《高等数学》 各章知识点总结-第9章

1、第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续1、n维空间R2为二元数组(x,y)的全体，称为二维空间。R3为三元数组(x,y,z)的全体，称为三维空间。Rn为n元数组(x,x,x)的全体，称为维空间。12nn维空间中两点P(x,x,x),Q(y,y,，y)间的距离:-x)2n12n12ny!-卩+(y2邻域.设P是Rn的一个点2是某一正数，与点P距离小于5的点P的全体称为点P的:0005邻域，记为U(P,5)，即U(P,5)=PeRnIIPPI5000空心邻域:P的5邻域去掉中心点P就成为P的5空心邻域,记为000U(勺5)=P|0IPP)I0，使得E匸U(O,M)，即E中所有点到

2、原点的距离都不超过M，则称点集E为有界集，否则称为无界集.如果D是区域而且有界，则称D为有界区域.有界闭区域的直径：设D是Rn中的有界闭区域，则称d(D)=maxlPP1为D的直径。12P，导二、多元函数n元函数就是Rn的一个子集D到R的一个函数，即对任意的PeD，都存在唯一的yeR，使得y=f(P)。习惯上，我们用y=f(x)表示一元函数，用z=/(y)表示二元函数，用w=f(x,y,z)表示三元函数.一般用y=f(P),PeRn或y二f(x,x,，x)12n表示n元函数.三、多元函数的极限设多元函数z=f(P)在D有定义，P0是D的一个聚点，A为常数。如果对任意给定的0，都存在30，当Pe

3、DnU(P,5)时，有|f(P)-Ae则称A为P趋于时函数z=f(P)在D上的极限，记为hmf(P)=A或P宀P0f(P)TA,(PTP0)。四、多元函数的连续性设多元函数z=f(P)在D有定义，P0是D的一个聚点。如果limf(P)=f(P0)，PTP00则称z=f(P)在花点连续。如果z=f(P)在区域D上各点都连续，就称z=f(P)在D上连续.如果函数z=f(P)在点P处不连续，则称函数z=f(P)在点P处间断，也称P是000函数z=f(x,y)的间断点。五、偏导数设二元函数z=f(x,y)，P(x,y)为平面上一点。如果z二f(x,y)在x的某一邻00000Azf(x+Ax,y)一f(

4、x,y)域内有定义且在x点可导，即极限lim二lim000上0axtoAxaxtoAx存在，则称z=f(x,y)在点P(xo,yo)处对x可偏导，称此极限值为函数z=f(x,y)在点x(x0,y0)或f(x,y)x00(x0,y0)P(x,y)处对x的偏导数，记为扌000ax(x0,yo)六、高阶偏导数d2z_d2fdx2dx2fxxdxIQx丿d2zd2fd_f_-dxdydxdyxydyd2z_d2fdydxdydxyxd2z_d2fdy2dy2yy如果函数z_f(x,y)的两个二阶混合偏导数f,f都在平面区域D内连续，那么这两xyyx个二阶混合偏导数在D内相等。七、全微分设函数z_f(x

5、,y)在点P(x,y)的某一邻域内有定义，A,B为常数。如果000Az_AAx+BAy+o(p)，其中p_p(Ax)2+(Ay)2，则称函数z_f(x,y)在点P(x,y)可微分(简称可微)，称AAx+BAy为函数z_f(x,y)在点P(x,y)的全微分,000000记作dz，即dz_AAx+BAy可微的必要条件：函数z_f(x,y)在点P(x,y)可微，贝y(l)f(x,y)在点P(x,y)000000处连续。(2)f(x,y)在点P(x,y)处偏导数存在，且dz_f(x,y)dx+f(x,y)dy。TOC o 1-5 h z000 x00y00可微的充分条件：函数z_f(x,y)在点P(x

6、,y)的某个邻域内可偏导，且偏导数000f(x,y),f(x,y)在点P(x,y)连续，则z_f(x,y)在点P(x,y)可微。xy000000八、多元复合函数的求导法则Qz6fQu6fQv链式法则：z_f(u,v)，u_u(x,y),v_v(x,y)，_+，QxQuQxQvQxQz_QfQuQfQv-I1oQyQuQyQvQy一阶全微分的形式不变性：z_f(u,v)，u_u(x,y),v_v(x,y)QzQzQzQzdz_dx+dy,dz_du+dvTOC o 1-5 h zQxQyQuQv九、隐函数及其求导法若F(x,y)满足：(1)F(x,y)在(x,y)某邻域内可偏导，且F(x,y),

7、F(x,y)连续，00 xyF(x,y)_0，(3)F(x,y)丰0。贝y(1)存在x0的某个邻域，在此邻域内存在唯一确00y000定的一元函数y_f(x)满足称函数y_f(x)称为由方程F(x,y)_0所确定的隐函数，且y二f(x)具有连续导数，dy二/f(x)=_严).dxF(x,y)y若F(x,x,x,y)满足：(1)F(x,x,x,y)在点(xo,xo,xo,yo)的某个(n+1)TOC o 1-5 h z12n12n12n维邻域内可偏导，且F(x,x,x,y),F(x,x,x,y),Ff(x,x,x,y)连续。x12nx12ny12n1n(2)F(xo,xo,，xo,yo)=0，F(

8、xo,xo,xo,yo)丰012ny12n则(1)存在点(xo,xo,xo)的某个n维邻域，在此邻域内存在唯一的n元函数，且函数12nFy=f(x,x,x)在该邻域内具有连续偏导数,y=-xr,i=12,n。12nx.Fy十、空间曲线的切线与法平面x=x(t)空间曲线r的参数方程为y=y(t)，M(x(t),y(t),z(t)为曲线上一点。如果ooooz=z(t)xxy一yzzTOC o 1-5 h zxf(t),yf(t),z(t)不全为0,则在点M处的切线的方程为：oo=ooooox(t)y(t)z(t)ooo在点M处的法平面方程为：(xx)x(t)+(yy)y(t)+(zz)z(t)=o

9、。ooooooo十一、空间曲面的切平面与法线xxyyzz曲面丫:F(x，y,z)=o在点处M的法线方程为：百o=Io=IoF(M)F(M)F(M)xoyoz在点处M0的法线方程为xxyyzz=|=F(M)F(M)F(M)xoyoz十二、无条件极值极值存在的必要条件：函数z=f(x,y)在点P(x,y)处取得极值,且在该点处函数的偏导数都存在,则z=f(x,y)在P(x,y)点处的一阶偏导数为零,即000f(x,y)=o,f(x,y)=oxooyoo极值存在的充分条件：函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有一阶及二阶连续000偏导数，且f(x,y)=f(x,y)=。令f(x,y)=A，f(x,y)=B，xyxxxyf(x,y)=C，则yy当AC-B20时，f(x,y)是函数z=f(x,y)的极值，其中当A0时00f(x,y)为极大值，