陕西西安五校联考高三数学第一次模拟考试试题理

1、长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学高2012届第一次模拟考试数学（理）试题注意事项：（1）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分150分，考试时 间150分钟.（2）答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上.（3）选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.（4）非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域或在 其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效.（5）考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回.第

2、I卷（选择题共50分）一、选择眶：在每小题给出的四个选项中，只行一个是符合题目要求的（本大题共10小题, 每小题5分，共50分）.1.4 *.史数=3+i, 4=1-1,则更数 4的虚部为（）A. 2B. 2i323.-12.已知集合乂=仃氏位+1）5一2）0和NndwRlW + XVO,则集合m是集合N 的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件.函数f（x）=|x-2|-h】x在定义域内的零点的个数为（） TOC o 1-5 h z A. 0B. 1C. 2D. 3.过点P（1,2）的直线1平分圆C：必+ 4乂+6丫+1 = 的周长，则直线1的斜率为 （

3、）5_84A. 3B. 1C. 5D. 3正（主）视图.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2,且侧极AA1，底面ABC,其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三楂柱侧（左）视图的面 积为（）A. 2 B. 4 C. 6 D. 246.2011年西安世园会组委会要派五名志愿者从事翻译、导游、礼仪三项工作，要求每项工作至少行一人从事，则不同的派给方案共有（25 种600 种240 种)360 种X-(x+ 7.0）展开式中，中间项的系数为70.若实数* y满足y+1 20, y 2o,z=x+2y的最小值是（）A.-1C. 5D. 18.A=已知两个等差数列和值的前。项和分别是

4、A和，且211 + 1 a911+3 ,则与等于A.B.19 c. WD.1321f(x) = sin(ft+ (fi) + sin(ft-(p1）10.椭圆a上存在一点P，-I 口 NFPF）=使得它对两个焦点用，与张角2则该椭圆的离心率的取值范国是（A.。学B.c.叫D.第II卷（非选择题共100分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小 题5分，共25分）.如图，有一个算法流程图.在集合A=xR|T04x410中随机 地取一个数值做为x输入，则输出的y值落在区间（一5,3）内的概率值 为.某校为了解高一学生寒假期间学习情况，抽充了 100名同学，统计 他们每天平均

5、学习时间，绘成频率分布直方图（如图）.则这100名同学 中学习时间在6至8小时之间的人数为频率.设a, b, c为单位向量，a. b的夹角为600,南坛/Xx7则（a + b + c） c的最大值为.14.给定集合 An 二l,2,3小,n（nWN+）,映射 fA -A满足: 当 i,jeA，i#j 时，f wf（j）；任取 me A,若 mN2,则有mwfQ）, f（2）,，f（m）,则称映射f A - 4是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射f A - A是一个“优映射”.表1表2i1234f （i）3i123f（i）231（i）已知表2表示的映射,A4是一个“优映射”，请把表2补充完整

6、.（2）若映射f&TAo是“优映射”，且方程1）= 1的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是.15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题评分）A.（几何证明选讲选做题）如图，已知RAABC的两条直角边AC, BC的长 分别为3cm, 4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D,则BD的长为二；B.（不等式选讲选做题）关于x的不等式lx-ll + lx-2区a? + a+l的解集 为空集，则实数a的取值范围是：C.（坐标系与参数方程选做题）已知极坐标的极点在直角坐标系的原点。处，极轴与x轴的!x=3cos6_ y=sin （夕为参数），直线1的极坐标方程为pcos

7、(-y) = 6.点P在曲线C上,则点P到直线1的距离的最小值为三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）.（本小题满分12分）三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c ,设向量TTT Tm = （c-a,b-a）,n = （a + b,c） 若血 n（I）求角B的大小：（II）求由】A+sinC的取值范围.（本小题满分12分）如图，FD垂宜于矩形ABCD所在平面，CE/DF, ZDEF = 90 .（I ）求证：BE平面ADF：（II）若矩形ABCD的一个边AB=6, EF =2,则另一边BC的长为何值 时，二面角B-EF-D的大小为450?.

