第十章　计数原理、概率《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）(解析版)

1、02卷第十章计数原理概率真题模拟卷一2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分 配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60 种B. 120 种C. 240 种D. 480 种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求 得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有种选法：然后连同其余:.人,看成四

2、个元素，四个项目看成四个不同的位置，四 个不同的兀索在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理.，完成这件事，共有C；x4! = 24（）种 不同的分配方案， 故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3 人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为A. 14B. 16C. 20D. 48【答案】B【解析】由间接法得=20 4 = 16,故选B.要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志

3、愿者，则不同的安排方法共有（）A. 2种B. 3种C. 6种D. 8种【答案】C【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有C；C；=3种分法第二步，将2组学生安排到2个村，有8 =2种安排方法所以，不同的安排方法共有3x2 = 6种故选：C【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名,丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A. 120 种B. 90 种C. 60 种D. 30 种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法

4、计数原理求解.r详解】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有c：然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有；最后剩下的3名同学去呐场馆.故不同的安排方法共有C： = 6 x 1 () = 6。种.故选：C【点睛】本小题E要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.5.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算占典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重 卦，中每一爻有两种情况，基本事件计算是

5、住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直 接法即可计算.【详解】由也知，得爻仃2种情况，一电：卜的6爻仃26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况行C：,所以该币卜恰r3 5有3个阳爻的概率为工=一，故选A.26 16【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，苜先要分析元素是否可用:复，其次要分析是排列问题还是组合问题.本 题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题 即为组合问题.6.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加， 星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有

6、A. 120 种B. 96 种C. 60 种D. 48 利【答案】C【详解】试题分析：根据题意，苜先从5人中抽出两人在星期六参加活动，有4种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期五、星期日参加活动，方飕种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有嘴理=60种，故选C.考点：排列组合及简单计数问题点评：本题考杳排列、组合的综合运用，本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列与组合的意义.3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则 不同排法的种数是A. 360B. 288C. 216D. 96【答案】B【详解】忒题分析：先排：.

7、个男生有用=6种不同的方法，然后再从3 H女生中任取2人“捆”在一起记作A, （A共 有C32A=6种不同排法），剩F一名女生记作B,让A、B插入男生旁边4个位置的两个位置有A： = 12, 此时共有6x6x12=132种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况仃：2 A；x6xA； =144种不同的排法， 二共有432-144=288种不同排法.故选B 考点：本题考查了排列问题点评：对于此类问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原 为实际问题.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对 顺序不变，则不同调整

8、方法的总数是A. CMB. exc. CMD. c；&【答案】c【详解】试题分析：第步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有4种方法，再排列其余4人只有I种方法，因此所有的方法总数的种数是考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法9.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A. 12种B. 10种C. 9种D. 8 种【答案】A【详解】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有C； =2种选法：第二步，为甲地选两个学生，有C； =6种选法： 第:步，

9、为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有2x6x1 = 12种，故选A.考点：排列组合的应用.一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照 看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人， 则不同的安排方案共有A. 24 种B. 36 种C. 48 种D. 72 种【答案】B【详解】:此题的难度主要是来自分类，按“问题元素”优先的原则，对甲进行分类：甲照看第一道工序（甲1丙4）、 甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“休息”（乙1丙4）三种.C：C：A： + C：C：A： + C：C；A；=

10、3611.某物理量的测量结果服从正态分布N（10,b2）,下列结论中不正确的是（）b越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）的概率越大b越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等【答案】D【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A,4为数据的方程所以CT越小，数据在 =10附近越集中，所以测量结果落在（9.9,10.1）内的概率越大，故A正确;对于B,由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10

11、的概率为0.5，故B正确；对于C,由正态分外密咬曲线的对称性可知该物理次测结果人10.01的概率与小于9.99的概率和等，故C正确； 对于D,因为该物理量一次测量结果落在（9.9,10.0）的概率与落在（10.2,10.3）的概率不同，所以一次测量 结果落在（9.9,102）的概率与落在（10,10.3）的概率不同，故D错误.故选：D.有6个相同的球，分别标有数字1, 2, 3, 4, 5, 6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表 示事件”第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件”两次取出的球 的数字之和是8”，丁表示事件”两次取出的球的数字之和是

