经典数学选修1-1常考题1814

1、经典数学选修1-1常考题单选题（共5道）1、过双曲线:-y2=1的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于A、B、C、D四点，则矩形ABCD勺面积为（）B3C8D22、已知动圆P与定圆C:（x-2）2+y2=1相外切，又与定直线l:x=-1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程是（）Ay2=4xBy2=-4xCy2=8xDy2=-8x3、某物体运动方程s=-4t3+48t,它在某时刻速度为0,则相应时间为（）A4B1C2D34、已知f(x)为R上的可导函数，且对？xCR,均有f(x)f(x),则有()Ae2013f(-2013)f(0),f(2013)ve2013f(0)Be2013f(-2013)e2

2、013f(0)Ce2013f(-2013)f(0),f(2013)ve2013f(0)De2013f(-2013)f(0),f(2013)e2013f(0)5、给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直；其中真命题的个数是A4B3C2D1简答题(共5道)6、(本小题满分12分)求与双曲线M丁=：有公共渐近线，且过点支口二力的双曲线的标准方程。心7、

3、已知CR,函数f(x)=x2-2alnx.(1)当a=1时，求f(x)的单调区间和最值；(2)若a0,试证明：”方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=8、设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a为实数.(1)若f(x)在(1,+oo)上是单调减函数，且g(x)在(1,+oo)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(-1,+00)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.9、(本小题满分12分)求与双曲线-有公共渐近线，且过点“口2的双曲线的标准方程。10、(本小题满分12分)求与双曲线丁=：有公共渐近线，且过点时(2力的双曲线的标准方程。填空题

4、(共5道)11、设尸L外为双曲线二4-1的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且密的最小值为初，则双曲线的离心率的取值范围是.12、给出下列命题：(1)导数，卜)=。是F=/a)在巧处取得极值的既不充分也不必要条件；(2)若等比数列的前孔项和“-T+左，则必有9=1；(3)若一”则产+2-的最小值为2;(4)函数1=/*)在心司上必定有最大值、最小值；(5)平面内到定点的距离等于到定直线2广1=0的距离的点的轨迹是抛物线.其中正确命题的序号是13、已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则常数c的值为()14、设龙为双曲线的左右焦点，点P在双曲线的左支上，且需:的最小值为初，则双曲线的

5、离心率的取值范围是.15、设F】名为双曲线/下的左右焦点，点p在双曲线的左支上，且震的最小值为初，则双曲线的离心率的取值范围是.1-答案：tc解：双曲线:-y2=1的a=5,b=1,c=2,则双曲线的焦点F1(-2,0),F2(2,0),渐近线方程为y=fx,令x=-2,可得y=*；令x=2,可得y=2.则有A(-2,咨)，B(-2,-孚)，C(2,-2)，D(2,孚)，则矩形ABCD勺面积为|AB|?|BC|=x4=.故选：A.2-答案：C3-答案：tc解：由s=-4t3+48t,求导得v=s=-12t2+48,令-12t2+48=0,又.t0,解得t=2.故选C.4-答案：C5-答案：B1

6、-答案：设所求双曲线的方程为二-尸一小=，将点M住,-2）代入得区=工所求双曲线的标准方程为土略山J、S2-答案：解：(I)f(x)=2x-=2?,(x1),x,v(1)若a&1,x1,则f(x)0,Vf(x)在1,+oo)上连续，.f(x)在1,+00)上是单调递增函数.,.当al时，f(x)min=f(1)二1,(2)若a1,x1,令f(x)=0,得x=d，当xC(1,口)时，f(x)0,f(x)在&,+00)上是单调递增函数.则x=7时，f(x)取得最小值.当a1,xl时，f(x)min二a-alna,；g(a)=(R)记g(x)=x2-2a|nx-2ax，g(x)g(x2-ax-a),

