复数的三角形式及乘除运算

1、复数的三角形式及乘除运算宇文皓月 TOC o 1-5 h z 一、主要内容:复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.二、学习要求:1熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.2深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.3能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值).4利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题 .5注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.三、重点 :复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合

2、运用 .四、学习建议:1复数的三角形式是完全解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有需要的 .前面已经学习过了复数的另两种暗示.一是代数暗示，即 Z=a+bi(a,b 6 R).二是几何暗示，复数Z 既可以用复平面上的点 Z(a,b) 暗示，也可以用复平面上的向量近来暗示.现在需要学习复数的三角暗示.既用复数Z的模和辐角来暗示，设其模为r,辐角为8,则Z=r(cos 0+isin 0 )(r 0).既然这三种方式都可以暗示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能 够进行互化.代数形式r=行三角形式b名+=一(

3、以土6 仁 中Z=a+bi(a,b 6 R)蛇皿啦匕=皿地 z=r(cos 0 +isin 0 )(r 0)复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 .否则不是三角形式.三角形式中9应是复数Z的一个辐角，纷歧定是辐角主值.五、基础知识1)复数的三角形式定义：复数 z=a+bi (a,b 6 R)暗示成r (cos。+ i sin 0 )的形式叫复数 z 的三角形式。即 z=r (cos 6 + i sin。)其中忆r。为复数z的辐角。非零复数z辐角。的多值性。以ox轴正半轴为始边，向量oz所在的射线为终边的角 。叫复数z=a+bi的辐角因此复数z的辐角是8+2k (k6z)辐角

4、主值暗示法；用arg z暗示复数z的辐角主值。定义：适合0 , 2 )的角。叫辐角主值0 argz 2唯一性：复数z的辐角主值是确定的，唯一的。不等于零的复数的模 z r是唯一的。z=0时，其辐角是任意的。复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。(求法) 这是复数计算中肯定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是建美佛定理定理只有对复数三角形式时才干使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容(也是解题术)复数在化三角式 的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也 是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。2)复数的向量暗示

5、在复平面内与复数Zi、Z2对应的点分别为Zi、Z2 (如图)何量0Z1对应于Zi何量0Z2对应于Z2何量ZiZ2对应于Z2 Zi Z与复数Z2Z1对应的向量为0Z显然 0Z / Z1Z2贝U arg z百/ xoz产 6 iarg Z2=/ x0Z2= 6 2arg z(Z2 Zi) =arg z=/xoz=。3)复数运算的几何意义主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变更如 Zi=ri (cos 6 i+i sin 6 i) Z2=r2 (cos 6 2+i sin 0 2)乘法：z=Zi - Z2=ri r2 cos( 6 i+ 6 2)+ i sin( 6 i+ 6 2)04 0Z2 0Z

6、如图：其对应的向量分别为显然积对应的辐角是 。i+。20Zi若。2 0则由。Zi逆时针旋转。2角模变成的2倍所得向量即是积Zi - Z2=Z 的向量 0Z。若。2V 0 则由向量 明顺时针旋转I 2角模变成ri r2所得向量即是积Zi - Z2=z 的向量 oz0为此，若已知复数 Z1的辐角为0c , Z2的辐角为B求 + B时即可求出Z1 - Z2=ZaZ对应的辐角就是 +B这样即可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。Z1 ri rz z1 z2cos( 1 2) isin( 1 2)除法z2 r2(其中Z2#0)除法对于辐角主要是“相减”(被除数的辐角一除数的辐角)依向量旋转同乘法

7、简述如下：20时。z1顺时针旋转2角O0时。乙逆时针旋转 2角O例1.下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式 Z 1=-2(cos 0 +isin 0 )(2) Z 2=cos 0 -isin 0(3) Z 3=-sin 0 +icos 0Z 4=-sin 0 -ic os 0(5) Z 5=cos60 +isin30分析：由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向.变形时，可依照如下步调进行：首先确定复数Z对应点所在象限(此处可假定 0为锐 角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角 .此步调可简称为“定 点一定名一定角”.这样，使变形的方向更具操纵性，能有效提高解决此类

8、问题 的正确率.解：(1)由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:Z1=Z(- cos0 - isin 0)复平面上 乙(-2cos0 , -2sin 0)在第三象限(假定 0为锐角)，余弦“- cos 0 ”已在前，不需再变换三角函数名称，因此可用诱导公式“兀 + 0 ”将 0 变换到第三象限. Z1=Z(- cos 0 - isin 0 )=2cos(兀 + 0 )+isin(兀 + 8)(2)由“加号连”知，不是三角形式复平面上点 乙(cos 0 , -sin 0)在第四象限(假定 0为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式“2兀-0 ”或“ -0 ”将0变换到第四象限Z 2=cos

