianqSn1q1q3.等比中项如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等差中项a, A, b成等差数列 G2 a b.等比数列的判定方法a ,定义法：a_L q(anan是等比数列;2一一中项法：an 1an an 2 ( n N)且 an 0.等比数列的常用性质an是等比数列

2、数列an是等比数列，则数列panpan (q 0是常数)都是等比数列;公比为qk.在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列,anamqnm(n,mN)若mnpq(m,n,p,qN)，则amanapaq；若等比数列an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是第比数列【方法总结】 TOC o 1-5 h z 1.求等比数列的公比、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质.例1.已知等比数列an的前n项和Snpn1(p是非零常数),则数列an是()A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.非等

3、差数列名师点拨先由Sn求出an,再根据等差、等比数列定义作出判定.解：Snpn1,anSnSn1(p加2).当p1,且p。时，an是等比数列；当p0时，an是等差数列，选C.2.求实数等比数列的中项要注意符号，求和要注意分类讨论例2.若实数数列1,a1,a2,a3,4是等比数列，则a2 TOC o 1-5 h z 名师点拨本题容易错认为，由等比数列的等比中项公式a；14,得a22.2解：Laiiazias,4是等比数列，a214,得a22.又1,a1,a2是等比数列，a；1a2,a1R,a22.考点一等比数列的通项与前n项和题型1：已知等比数列的某些项，求某项例1.已知an为等比数列，a22,

4、a6162,则明。解题思路可以考虑基本量法，或利用等比数列的性质 TOC o 1-5 h z 解：方法1：a2a1q52q481 HYPERLINK l bookmark65 o Current Document a6a1q16294aoaqa6q1628113122方法2：q4a681,a10a6q41628113122a22方法3：an为等比数列2a2aoa6aoa221622213122题型2：已知前n项和Sn及其某项，求项数例2.已知Sn为等比数列an前n项和，Sn93 , an 48,公比q 2 ,则项数n已知四个实数，前三个数成等差数列,后三个数成等比数列， 首末两数之和为 37,

5、中间两数之和为解题思路利用等比数列的通项公式 an a1qn 1及Sn等比数列设出四个实数代入已知，可求这四个数求出现及1 q代入Sn可求项数n ；36,求这四个数利用等差数列、解：由Sn 93, an48 ,公比q2,得a1(2n 1) 93a1 2n 1482n 32方法1：设这四个数分别为 a,b,c,d ,则2b a c c2 bda b 37b c 36方法2：设前2个数分别为a,b,则第34个数分别为36 b,37 a,则994 .81，4c2,方法3：设第2、3个数分别为b, c,则第1个数为2b c ,第1个数为,则 b2b (36 (36 b)2b7 aa)解得12或1622

6、b c bb c 36b 16 或 bc 20 八81Z .63T方法4：设第2、3个数分别为b,c,设第1,4个数分别为2a c 2c2 ，a c方法5：设第3、4个数分别为c, d ,则设第1,2个数分别为37d,36 c,则2(36 c) (37 d) c c2 d (36 c)20 16、或c2549了题型3：求等比数列前n项和5项到第10项的和.例3.等比数列1,2,4,8,中从第解题思路可以先求出S10,再求出S4,利用S10S4求解；也可以先求出a5及a10,由a5，a6,a7,a10成等比数列求解解：由a11,a22,得q2,S10_io1(1 2 )1 2_41(1 2 )1

7、023, S4|)1 215,S10 S4 1008.例4.已知Sn为等比数列an前n项和，an 133233n 13 ，求 Sn解题思路可以先求出an,再根据an的形式特点求解解：an 1 3 32 333n 11(13n)3n11 322 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document _123Sn93323323(13n)1 3即Snn313n.424例5.已知Sn为等比数列an前n项和，an(2n 1) 3n，求 Sn.解题思路分析数列通项形式特点，结合等比数列前n项和公式的推导，采用错位相减法求和解：an(2n1)3n TOC o 1-5 h z

8、Sn13332533(2n1)3n,_234nn13Sn133353(2n3)3(2n1)3一，得2Sn32(3233343n)(2n1)3n1329(13)(2n1)3n1(22n)3n1613_n1_Sn(n1)33.变式1：已知an为等比数列,aa2a33,a6a7a86,求a11a12“3的值.解：设等比数列an的公比为aa2 a33,a6 a7a86a4a5a6a11 a12a a2a3a13 ；考点二证明数列是等比数列例6.已知数列an和bn满足：aian21 an3bn1)n(an3n 21),其中 为实数，n N .对任意实数，证明数列an不是等比数列；试判断数列bn是否为等比

