第二章随机变量及其分布函数

1、个随机变量。击中区域出得。分 样本空间a=I, 即于是，IIITImo定义随机变量 X表示射击一次的得分第二章随机变量及其分布函数一随机变量及其分布函数1随机变量的概念为了对各种各样不同性质的试验能以统一形式表示实验中的事件，并能将微积分等数学工具引进概率论。我们需引入随机变量的概念。随机变量：设试验的样本空间为Q,在上定义一个单值实函数X=X(e),eQ,对试验的每个结果e,X=X(e)有确定的值与之对应。由于实验结果是随机的，那X=Xe的取值也是随机的，我们便称此定义在样本空间G上的单值实函数X=Xe为引进随机变量后，试验中的每个事件便可以通过此随某范围内取值来表示了。见图通俗讲，随机变量

2、就是依照试验结果而取值的变量。例1向靶子见图射击一次，观察其得分，规定击中区域I得2分击中区域n得1分3=仲靶卜击中区域I或击中区域11尤)=2或m1例2观察某交换台，在时间T内接到的呼唤次数。样本空间a=0,1,2,。可定义随机变量X就表示在时间T内接到的呼唤次数。于是，A=接到呼唤次数不超过1。次=XW10B=接到呼唤次数介于5至1。次之间=5WXW10,例3从一批灯泡中任取一个灯泡作寿命试验。观察所测灯泡的寿命单位：小时样本空间0=0,+8。可定义随机变量X表示所测得灯泡的寿命于是，A=测得灯泡寿命大于500小时=X500B=测得灯泡寿命不超过5000小时=XW5000。不具明显数量性质

3、的试验也可以定义随机变量表示试验中每个事件。例4将一枚硬币上抛一次，观察正，反面出现的情况。试验的样本空间a=H,T,H正面，T-反面。可定义随机变量X表示上抛1次硬币正面出现的次数，即,、1rL包=R.T#,A工牙同仁_丁=出现正面=X=1。用随机变量表示事件常见形式有国49”工Xx=8，4hi丫卜NgJ等等这里X为随机变量，,x1,x2等为实数2分布函数定义设X为随机变量，对任意实数X,则称函数FX=PXWX为随机变量X的分布函数。例1机房内有两台设备，令X表示某时间内发生故障的设备数，并知PX=0=0.5,PX=1=0.3,PX=2=0.2,求X的分布函数Fx。解：由于X的可能取值为0,

4、1,2故应分情况讨论：1当X0时，FX二PXWx=02当0W%1时，Fx=PXWx=PX=0=0.53当1W%2时，Fx=PXW%=PX=0+PX=1+PX=2=0.5+0.3+0.2=10,0.5,0.8,z00 xl工22例2向一半径为2米的圆形靶子射击,假设击中靶上任何一同心圆的概率为该同心圆的面积成正比,每次射击必中靶。令X表示弹着点到靶心距离，求X的分布函数FX。解：当x。时，FX=PX2 时，FX二PXW x=1当0WxW2时，Fx二PXWx=P击中半径为x的同心圆=入兀XX1X2,有 FX1WFX2；F +8=1 ；X ,有 F X +。= F X。QX。，总之1F(k)=i7“

5、卜X2性质1。Fx是单调不减的，即对任意2。0WFw1且F-8=0,3。Fx为右连续的，即对任意可以证明略以上三条性质是分布函数所具有的三条基本共同特性。利用分布函数可求随机变量落在某些区间上的概率，如PXa=Fa产po吊=尸率7)=1_网彳工司=一尸0PaXbPXb-PX芹一F等等。例3在前面打靶的例子中，已知X表示弹着点到靶心距离，并求得其分布函数为QX0,肝-L,0iz12,4Lx2,于是便可以利用此分布函数，求出击中靶上环形区域见图的概率盟040, 一切 I;3数字的六个球，现从袋中任取一球，令X表示取得球上所X的可能取值为-1 ,五1 壮3例：相同条件下，独立的向目标射击求击中目标次

6、数 X的分布律解：X的可能取值为0, 1,2 ,3 ,且容易求2 1。=一=一故X的分布律为6 34次，设每次击中目标的概率为 0.8,2, 3, 4利用二项概率公式便可求得X-123p1/61/21/3px=0=（0.2）4=0,0016（4X0L1J234p0.00160.02560.15360.40960.4096产（0.8）192y-（10256X的府即2一：卜）飞牙3536PX=3=（0.8f（03）1=0.4096iiPX=4=（0.8）4=MO96例2社会上定期发行某种奖券，每券一元，中奖率为p,某人每次买1张奖券，如果没有中奖便继续买一张，直到中奖为止。求该人购买奖券次数X的分