9、 0 - isin 0 =cos( - 0 )+isin( - 0)或 Z2=cos 0 - isin 0 =cos(2 兀-0 )+isin(2 兀-8 )考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一(3)由“余弦前”知，不是三角形式复平面上点Z3(- sin 0 ,cos 0)在第二象限(假定 0为锐角)，需改变三角 函数名称，可用诱导公式“万+8”将0变换到第二象限.42(- sin 0 ,cos 0 )=cos( 2 +。)+isin( 2 + o)33同理(4) Z4=-sin 0 - icos 0 =cos( 2 兀-o )+isin( 2 兀-。)ill i支 蒐 Vs 阡Z

10、5=cos60 +isin30 = 2 +2 i= - (1+i)= 2 (cos + +isin 4 )= 2 (cos 4 +isin乳一)小结：对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者 来讲是个难点.有了 “定点一定名一定角”这样一个可操纵的步调，应能够很好 地解决此类问题.例2.求复数Z=1+cos0 +isin。(兀02兀)的模与辐角主值.分析：式子中多3个“1”，只有将“ 1”消去，才干更接近三角形式，因此可利 用三角公式消“ 1” .解:Z=1+cos 0 +isin 0 =1+(2cos 22 - TOC o 1-5 h z & e eg1)+2i si

11、n 2 cos 2 =2cos 2 (cos + +isin 2 )(1)冗e日 兀 02 兀. 2兀，.cos 5 0gg gg g (1)式右端=-2cos 2 (-cos2-isin 2 尸-2cos2 cos(兀 + 2)+isin(兀 + 2) f. r=-2cos 2 , ArgZ=兀+ 2 +2k 兀（k Z）636g2 2 兀 /. / 兀 兀 + 2 2 兀, 二 argZ=兀 + 2 .小结：（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.很多同学认为r=2cos 2 ,66argZ= 2 或 ArgZ= ?错误之处在于他们没有去考虑0角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，

12、加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如乙=1-cos 8+isin 。（兀02 兀）,Z2=1+cos0 - isin 。（兀02 兀）等类似问题.迦日11例3.将2=1一迦日（子兀03兀）化为三角形式，并求其辐角主值.下一步当然是要分母分析：三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦” 实数化，再向三角形式转化.十*14距日-sin D cos + ssin G ，十日五白产 1 - 解：1-谑5= 侬日=36-tm6i=cosATsmH)(m54+5inHj =cos2 0+isin2 011:4 兀 0 3 兀,11_ 2 0 6兀, 2 兀 2 0 - 4 兀 2

13、兀，. argZ=2 8 - 4 兀小结：掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采取 正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到 熟练解决一类问题的目的，如 1-itg 0 , tg 0 +i, i -ctg 0等.复数Z的模|Z|的几何意义是：复平面上点Z到原点距离，复数模|Z 1-Z2I 的几何意义是：复平面上两点Zi,乙之间距离.辐角几何意义是：以x轴正半轴为 角始边，以向量所在射线为终边的角记为 ArgZ.在0 , 2兀）范围内的辐角称 辐角主值，记为argZ.要求学生

14、不但要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关 问题.例4.若Z6 c, |Z-2|W1,求| Z |的最大，最小值和argZ范围.解：法一，数形结合由|Z- 2|W1,知Z的轨迹为复平面上以（2, 0）为圆心，1为半径的圆面（包含圆周），|Z|暗示圆面上任一点到原点的距 离.显然 1W|Z| =3, |Z| min=1,另设圆的两条切线为 OA OR a, B为切点，由|CA|=1 , |OC|二2知冗/ AOCN BOC=，圮 11二 argZ 6 0, 6 U 6 兀,2 兀)法二：用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设 Z=x+yi(x,y 6 R)则由 |Z- 2| 1 得

15、(x-2) 2+y21,. |Z|二v (x-2) 2+y2 1, /. (x-2) 2 1, .-1Wx-2W1, /.1x3, 14x-39, /. 1|Z| 0)|Z Z| 2=k2+(2k) 2-2k 2k cos 3 =3k2. |Z 亿|=唐 k,而k2+(后k)2=(2k) 2,.OZZ2为有一锐角为60的直角三角形.小结：此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.例8.已知直线l过坐标原点，抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴正半轴上，若点A(-1,0)和B(0,8)关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的 方程.解：如图，建立复平面x0y,设向量0A 赤

16、对应复数分别X1+y1i, x 2+y2i.由对称性，|OA|=|OA|=1, |OB|=|OB|=8,x 2+y2i=(x 1+y1i)8i=-8y 1+8xig-孙IL*”设抛物线方程为 y2=2px(p0)贝U有 y；=2px1, y 22=2px2,P二 x 1=2 , y 12=p2,又 |OA|=1 ,上-75(舍) *( 2 )2+p2=1, -p=5 或-$二抛物线方程为丫?X,直线方程为：y=x.小结：对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来暗示，经常有意想不 到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效五、易错点.其实不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.