7、(1)充分性：若a=7,则g(x)=x2-lnx-x,gx)=(2x+1)(x-1)，当xC(0,1)时，g(x)0,g(x)在(1,+00)上是单调递增函数.，当x=1时，g(x)min=g(1)=0,即g(x)0,当且仅当x=1时取等号.一方程f(x)=2ax有唯一解.(2)必要性：若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解.令g(x)=0,彳#x2-ax-a=0,a0,x0,x1=口；+4白xlcsln ii-2 aji i =，即、xxia = 0(舍),*2=比也,当xC(0,x2)时，g(x)0,g(x)在(x2,+)上是单调递增函数.当x=x2时，g(x2)=0,g(

8、x)min=g(x2),=0-g(x)=0有唯一解，；g(x2)=0.贝,三C.2alnx2+ax2-a=0,.a0,.2lnx2+x2-1=03,设函数h(x)=2lnx+x-1,丁在x0时h(x)是增函数，.h(x)=0至多有一解.=h(1)=0,.方程的解为x2=1,即上虻网=1,解得a=-,由(1)、(2)知，“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a4”.解：(I)f(x)=2x-=2?,(x1),(1)若a&1,x1,则f(x)0,vf(x)在1,+oo)上连续，.f(x)在1,+00)上是单调递增函数.,.当al时，f(x)min=f(1)=1,(2)若a1,x1,令f(x

9、)=0,得x=rf，当xC(1,T)时，f(x)0,f(x)在W,+00)上是单调递增函数.则x=-“时，f(x)取得最小值.当a1,xl时，f(x)min=a-alna,g(a)=fl(U1)1w-I)2(H)记g(x)=x2-2alnx-2ax,g(x)=(x2-ax-a),(1)充分性：若a=7,则g(x)=x2-lnx-x,gx)HaliX(2x+1)(x-1)，当xC(0,1)时，g(x)0,g(x)在(1,+00)上是单调递增函数.，当x=1时，g(x)min=g(1)=0,即g(x)0,当且仅当x=1时取等号.一方程f(x)=2ax有唯一解.(2)必要性：若方程f(x)=2ax有

10、唯一解，即g(x)=0有唯一解.令g(x)=0,彳#x2-ax-a=0,a0,x0,x1=口；+4白(舍),*2=比也,当xC(0,x2)时，g(x)0,g(x)在(x2,+)上是单调递增函数.当x=x2时，g(x2)=0,g(x)min=g(x2),gUj=0IVT2-=(f-g(x)=0有唯一解，.g(x2)=0.则、一1_1n，即二一-,.2alnx2+ax2-a=0,.a0,.2lnx2+x2-1=03,设函数h(x)=2lnx+x-1,丁在x0时h(x)是增函数，.h(x)=0至多有一解.=h(1)=0,.方程的解为x2=1,即解得a=-,由(1)、(2)知，“方程f(x)=2ax有

11、唯一解”的充要条件是“a4”.3-答案：解：(1)求导数可得f(x)=-avf(x)在(1,+oo)上是单调减函数，TaWO在(1,+0)上恒成立，.a-,x(1,+oo).a1.令g(x)=ex-a=0,得x=lna.当xlna时，g(x)lna时，g(x)0.又g(x)在(1,+)上有最小值，所以lna1,即ae.故a的取值范围为：ae.(2)当a00时，g(x)必为单调函数；当a0时，令g(x)=ex-a0,解得alna,因为g(x)在(-1,+8)上是单调增函数，类似(1)有lna0-1,即0VHM.结合上述两种情况，有三:.当a=0时，由f(1)=0以及f(x)=70,得f(x)存在

12、唯一的零点；当a0时，由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不问断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外，当x0时，f(x)=-a0,故f(x)在(0,+oo)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.当0Va1时，令f(x)=-a=0,解得x.当0 x0,当x,时，ex叮uf(x)0,即0aL时，f(x)有两个零点；实际上，对于0a-,由于f(3=-1-0,且函数f(x)在LL上的图象eee“ea不问断，所以f(x)在(L-)上存在零点.另外，当00,故f(x)在(0,J上时单调增函数，所以f(x)在(0,-)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(