8、（本小题满分12分）设点P的坐标为（毛，%），直线1的方程为Ax+By+C=0.请写出点p到直线1的距离，并加以证明.（本小题满分12分）有甲、乙两种相互独立的预防措施可以降低某地区某灾情的发生.单独采用甲、乙预防措施 后，灾情发生的概率分别为0.08和0.10,且各需要费用60万元和50万元.在不采取任何 预防措施的情况下发生灾情的概率为0.3.如果灾情发生，将会造成800万元的损失.（设 总费用二采取预防措施的费用+可能发生灾情损失费用）（I）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用，他们各自总费用是多少？（II）若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案

9、使总费用最少的那个方案.（本小题满分13分）已知回C1的方程为好+（丫-2尸=1,定直线1的方程为丫=-1.动圆C与圆C1外切，旦 与直线1相切.（I）求动圆圆心C的轨迹M的方程；（II）斜率为k的直线1与轨迹M相切于第一象限的点P,过点P作直线1的垂线恰好经过 点A（0, 6）,并交轨迹M于异于点P的点Q,记S为轨迹M与直线PQ围成的封闭图形的面 枳，求s的值.（本小题满分14分）已知函数 f(x)= 2 x?ax + (al)ll】X, 1(I)讨论函数,5)的单调性；(II)若a = 2,数列满足f(a。.若首项% =10,证明数列力为递增数列：若首项为正整数，数列递增，求首项的最小值.

10、长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学 高2012届第一次模拟考试数学(理)答案第I卷(选择题共50分)一、选择题：CDCA DBAB DB第II卷(非选择题共100分) 二、填空题：11.0.812.30；13.逐+1； 14. (1) 2, 4, 1 , (2) 84 ；1615. A. 5 ； B.(T)： C.6 - y/3三、解答题：16.(本小题满分12分)c - a b - aT T T= 2) )解(I)由mn知a + b c ,即得b-= k + c-ac,据余弦定理知cosB = l B = Z2,得 3.A . A / 人 口、= sin A+ sin(A+ )

11、(口)sin A+ sin C = sin A+ sin(A+ B)3= rinA+、nA+旦。sA=4nA+旦。SA2222=6sin(A+ ) 6 n a _ In2万、B = A+ C = Ag (0,)10分,即得siiA+ s。的取值范围为因为 3 ,所以 3 ,得 3it /r5 ).万、1 .A+-G(-,S1114+- e)-(所以 666,得 6212分.（本小题满分12分）解（I）法1:过点E作CD的平行线交DF于点M,连接AM.于是四边形BEMA 所以BE平面因为CE/DF,所以四边形CEMD是平行四边形.可得EM二CD且EM /CD, 也是平行四边形，所以有BE/AM,

12、而直线BE在平面ADF外，ADF.6 分角坐标系.则平面ADF的一个法向量为(0,1,0)法2：以直线DA为x轴，立线DC为y轴，立线DF为z轴，建立空间立设AB=a, BC=b, CE = c,则点B、E的坐标分别为（b, a, 0）和（0,a, c),那么向量扇= (b,0,c)可知、品= (0,l,0).(-b,0,c) = 0f T得nlBE,而直线即在平面ADF的外面，所以BE平面ADF.(II)由 EF =26，em 二 AB 得 FM = 3 且/MFEubO。.由NDEF = 90可得FD = 4,从而得CE =1.设BC = a,则点B的坐标为（a, 5 0）.又点E、F的坐

13、标分别为（0, 5 1）和（0, 0,4）,所以晶=6，一1）,而=（0,-6,3）a% - Zj = 0设平面BEF的一个法向量为眄=（%，%4,则16%+34=,解得一组解为10分（l,/3a, a）所以叫=Q,/3a,a）易知平面DEF的一个法向量为2 = ，）,可得1 _ 1 1t t a =-由于此时就是二面角bef-D的大小，所以“al a,可得 3 .1所以另一边BC的长为了时，二面角B-EF-D的大小为450.12分.（本小题满分12分）_AxQ + By0 + C解：点P到直线1的距离公式为 JaB、.3分y = -证法1：过点P作直线1的垂线，垂足为H.若A=0,则直线1的

14、方程为B,此时c | N + Byo + CljByo + CI C|y0 + I-r- = _jv；-=1 % + g I点P到直线1的距离为B,而 VA- + B-B ,可知结论是成立的.5分BB八八t y-y0 = -（x-）若AW ,则直线PH的斜率为A,方程为 A ,与直线1的方程联立可得jg-Ax+ By0 + (x-Xo)+ C = Ox二叱聋产二空芸铝 y=y0-B空萨守 解得 A + B_A + B .A + B-9分据两点间距离公式得d =J（A,烟。”IV Ar+B-A+B- Vat+B2 .12分c证法2：若B = 0,则直线1的方程为A,此时点p到直线i的距离为| A