17、如复数零的模为0,辐角主值不确定.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ暗示复数Z的辐角，而argZ暗示复数Z 的辐角主值.ArgZ=argZ+2k兀(k 6 Z),argZ 6 0,2兀)，辐角主值是0,2兀)内的辐角，但 辐角纷歧定是辐角主值.复数三角形式的四个要求：模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不 成.任何一个不满足，就不是三角形式.注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向六、练习.写出下列复数的三角形式ai(a 6R) (2) tgO+i(50兀) (3)- 石 (sin 0 - icos 0)2,设Z=(-3点+3血i) n, n 6 N,当Z6 R时，n为何值？3.在复平

18、面上 A, B暗示复数为 , B(%#0),且 B=(1+i) %,判断 AAOB2形状，并证明SaAOE=；：|d| 2.参考答案：点(t 6 s + 3 sin )t 2 0)33一n 十皿一耳)(口 。)( 1) ai= L22133tg 0 +i( 20 -a.已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a, b满足|a-b|=3 , 的值是()5A、-2B、-5?Lc、Ed 15比cos2 + i sin TOC o 1-5 h z .设兀0 3 0 -兀定5经过n次乘方后，所得的哥等于它的共钝复数，则n的值等于()A A. 3B、12C、6k-1(k 6 Z) D 6k+1(k6

19、Z)2215. z 为复数，(2 ) 1z-31 =( 2 ) |z+3| (2)-1 的图形是()1A、直线广B、半实轴长为1的双曲线lC、焦点在x轴，半实轴长为&的双曲线右支 应D不克不及确定答案与解析3氧argz= 2 ,a3 4 -1 = 0”,a=-1 ,本题 |a-b|=| 4P 7 |=3 ,答案：1、B 2、C3、B4、C5、C解析：1.z=(a+i) 2=(a 2-1)+2ai ,选B.-1 .2.求根 a, b= 2(=1-4p0)5 4p-1=9 , p=之，故本题应选 Ccos26 sin 2日 cos 明 + ：皿 29 TOC o 1-5 h z 依质后 1cos

20、=cos I 33 2巾_ _ . 珞_ _由复数相等的定义，得11n彳=-仙号)一方.MJT怎解得！T=2k兀-5, (k 6Z), . n=6k-1.故本题应选 C.5.依题意，有|z-3|=|z+3|-1,|z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程暗示焦点(3, 0), 2a=1, a= 5的双曲线右支，故本题应选C.复数三角形式的运算疑难问题解析.复数的模与辐角：(1)复数模的性质：I zi - Z2 | = I zi I - I z2 I(2)辐角的性质：积的辐角等于各因数辐角的和.商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.一个复数n次哥(n 6 N)的辐角等于这个复数辐

21、角的n倍.注意：(1)辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的分歧点.如下面两个问题：若 arg(2- i尸 , arg(3- i)= (3 ,求 + B 的值.( + (3 6(3 兀，4 兀)若 arg(2- i)= % , arg(3- i)= B ,求 arg(2-i)(3-i) 的“ 配以2川07比4兀，2 71)值.(2)两个复数乘积的辐角主值纷歧定等于两辐角主值的和，商的辐角主值纷歧定等于辐角主值的差.关于数的开方(1)复数的开方法则：r(cos 0 +isin 0)的n次方根是5/r (cos+ isin)(上=。31, 2. n -1)ti几何意义: H + 2k7c . .

22、 8 + 2卜宜设瓦二心衿+食口1，2,口-6对应于复平面上的点以，则有：第一个点M。，对应的向量0M。与酒由正向夹角为，.所以，复数z的n次方根，在复平面内暗示以原点为中心的正n边形的n个顶点.(2)复数平方根的求法.求-3-4i的平方根.解法一利用复数代数形式.设-3-4i的平方根为x+yi(x , y6R),则有(x+yi) 2=-3-4i,即(x2-y2)+2xyi=-3-4i,由复数相等条件，得-3-4i 的平方根是士 (1 -2i).法二利用复数的三角形式.设一3-4i =+5mgi9 E( TT ,等)则有匚口6二一，1& 2近2 753.复数集中的方程.关于实系数的一元二次方程