12、7“，则（）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立【答案】B【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】P（甲） = 1，P（乙） = ：，P（丙）=。,（丁）=最=1， 663636 6p（甲丙）=o # p（甲）p（丙），p（甲丁）=-L =尸（甲）p（丁），36P（乙丙）= H P（乙）P（丙），P（丙丁） = 0 X 尸（丁）P（丙），36故选：B【点睛】判断事件A, B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（8） = P（AB）是否成法.己知随机变量自服从正态分布N（2,b2）,且P（44）= 0.8,则P（0J2）（）A. 0.6B. 0.4C

13、. 0.3D. 0.2【答案】C【分析】利用正态分布曲线对称性，知时称轴为直线x = 2，再由正态分布曲线的面积是1求解.【详解】解：因为 P(J4)= 0.2.由题意知图象(如佟I)的对称轴为立线x = 2,P(0) = P(J4)= 0.2,所以 P(OJ4)= 1 尸(44)= 0.6.所以 P(0J2) = gp(044) = 03.故选：C. TOC o 1-5 h z 23.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为不和二，两个零件是否加工为一等品相互3 4独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为A. B. C. -D.21246【答案】B【详解】记两个零件中恰好有一个

14、一等品的事件为A,即仅第一个实习生加工一等品(4)与仅第二个实习生加工一等品依2)两种情况，nl21135则 P(A)=P(A)+P(A2)= -x- + -x- = 3 4 3 4 12故选B.则当。在(0,1)内增大时D(X)增大O(X)减小15.设0。(2)= C：(-)2(-)2= 八,4 5 5625故选尻.设两个正态分布N(1,0)和n(2，云)(%0)的密度函数图像如图所示.则有A. |2，bl2，b| 。2【答案】A【详解】根据正态分布N(,02)函数的性质：正态分布曲线是一条关于X = 对称，在X = 处取得最大值的连续 钟形曲线；。越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来

15、，。越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭, 选A.19.已知随机变量Z服从正态分布N (0, a2 )，若P(Z2)=0.023,则PQ2WZW2尸A. 0.477B. 0.625C. 0.954D. 0.977【答案】C【解析】因为随机变量g服从正态分布N(0.ct21所以正态曲线关于直线x - 0对称，又式92=0.023 .所以P(J-2)=0.023,所以 P(-2 2)-P(4) = ()A. 0.1588B. 0.1587C. 0.1586D. 0.1585【答案】B【详解】试题分析：正态分布曲线关于速胃对称，因为.颗厘铺=1一吟:蜃邓=叱返的.故选B.考点；正态分布二、多选题21.

16、信息蜡是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,，且P(X= /) = p, 0(z = 1,2, - n),XPi = 1 ,定义X的信息嫡H(X) = -tp,l。g2P,.()1=1f=lA.若 =l,则 4(X)=0B.若=2,则(X)随着Pi的增大而增大C.若p,=1(i = L2,，则”(X)随着的增大而增大 nD.若=2团，随机变量y所有可能的取值为1,2,m,且P(y = j) = Pj + P2nl+j = l，2,m),则4(X)斗【答案】AC【分析】 对于 A选项，求得“(X),由此判断出A选项；对丁 B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出H

17、(X),利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出H(X),H(y),利用堪木不等 式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若 =1,则i = l,P|=l,所以H(X)= -(lxlog21) = 0,所以A选项正确.对于 B 选项，若 =2,则i = l,2, p2 = 1 -p,所以og2P1 +(1一 月)/og2(l 当月=；时，(X) =1 .1 3 .31g24 + 4 g24fPlPlP2，”-lPim(y)=(P+P2m)咋21Pi + Pi+ (。2 +。2时|)|,2Pl + P2m-+ - + (Pm + Pm+i)log2P, + P，用 TOC

