7.3 单元刚度矩阵的建立

1、不得用于商业用途7.3单元刚度矩阵的建立从前面介绍可以看出，有限元法的核心是建立单元刚度矩阵，有了单元刚度矩阵，加以适当组合，可以得到平衡方程组，这以后剩下的就是一些代数运算了.我们首先介绍虚位移原理及其在单元分析中的应用在各种能量原理中，虚位移原理应用最为方便,因而得到广泛应用.7.3.1虚位移原理Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse所谓虚位移可以是任何无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件，例如对于悬臂梁来说，在固定端处，虚位移及其斜率必须等于零.图7-25今考虑如图7-25所

2、示的物体，它受到外力际厂等的作用记十朋尼在这些外力作用下，物体的应力为9=込円耳即,百阿,書Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuses*S*&现假设物体发生了虚位移，在外力作用处与各个外力相应方向的虚位移为记，由虚位移所产生的虚应变为在产生虚位移时，外力已作用于物体，而且在虚位移过程中，外力保持不变，因此，外力在虚位移上所做的虚功是forcommercialuseForpersonaluseonlyinstudyandresearch;not费=月百;+尽西+鸟&+二0価在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能是+对;

3、+看+屛;+今尸;Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse(cdxdydz整个物体的虚应变能是虚位移原理表明，如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse7.3.2单元位移在图7-26中表示了求解平面应力的三角形单元，求解空间应力的四面体单元用表示结点的位移，例如，对于平面应力问题Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notfo

4、rcommercialuse对于空间应力问题其中码计i分别是结点沿方向的位移分量用表示单元全部结点位移所构成的一致，对于平面应力问题曲=对于空间应力问题肌U卩枫jF)ee其中分别是沿方向作用于点的结点力用表示单元全部结点力所组成的向量0码巧，監今用虚功原理推导结点力的表达式。假设在单元中发出了虚位移，相应的结点虚位移为小则有疔=小单元内发生的虚应变为结点力所做的虚功等于每个结点力分量与相应的结点位移分量的乘积之和:费+讨眄+咏+-用矩阵表示，即为I瓷F上式建立了结点力与结点位移之间的关系矩阵称为单元刚度矩阵，它的元素表示当该单元KY发生一定的结点位移时，所对应的结点力.单元刚度矩阵决定于该单元

5、的形状、大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平移而改变.7.3.5结点载荷为了能用结构力学方法求解连续介质的应力，所有分布载荷都必须代换以等效的结点载荷今用表示结点的等效结点载荷例如，对于平面应力问题Ins对于空间应力问题西，托忆：x,y,z7其中分别是沿方向作用于点的集中载荷.用表示单元全部结点载荷所组成的向量片=比占几下面用虚位移原理推导各种结点载荷算式.1分布体积力设单位体积内承受的体积力为当单元中发生虚位移时，体积力所做的功为心如烛=3丫门何必如Z这应当等于等效结点载荷所做的功，即（沖鬥;=爭肚时如曲由上式可得体积力的等效结点载荷如下：P）=r（dxdydz上

6、式右边的重积分应当在单元的整个体积内进行.2分布面力设单元是靠近边界的单元，在其边界s上作用着分布的面力芒单元发生虚位移&23&）时，面力戸所做的功为仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfurdenpersdnlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourletudeetlarechercheuniquementadesfinspersonnelles;pasadesfinscommerciales.TonbKOgn只nw