7、布律。如果中奖率为1%,问他至少应买多少张奖券才能以不少于99%的概率中奖。解：1令Ai=第i次购买的奖券中奖,i=1,2,产（星=1卜尸且尸（4）=尸,耳耳）=1-2&4,是相互独立的口于是网彳三2）=尸伍三产伍凡当卜Q-网星=3=F值耳当卜尸lX（耳网4卜Q-才户改二户田工诟区A9团/=（1）X的分布律为XL12731匚i1pp（i-p）p（i-p）2p11-pi-1p12设n为所需购买的奖券数，按题意PX99%即尸（.五wM=典=-声产夕=f,I；=1-0-中尸99%（1-尸尸&QU1即仅,99产400,解得用一.0物45696艰题457In0.95例4某产品40件，其中有次品3件，现从

8、中任取3件，1求取出的3件产品中所含次品数X的分布律；2求取出产品中至少有一件次品的概率；3求出X的分布函数FX，并作其图形。解：1X的可能取值为0,1,2,3,且有P（X = 1）=0.2022 PX =2= 0.01120*6%0 S t 1川才）=05瓯1 W彳 20 9999,24 汗 1=PX=1+PX=2+PX=3=0.2022+0.0112+0.0001=0.2135 或 PX 1=1 PX布函数为40=Q.W1离散型随机变量其分布函数的图形有如下特点:(1)阶梯形；2仅在其可能取值处有跳跃；3其跃度为此随机变量在该处取值的概率。一般，假设 X的分布律为 PX= x i加人上跖从

9、而，X的分布函数与分布律的关系便为=Pi ,i=1,2,则 X落在区间I内的概率便为 2几个重要分布1.眄点分布如果随机变量x的分布律 其中0p1,q=1-p则称X服从参数为p 布，简称为两点分布,记为XB(1,p)网齐)=工为的(0 1)两点分实际背景：在贝努里实验中，设事件A的概率为p(0p1)如果所定义的随机变量X表示A发生的次数，即显然X的分布律为即 XB(1,p)例5.一批产品的废品率为5%,从中任取一个进行检查，假设令X表示抽得废品的数目,即则XB(1,5%)即X的分布L抽得废品0,才由导正品律为福2.二项分布如果随机变量x的分布律为产值=上)=,产*广:上=0,123其中ovp1

10、,q=1p,则称X服从参数为n,p的二项分布，记为XBn,p实际背景：由第一章，独立重复实验一段中可知，在n重贝努里实验中，如果每次实验事件A出现的概率为p(0p1)，则在n次独立重复实验中A恰好出现k(5) = ?月= k =JU5孑4= 0.3560 + 0 1780 = 0.5340朴松定理如果近似公式：设 n充分大，p足够小（一般rPK0,01) - PX -2)-20解二上厂三 e2!避 2。产= 0.03,方座 = 0.6)魂：01=12)证：由于碑=八即区=/、于是曾n10,p&0.1)时制,有，3二M吵q=l-p例8:利用近似公式计算前例中的概率例9:有20台同类设备由一人负责

11、维修，各台设备发生故障的概率为0.01,且各台设备工作是独立的，试求设备发生故障而不能及时维修的概率.假设由3人共同维修80台设备情况又如何？解：（1）1人维修20台设备.令X表示某时刻发生故障的设备数.XB（20,0.01）于, ” 二咱=20 乂 0.01= 0.2)是，发生故障而不能及时维修的概蚀73r尸以22=（0。1）099产篮5J杳表0.0175XB80, 0.01于是,（2）3人维修80台设备假设X表示某时刻发生故障的设备数,发生故障而不能及时维修的概率为eo2 4)=工I(0.01/(0.99H 阳士啦 j幻(上 8 0.01 = 0.8)400091/3.M松分布如果随机变量

12、X的分布律为P（X=k=一/，R=012其中入0,则2称X服从参数为入的泊松分布，记为XTt（入）或者XP（入）1在时间实际背景：满足以下条件的随机质点流一串重复出现的事件称为泊松流。（,内流过质点数的概率仅与&有关，与t无关；（2）不相交的时间间隔内流过的质点数彼此独立；（3）在充分短的一瞬间只能流过一个或没有质点流过，要流过2个或2个以上质点几乎是不可能的。可以证明泊松流在单位时间内流过质点数便服从泊松分布。例如：单位时间内放射性物质放射出的粒子数；单位时间内某交换台接到的呼唤次数；单位时间内走进商店的顾客数等等；均可认为它们服从泊松分布。例10:设贝司且已知PX=1=PX=2,求PX=414解：由于X-忒K,即X的分布律为=舒=目7止=01,2于是有b,l可得方程47二二e7即2PX = 2)=0212乂=凡即由条件解得PX=1=PX=2入=2, 0弃去杳表所以Xc贰凡于是迷4一厂工。,。9。241例11:设交换台每分钟接到的呼唤次数X服从参数入=3的泊松分布。1求在一分钟内接到超7次呼唤的概率；2假设