18、 o 1-5 h z 3, 、(331 当Pl =w 时，=,两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若p,. = (i = 1,2,)，则 n”(X) = log2-n = -log2 - = log, n , n n)n则”(x)随着的增大而增大，所以c选项正确.对于D选项，若 = 2,随机变量y的所有可能的取值为12，加，且P(y = /) = Pj + p2nL2叫1(x)=N p, 陛2 p,=X , |吗1=1i=Pi, 1 , 1 , 1 , 1=P . log2 + Pi log? + P2m-1 - lg2 + Pin, - ,Og2 lt3 于Pl + PimPl + Plm

19、-Pl + P2m-1P + Pim一 、 1 1 , 1 , 1p. 0(/ = l,2,-,2w),所以一 ,所以 log2 log2,Pi P, + P2m+IPi Pi + P2M+ITPi + P2“,+I所以 Pi . log? Pi , 102 Pi所以”（x）“（y）,所以d选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息崎的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数 函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.第口卷（非选择题）三、填空题22. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则 不同的安排方法共

20、有 种.【答案】36【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宜传活动，每N同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：C：=6现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A；=6根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6 = 36种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和 计算能力，属于中档题.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2 天，其他人

21、各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 【答案】24【分析】首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果.【详解】在5天里，连续2天的情况，-共有4种剩卜的3人全排列：A；故一共有：4x用=24种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑 普通元素.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内 科医生都至少有1人的选派方法种数是 (用数字作答).【答案】590【分析】方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名

22、内科医 生，在每一类中都用分步计数原理解答.【详解】3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C/C52O种，1名骨科、3名脑外科和1名内科医生,有C31c43csi =60种,1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C3k/C53=12O种,2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32c42c51=90种，1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31012c52=180种，2名骨科、1名脑外科和2名内科医生,有C32C4,Cs2=120种,共计 20+60+120+90+180+120=590 种故答案为590.【点睛】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用宜接法：先分类后分

23、步，属于基础题.己知随机变量X服从二项分布B(n, p),若E (X) =30, D (X) =20,则P=.【答案】|【详解】试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.解：随机变量X服从二项分布B (n, p),若E (X) =30, D (X) =20, TOC o 1-5 h z 91可得 np=30, npq=20, q=, WO p=,故答案为点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力.26.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为!和假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落 23入盒子的概率为:甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.2【答案

24、】一 一 63【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的 概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为2,一，2 3且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为=2 3 6甲、乙两球都不落入盒了的概率为=2所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为故答案为：一；一. 6 3 【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前 期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主设

25、甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率 为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4 ： 1获胜的概率是.【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独上事件的概率的计算公式求解.题目有一 定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查.【详解】前四场中有一场客场输,第五场赢时,甲队以4:1获胜的概率是0.63x0.5x0.5x2 = 0.108,前四场中有-场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4 x 0.62 x 0.52 x 2 = 0.072,综上所述,甲队以4:1获胜的概率是q = 0.108+0.072 = 0.18.【

26、点睛】山丁本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是 否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面 试的概率为微，得到乙、丙公司面试的概率均为P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业 生得到面试的公司个数.若P (X=0)=卷，则随机变量X的数学期望E (X) =.【答案】-I【解析】 TOC o 1-5 h z .p(XhO)=- =(lp)2x7 ,.p=；，随机变量 X 的可能值为 0.1.2,3,因此 P(X=0)

27、=F，P(X=1)=123212x( )2 + 2x x( )2= , P(X=2)= x( )2x2+ x( )2= , p(x=3)= - x(，)2=一，因此 e(x) 3 23233 232123 261x1+2x5.+3x13126.马老师从课本上抄录一个随机变量区的概率分布列如表X1P(e=x)* TOC o 1-5 h z 请小牛同学计算区的数学期望，尽管“！ ”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？ ”处 的数值相同.据此，小牛给出了正确答案后二.【答案】2【解析】试题分析：令？的数字是X,则！的数值是L2X,所以|x = lx+2(l-2 + 3x=2考点