9、数列，并证明你的结论bn是等比数列,解题思路证明数列an不是等比数列，只需举一个反例；证明数列常用：定义法；中项法解： 证明：假设存在一个实数，使2an是等比数列，则有a? a1a3 ，0,矛盾.解:因为 bn( 1)n(an3n21)n 1(1) an1 3n(1)n 1 an 1 3(n1) HYPERLINK l bookmark8 o Current Document n 1 2八18( 1) (-an2n2114) 3(1)n1(an 3n 21)fbn1(18,bn18),所以0(nN ),此时bn18.b18)时,由上可知不是等比数列；bn 1bn 0,亡 bn3(nN ),此时

10、bn是等比数列【名师点拨】等比数列的判定 TOC o 1-5 h z r224即(23)2(-4)39所以an不是等比数列.方法:定义法:an 1a n0是常数)an是等比数列;中项法:(n)且 an0an是等比数列.变式1:已知数列an的首项a1Can 11 11 -( 1),又 a12 an2323an 1 一 an11 a12an1.n 1,2,3，.证明：数列一 1是等比数列; an数列工1是以1为首项,an11为公比的等比数列.2考点三等比数列的性质例7.已知Sn为等比数列an前n项和，Sn54,S2n60,则S3n解题思路结合题意考虑利用等比数列前n项和的性质求解.解：an是等比数

11、列，Sn,S2nSn,S3nS2n为等比数列,c1182.54(S3n60)36S3n.3【名师点拨】给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法变式1：已知等比数列an中，an0,(2a4a2a6)a436,则a3a5解：an是等比数列，an02(2ada?a6)a436(a3a5)36a3a56.考点四等比数列与其它知识的综合例8.设Sn为数歹Uan证明：当b2时,的前n项和,nann2已知ban2nSn求an的通项公式。解题思路由递推公式Sn,an,n1是等比数列;0求数列的通项公式anf(n),主要利用:anS(n1)SnSn1(n2)同时注意分类讨论思想解：由题意知a12,

12、且ban2nb1Sn,ban12n1b1Sn1两式相减，得ban1an2n1anban2n当b2时，由知an1日aan又a112n2n2ann2n当b2时,2时,因此an1得an2an2n0,所以(I)知由得an2n1anan2n2an六2n22bnn2n1n2an2n1公比为bn【名师点拨】退一相减是解决含有2n1,即ann12n2的等比数列。1ban2nb2nSn的递推公式的重要手段,推公式求通项公式时，重视首项是否可以吸收是易错点,【基础巩固】1.设an是公比为正数的等比数列，若A63B.64a11,a5C.127解：由a11,a516,得q4a5a116,q2.设等比数列an的公比q前

13、n项和为B.42n1ban-2nbban2n2bbn使其转化为不含Sn的递推公式，从而针对性的解决；在由递同时重视分类讨论，做到条理清晰是关键16,则数列D.128S7a1(1a2an前7项的和为()9127.解：S4a2a1q3.已知等比数列A64a1(1q4)241qan满足aB.812(1)a23,c15C.2152D/2a2a36,则a7C.128(A)D.243解：qa_a!2,a1a1qaa2aia7127164.4.已知等比数列an的前三项依次为1,a4,则anA.解：(a1)2(a1)(a4)a14,q(3)n5.已知an是等比数列,a22,a5则aa2a2a3anan1=A.

14、16(14n)B.16(12n)C.32(14n)32D.(132n)解：a22,a5a14,q1一.aa22a2a3anan132(143n)6.已知ad是公比为2的等比数列，则2a2cdA.B.12C.D.7.已知an是等比数列，且an0,a2a42a3a504a625,那么a3a5的值是A.B.6C.D.258.在等比数列an中，已知a11,a43,则该数列前5项的积为9A.A.A.B.ABC的三边a,RtB.等腰三个数成等比数列,A.C.1D.3C既成等比数列又成等差数列，则三角形的形状是(3,12,48若6,x,B.zC.其积为4,16：等腰RtD.等边1728,其和为38,则此三数为27C,8,12,18,54这五个数成等比数列，则实数D.4,12x的值是366.3B.C.3v6D.3.612.(2009广雅中学)在等比数列中，已知a9a10a(a0),a19a99a100解：利用a9a10,a19a20,a99a100成等比数列，得a99a100-8a213.设数列an的前n项和为S