23、的解法：设ax2+bx+c=0(a?0, a, b, c 6 R,Xi , X2为它的两个根)(1)当4=3-4200时，方程有两个实数根当=b2-4ac0时，方程有一对共钝虚根(4)二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2)关于复系数的一元二次方程的解法：设ax2+bx+c=0(a#0, a、b、c 6 C,且至少有一个虚数，XiX2为它的两个根)(4)二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x 2)仍然适用.0关于二项方程的解法形如anxn+ao=0(ao, an 6 C且an# 0)的方程叫做二项方程，任何一个二项方 程都可以化成xn=b(

24、b 6 C)的形式，因此都可以通过复数开方来求根.关于含有器乐I 2 I的复数方程的解法可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种暗示方法及其转换来解方 程.已知方程x2-4x+p=0两虚数根为、B ,且| % - B |=2求实数p的值.解法1 .实系数一元二次方程虚根共钝设 =a+bi,B =a-bi , (a , b 6 R) % + B =2a=4,a=2又. | % - B |=2, . |2bi|=2 得 b= 1即两根为2+i , 2-i由韦达定理得：p=(2+i)(2-i)=5法2 由韦达定理可得： +8=4, % B =P于是 | % - B 12=|( % - B ) 2|

25、=|( % + B ) 2- 4 % B I=|4 2-4p|=4 , 即 |4-p|=1又 =42-4p 4, . p-4=1 , 得 p=5说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别.若有两实根入网有二环小口丽F这一等式成立.若有两个虚根则上述等式不成立.因为1 %-(3 I 2?( % - B )2.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要防止出现混淆与干扰.已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值.分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论.解 (1)若所给方程有实根则 =(3a) 2-4X2(a 2

26、-a)=a 2+8a0,即a由条件得根必为1或-1将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解.将菖=-1代入原方程可得/4+2=0徭=2 上心(2)若所给方程有虚根则 =a2+8 0,即-8 a 石三1z%l =/ + 2.=（心）=三 R.法 4 .当 |z|=1 时有 z =1,Z芸N. 1+1 = 3，1）y=e + 6 R.法5 复数z为实数的充要条件是 z=3 ,而（/）=,又.|z|=1 时,1W T -1-1 /. 2 - 21=1, /- 1 +Z2 G R!o评注:复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解(比方复数定义：形如a+bi (a,b 6 R)的数叫

27、复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；。)同时对一些概念的等价表达式要熟知。(比方： z=a+bi R o b=0(a,b 6 R)OZ=z OZ2A0；z=a+bi 是纯虚数 oa=0 且 b#0 (a,b R) oz+?=0 (z #0) oz21 -5.()100=(一+7i) 100=(-1+i) 50= 一1 =-一i.简评10本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要解关于x, y的二元二次方程组，其运算肯定很麻烦；1正_20在计算题中对1的立方根之一：w=-2 + 2 i的特性要熟知

28、即 w3=v 3=1,I = =w,1+w+w=0, 1+5+京=0,关于此点设计问题是命题经常参考的着眼点。1盘(2)思路分析:由(1)知 z= 2 +T i , z 的特性：z3=-1 = z3, |z|=1,1方第E=工；z=cos 3+isin 3 , z k = 3 鹏德 e Z-ln3m? + 1 或3底 + 2,限 E=w, ,z2k+z2k 可怎么理解呢？ (z 2) k+(z 2)-kz2k -2k1后解法 1:令 w=-，+ z i ,贝U z2k+z-2k=W+wk,M梆 3加 中 巨 Z); =1,而 k 6 z,. k= +2当 k=3m时，z2k+z-2k =(w3

29、)m+(w3)-m=2,当 k=3m+1 时,2卜+ -2k = 3m w+W3m - w-1=w+W=w+； =-1,-1 .w=w +w=-1,当 k=3m+2时,z2k+z-2k=w3m - w2+w3m - w-2=.+w2 =w3 - w-1+w3综上可知，集合 A中有2个元素。1 法 2 :|z|=1,.，=，2k双铢靠 2火死2上42k兀.z2k+z-2k=z2k+ 2k=cos +isin +cos -isin =2cos由此可判定集合A中有2个元素。1 -*币例 6.设复数 z=cos 8+isin 8(00兀),w= 14 y ,而且 |w|= 3argw 2 ,求8。（93年全国理）思路分析:欲用已知，需化简 w,1-匚口5（-。） + 血（一刻4 1 - C。科十i51nM 2疝口 2一十毒血（，c口工2日 解：w=十（8+，他寸=1+ cos49+jsin 4白=?cci929+ 行 sm28 cos28=tg2 0 （sin4 0 +icos4 0 ） |w|=|tg2 0 | 由 |w|= 3 得 tg2 0 = 3 .阳口r 00 兀，故有(i)当tg2 0二W时，得。=五或0二7?.#麓JTK JT止匕