28、：数学期望点评：数学期望就是平均值，要得到随机变量的数学期望，则需先写出分布列.30.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机 取出一球放入乙罐，分别以A，4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件：再从乙罐中随机 取出一球，以b表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(写出所有正确结论 的编号).0P(B)= -;尸(B|A)= (：事件8与事件4相互独立；A, 4,是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为它与a，4,4中哪一个发生有关【答案】【分析】根据互斥事件的定义即可判断：根据条件概率的计葩公式分别得出事件发生的条

29、件下b事件发 生的概率，即可判断；然后由P(8) = P(AB)+P(48)+ P(AB),判断和；再比较 尸(A0，P(A)尸(B)的大小即可判断.【详解】由题意可知事件A，&, 4不可能同时发生，则A，&是两两互斥的事件，则正确；、5,、 4,、 4由题意得P(0A) = 1，p(8|&) =五,尸(5|4)=1,故正确;p(6)=p(a5)+p(4b)+p(A6)=p(a)p(5|a)+p(4)p(5|4)+p(A)p(5IA)5 5 2 4 3 4 9 、一10 11 10 11 10 11 2255 99因为尸(A8) =，P(A)尸(8) = - X =,所以事件B与事件Ai不独立

30、，错；综上选2210 22 44故答案为：【点睛】本题主要考查了判断互斥事件，计算条件概率以及事件的独立性，属于中档题.31.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX等于 (结果用最简分数表示).4【答案】-【详解】X的可能取值为0,1,2, TOC o 1-5 h z C： 10C1C10p(x=o)=-4 = ，p(x=i)=?1 = ,C； 21C；21C； 1P(X=2)=T = ,C； 21.10 、 ， 101-4 E(X)= x0+ x | + x2=.2121217一个病人服用某种新药后被治愈的概率为

31、0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 (用数字作答).【答案】0.9744【分析】由题意知，本题符合独立重复试验条件，分情况讨论：若共有3人被治愈，若共有4人被治愈，分别代入 独立重复试验公式得到结果.最后求和.【详解】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则=(0.9)3x(1-0.9) = 0.2916；若共有4人被治愈，则P, =(0.9)4 =0 6561,至少有3人被治愈概率尸=片+ = 0.9477 .故答案为：0.9477.【点睛】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结 果无关，重复是指试验为一系列

32、的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之 间没有影响.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二 等品件数，则。X=.【答案】1.96【分析】根据：项分布X3(100,0.02),由公式得到结果.【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布X8(100,0.02), DX = W = 1 (X)X0.02x0.98 = 1.961.96【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数 与方程思想，是基础题.四、解答题某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测

33、试活动，分别由李老师和张老师负责， 已知该系共有题位学生，每次活动均需该系能位学生参加(壁和亚都是固定的正整数).假设李老师和张老 师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系也位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或 张老师所发活动通知信息的学生人数为加(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(II)求使，其雷=嘲取得最大值的整数物.【答案】(1)P = l-(-)2 = 2knk2. ( II)+n nn + 2【详解】本题是概率压轴题，难度大，文字多，考生不一定能够有时间去读懂，不仅如此还考查到了分类讨论思想, 难度更高一层，但细细想来，它也就那回事.第(1)

34、题该系学生中收到李老师或张老师所发活动通知信息要fl k从反面角度去思考，没仃收到信息的概率是什么，由V A和B是相互独P(A)=尸(8) = * =,没 C. n有收到信息的概率正好是(1)2,所以最后的结果就能求出；第(2)题考查的考点比较多，而且联和我都 n是变量，遇到变量就要做好讨论的准备,F是本题要从无=九和5两个角度考虑,当k=时，昭=,P(X = m) - P(X = n) = 1 ；当攵 时，整数次满足ZWmWf,其中f是2k和质中的较小者，从而衣示出 P(X = m)=c：,接着要根据题意找出不等关系:P(X=w)P(X=w + l),化简分离出?W2左一( + t ,而2&