13、-,+00)上的情况，先证明f(f-)=a(T%)bI上e时，exx2.设h(x)=ex-x2,贝Uh(x)=ex-2x,再设l(x)=h(x)=ex-2x,贝Ul(x)=ex-2,当x1时，l(x)=ex-2e-20,所以l(x)=h(x)在(1,+00)上时单调增函数；故当x2时，h(x)=ex-2xh(2)=e2-40,从而h(x)在(2,+00)上是单调增函数，进而当xe时，h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20,即当xe时，exx2 当 0ae时，f (工)=a也)：时，f(x)=-a0,故f(x)在(:，+00)上是单调减函数，所以f(x)在(：，+00)上只有一个零点.综合(

14、i)(ii)(iii)，当a&0或2=时，f(x)的零点个数为1,当0a1.令g(x)=ex-a=0,得x=lna.当xlna时，g(x)lna时，g(x)0.又g(x)在(1,+00)上有最小值，所以lna1,即ae.故a的取值范围为：ae.(2)当a00时，g(x)必为单调函数；当a0时，令g(x)=ex-a0,解得alna,因为g(x)在(-1,+8)上是单调增函数，类似(1)有lnaw-1,即00,得f(x)存在唯一的零点；当a0时，由于f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数f(x)在ea,1上的图象不问断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点.另外，当x0时，f(x)=-a

15、0,故f(x)在(0,+oo)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点.当0VaL时，令f(x)=-a=0,解得x=.当0 x0,当x,时，产Xtinkf(x)0,即0aL时，f(x)有两个零点；实际上，对于0aL,由于f(：)=-1-：0,且函数f(x)在J1上的图象不问断，所以f(x)在(L-)上存在零点.另外，当00,故f(x)在(0,J上时单调增函数，所以f(x)在(0,-)上只有一个零点.下面考虑f(x)在(-,+oo)上的情况，先证明f(/)=a(；-4)e时，exx2.设h(x)=ex-x2,贝Uh(x)=ex-2x,再设l(x)=h(x)=ex-2x,贝Ul(x)=ex-2,当

16、x1时，l(x)=ex-2e-20,所以l(x)=h(x)在(1,+00)上时单调增函数；故当x2时，h(x)=ex-2xh(2)=e2-40,从而h(x)在(2,+00)上是单调增函数，进而当xe时，h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20,即当xe时，hilli1|iexx2当0ae时，f(：)=-W=a(7一%)0,且函数f(x)在,上的图象不间断，所以f(x)在(5,：)上存在零点.又当x：时，f(x)=-a0,故f(x)在(:，+00)上是单调减函数，所以f(x)在(1,+00)上只有一个零点.综合(i)(ii)(iii)，当a&0或2=时，f(x)的零点个数为1,当0a：时，f(

17、x)的零点个数为2.4-答案：设所求双曲线的方程为三-产-仃二与，将点口厂?）代入得上二一2,所求双曲线的标准方程为三-略5-答案：设所求双曲线的方程为0,b0）的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，.|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,乎卜弋尸一=咫-奈+加之$口（当且仅当iPWn时取等号），所以I匚Irrlrr.I|PF2|=2a+|PF1|=4a,|PF2|-|PF1|=2a2c,所以e（1,3。点评：本题把双曲线的定义和基本不等式相结合，考查知识点的灵活应用。解题时要认真审题，注意基本不等式的合理运用。2-答案：（1）（2）试题分析：（3）不+之”把-1当2丁二尸即落=0才可成立.（4）F=/&）的定义域不确定，或者是常数函数.（5）到点的距离等于定长的距离的点的轨迹应该是圆3-答案：64-答案：(1引试题分析：二双曲线4-i(a0,b0)的左右焦点分别为F1,F2,P为双曲线左支上的任意一点，|PF2|-|PF1|=2a,|PF2|=2a+|PF1|,三：；=喈-圣+如NS口(当且仅当IPE|=宜时取等号)，所以IIrrlk二I|PF2|=2a+|PF1|=4a,v|PF2|-|PF1|=2a