15、Xo + C|_| 做了先?|Va7 x/a + B2c y = 若A= ,则直线i的方程为B ,此时点P到直线1的距离为C |Byo + C| | 儆+ By0 + C|d =|一万一 y01=一符二二、若B0, AfO,过点P作y轴的垂线，交直线1于点Q,过点P作直线1于y轴的垂线, 交直线1于点Q，设直线1的倾斜角为夕，则d=|PQ|sin8.I PQI=I % - |=|Xq |=| 儆 * ? 十 .因为| tan 01/l+ tan2 0A2 + B2|A|A AA| AXo + Byo + CII AXo + By0 + C|cl =i （1 =,所以， Va3 + b2 .综上

16、， Va2 + B2 .证法3：过点P作直线1的垂线，垂足为H.则直线PH的一个方向向量对应于直线1的一PH = dTPH个法向量，而直线1的一个法向量为（AB）,又线段PH的长为d,所以(AB)而=_ d (ar)或 V + B2设点h的坐标为（羽y）,则而=（乂-%，丫-%），可得dAdBx=- i 、.,y=y。土 i ,VA7 + B-JAB-把点H的坐标代入直线1的方程得3号i土号_H -I + Byoj-c 1整理得 士d-A? + B- + AXo + Byo + C = （）解得 Va2 + B:.证法4：过点P作直线1的垂线，垂足为H.在直线1上任取一点Q（&y）,直线PH的

17、一个TT-方向向量为v =（AB）,据向量知识，向量PQ在向量V上的投影的绝对值恰好是线段PH 的长，因此d =i 由|= 1（乂-”一%）;（48）| = |依- J+（y二y0）B| v|7A2+B24-B2因为（x4）A+ （y % ）B = Ax+ By（a+ By）而点（x, y）满足 Ax+ By + C = 0所以 Ax+By_(Axo + Byo)= _(Axo + Byo + C) p；tA”By。上 CVa + b2.（本小题满分12分）解（I）若单独采用甲预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为 TOC o 1-5 h z 0 x0.92 + 800 x 0.08 =

18、64 （万元）；2 分若单独采用乙预防措施，可能发生灾情的损失费用的期望值为0 x0.9 + 800 x0.1 = 80 （万元）.4 分所以，单独采用甲预防措施的总费用为124万元，单独采用乙预防措施的总费用为130万元.6分（II）若实施联合采用方案，设可能发生灾情的损失费用为X,则X=0和800,且P（X = 800） = 0.08x0.1 = 0.008 P（X = 0） = 1-P（X = 800） = 0.992 ， 所以，可能发生灾情的损失费用的期望值为6. 4万元，因此总费用为116. 4万元.9分若不采取措施，则可能发生灾情的损失费用的期望值为0 x0.7 + 800 x0.

19、3 = 240 万元.可知此时的总费用为240万元.11分综上，选择联合预防措施的方案总费用最少. 12分.（本小题满分13分）解（I ）设动圆圆心C的坐标为（咒丫），动圆半径为R,则|cc1|=/xrHy-2F=R+it |t|y+i|=R 可得 次 +(丫-2)2 =|y + 1|+1由于圆ci在直线1的上方，所以动Elc的圆心c应该在直线1的上方，所以有y+i 从而得Jx. + （y-2）. = y+2 ,整理得=8y,即为动圆圆心c的轨迹M的方 程.（II）如图示，设点P的坐标为（%平）4可得直线PQ的斜率为 七 ,所以直线PQ的方程为=（x-xo）则切线的斜率为4 ,%.由于该直线经过点A （0.6）,所以行 TOC o 1-5 h z 0 =42 K_ J8,得5 =1.因为点P在第一象限，所以%=4,点p坐标为（4,2）,直线PQ的方程为x+ y_6 = 0 .9分把直线PQ的方程与轨迹M的方程联立得x2 + 8x-48 = ,解得x=-12或4,可得点Q的坐标为（T2J8） .所以=（8 + 24 ） （72 72 + 72）=- 33 .13 分.（本小题满分14分）解（D可知f（x）的定义域为（，+s）