35、-+ 1)2是否为整数,需要讨论，还需要考虑& 42k出土上，是 + 2,/ + 2 + 2有成的同题，于是，接下来一方面需要讨论是否为整，另一方面要证明ZW2Z出匕丫/，详细的解n + 2答如下.设事件A： “学生甲收到李老师所发信息“，事件B： “学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则彳与&相互独立，而 P(A) = P(B) = C：所以P(X) = P(月)=1 一幺 n因此，学生甲收到活动通知信息的概率为n22kn- k2当欠=时，加只能取题，有P(X =m) = P(X =)= 1当，整数加满足wmwr,其中r是乂和时中的较小者.”李老师和张老师各自独。、随机

36、地发活动通 知信息给聚位同学”所包含的基本书件总数为 y.当X =6时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2%-机.仅收到李老师或仅收到张老师转 发信息的学生人数为mk,则由乘法计数原理知：川牛X =时所含底本事件&为Cc2At“c，”一 此时 P(X =ni) =C A C2 k fn CTc，-k c m-k当 kWmt, P(X = W P(X = m +1) o C；kC CTyk化简解得? 4 2%-立士上 + 2假如242k ( + D 1成立, 77 4-2则当(2+ 1)2能被+ 2整除时、，/ Cf (A + 1)C, 1 (左 + I)J 4J D/ VC7 (A

37、 + l)Xnt (& + D- 八4云k2k 2& +1 t 极 P(X = m)在. m = 2k和m=2k +1处达到+2+2+2+2最大值；(女+ 1)2则当伙+ 1)2不能被+2整除时，/5(*=机)在/ = 2左- -一3 处达最大值.(注：可表示不超过X的最大整数).r-T , 伏 + 1)2 TOC o 1-5 h z 下证：k2k =20， + 2 + 2 + 2 + 2(2 + 1)2_ (n- + l)2 n 新” 伏 + 1)2目妙在 ( + D2/”2kn - ()， 乂 2k ，、必然 2攵v 2k + 2 + 2 + 2 + 2因此出叱E（X）. -999999

38、,36.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A, 8两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并 从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一 个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束4类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分； B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正 确回答8类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.（1）若小明先回答4类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】

39、(I)见解析；(2) B类.【分析】(1)通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.(2)与(I)类似，找 出先回答5类问题的数学期望，比较两个期里的大小即可.【详解】(1)由题可知,X的所有可能取值为0, 20. 100.p(X=0)= l-0.8 = 0.2；P(X = 20)= 0.8(1-0.6) = 0.32；P( X = 100)= 0.8 x 0.6 = 0.48.所以X的分布列为X02()100P0.20.320.48(2)由(1)知，= 0 x0.2 + 20 x0.32+ 100 x0.48 = 54.4.若小明先回答5问题，记y为小明的累计得分，

40、则y的所有可能取值为o, so. loo.p(y = 0) = 1-0.6 = 0.4：p(y = 80)= 0.6(1-0.8)= 0.12；P( X = 1 (X) = 0.8 x 0.6 = 0.48.所以 (7) = 0 x0.4+80 x0.124-1(X)x0.48 = 57.6.因为54.4 4.73,0 x ) = d+G%(l-%)% = O.82 + 2 x 0.8 x 0.2 x 0.8 = 0.896.故 P(D)P(C).即该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A处投以后都在B处投得分超过 3分的概率.(12分)考点：时立事件和相互独立事件性质

41、，随机变量的均值.41.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其 尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(“-3cr,“ + 3b)之外的零件数，求P(XN1)及X的数学期望；(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(“-3g“ + 3ct)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生 产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的

42、尺寸：116经计算得元=779.97,i6tr-16x2 。0.212,其中“为抽取的第i9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95个零件的尺寸，i = L2,16.用样本平均数工作为的估计值。，用样本标准差s作为,7的估计值6 ,利用估计值判断是否需对当天的 生产过程进行检查？剔除3-33,4+ 33)之外的数据，用剩下的数据估计和“(精确到0.01) .附：若随机变量 Z服从正态分布4),则尸(-3bZ1) = 0.0408. EY =0.0416 (2) ( i )见详解：(ii)需要.

43、 =10.02。= 0.09【分析】(1)依题知一个零件的尺寸在(一3cr, + 3b)之内的概率，可知尺寸在(/3cr,+3cr)之外的概率为 0.0026,而*8(16,0.0026),进而可以求出x的数学期望.(2) (i)判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(-3cr,+3cr)之外的零件的概率是大还是小，若小即合理；(ii)计办3d,剔除(衣一36,衣+ 31)之外的数据，算出剩下数据的平均数，即为的估计值，剔除 (-3d,+3d)之外的数据，剩下数据的样本方差，即为。的估计值.【详解】(1)抽取的一个零件的尺寸在(一3cr, + 3cr)之

44、内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在( 3b, + 3b)之外的概率为0.0026.故 X 3( 16,0.0026).因此 P( X 21) = 1 P(X = 0)= 1-0.997416 = 0.0408.X 的数学期望为 =16x 0.0026 = 0.0416.(2) (i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(4 - 3b, + 3cr )之外的概率只41 0.0026,一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(-3cr,+3b)之外的零件概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程 可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查

45、，可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii) |Jj x = 9.97,s 0.212,得的估计值为。=9.97 , cr的估计值为d = 0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(衣一33,2+33)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(-3d,+ 33)之外的数据9.22, 剩F数据的平均数为:(16 x 9.97 -9.22) = 10.02, 因此的估计值为10.02.Sx,2 =16 x 0.2122 + 16 x 9.972 1591.134,剔除(立一 33,衣+ 3d)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为以 591.134 9.22? -15 x 1OM b

46、0.008 ,因此b的估计值为70.008工0.09 .【点睛】本题考查正态分布的实际应用以及离散型随机变量的数学期望，正态分布是一种重要的分布，尤其是正态 分布的3o原则，审清题意，细心计算，属中档题.42.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对 活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(I)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；(II )从该校全体男生中随机抽

47、取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的 概率；(HI)将该校学生支持方案二的概率估计值记为假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为小，试比较P。与8的大小.(结论不要求证明)13【答案】(1 )该校男生支持方案-的概率为q,该校女生支持方案的概率为：；3413(II) , (III) Pip。JO【分析】(I )根据频率估计概率，即得结果：(11)先分类，再根据独汇事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；(HD先求外,再根据频率估计概率Pi，即得大小.【详解】 TOC o 1-5 h z (I)该校男生支持方案一

48、的概率为=-.200+400 33003该校女生支持方案一的概率为=-；300+100 4(II) 3人中恰有2人支持方案一分两种情况，(1)仅有两个男生支持方案一，(2)仅有一个男生支持方案一,一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：d)2(i 一m+c；d)(i =与：3433 4 36(HD Pi Po【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.43.甲口袋中装有2个黑球和I个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换 放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X,”恰有2个黑球的概率为p“，恰有1

49、个黑 球的概率为利.(1)求 prqi 和 P2,(72；(2)求2p+q与2Pmi+m|的递推关系式和X,的数学期望E(X“)(用表示).1、127161、2【答案】(1) Pi=，d=；%=方，%=而； 2P.+% =(2p“_1+%_)+【分析】(1)直接根据操作，根据古典概型概率公式可得结果； (2)根据操作，依次求以，qn,即得递推关系，构造等比数列求得2P“ +纵，最后根据数学期望公式求结果1x3 12x3 2【详解】()P = ,0 =，3x3 33x3 31x31x2 112 2 71 3x3 1 3x3 3 3 3 9 272x3 lxl+2x2 _2225 161 3x33x33 3 3 9 27 TOC o 1-5 h z 1x31x2 12 Pn= Pn-i X +% X = -Pn-Qn-l 3x33x3 393x213x392x3lxl+2x2 八、%=Pn-l X +q“7 X - + (1-Pz-) X3x33x3212因此2p +/+，121从而2P.+ qn = -(2pn., +qn_i) + -,：.2pn+qn- = -(2p_1+I_1-1),即 2P “+q“-l = (2月 +/ 一 1)击,；.2pn+qn= + .又X”的分布列为X“012pPn-q%Pn故 E(X