有限元复习宝典

1、有限元复习宝典V0.9整理by滴水2011年11月版权声明题目及答案源|华中科技大学胡于进教授的授课内容和编纂书籍有限元分析及应用，版权归其所有。 两者的搭配组合系本人劳动成果，允许无改动传播，保留其他权利。重点掌握一般问题的描述、模型简化、有限元的基本思想及分析原理、位移法求解基本过程、位移函数构造、单元特性、有限元计算的具体操作（单元刚阵形成、总纲阵组装）、边界条件处理（载荷等效/边界约束施加）、有限元分析的具体操作一.基本概念平面应力/平面应变问题;空间问题/轴对称问题;板壳问题;杆梁问题;温度场；线性问题/非线性问题（材料非线性/几何非线性）等平面应力问（1）均匀薄板（2）载荷平行于板

2、面且沿厚度方向均匀分布平面应变问（1）纵向很长，且横截面沿纵向不变。（2）载荷平行于横截面且沿纵向均匀分布轴对称问题物体的几何形状、约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多，且能承受弯矩的结 构称为板壳结构，并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。如果中 面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称 为壳。杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在结 构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩 的杆件称为梁。线性问题/非线性问题线性问题：基于小变形假设他，应力与应变，应力与位移，平衡 方程都是线性

3、的。非线性问题：材料非线性（非线性弹性、非线性弹塑性），几何非 线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）空间问题、温度场问题，略不同类型单元的节点自由度的理解和不同单元连接的处理如果两相邻单元在连接处节点重合且节点自由度相同，可直接连 接，则此时不同单元的刚度矩阵可类似单一单元分析一样直接组集。 如果两相邻单元在连接处节点不重合、或节点自由度不同则要特别处 理，处理的基本条件是保证相邻单元的连接节点的自由度相容，相邻 单元在连接的交界面上的位移协调。（1）节点不重合的单元连接（单元类型相同节点不重合）略。（2）节点自由度不同的连接（单元类型不同）杆梁连接将杆单元节点自由度扩展，或

4、引入特殊单元梁.平面单元连接人为将梁单元延伸一段或人为建立平面单元上s、m处的位移与梁单元A节点位移的约束关系有限元法的基本思想（二次近似）与有限元分析的基本步骤（5步）有限元法的基本思想：先将求解域离散为有限个单元，单元与单 元只在节点相互连接；对每个单元选择一个简单的场函数近似表示真 实场函数在其上的分布规律；基于问题的基本方程，建立单元节点的 平衡方程；借助于矩阵表示，把所有单元的刚度方程组合成整体的刚 度方程,，引入边界条件求解该方程组。有限元分析的基本步骤：数学建模（问题分析），结构离散（第 一次近似），单元分析（位移函数，单刚方程）（第二次近似），整体 分析与求解（总刚方程，引入约

5、束，解方程组求位移，根据位移求应 力），结果分析及后处理。里兹法的基本思想及与有限元法区别里兹法的基本思想：先根据描述问题的微分方程和相应定解条件 构造等价的泛函变分形式，然后在整个求解区域上假设一个试探函数 （或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题的近似解。与有限元法的区别：里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限 元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）位移函数的构造方法及基本条件构造方法：（1）广义坐标法，按照帕斯卡三角形选择多项式，项 数多少由单元的自由度数决定。（2）插值函数法，表示为形函数和节 点位移的乘积表示。基本条

6、件：（1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单 元内部是连续的）；（2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真 实解。位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性 的判断位移函数的收敛性条件（1）位移函数应包含刚体位移（2）位移函数应包含常量应变（反映单元的常应变状态）（3）位移函数在单元内连续，在单元之间的边界上要协调满足1和2称为完备单元，满足1, 2, 3称为协调单元。单元协调性的判断以3节点三角形单元为例，位移分量在每个单元中都是坐标的线 性函数的话，在公共边界上也会是线性变化的，那么相邻单元在公共 边界上的任意一点都具有相同的位移，也就是协调单元。8有限元解的性质有限元

7、解具有下限性质，即有限元的解小于实际的精确解。这是 因为实际结构本来是具有无限自由度的，当用有限元求解时，结构被离散为有限个单元的集合后，便只有有限个自由度了。由无限自由度 变为有限自由度可以认为是对真实位移函数增加了约束，限制了结构 的变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减小。9弹性力学的几个基本概念（位移、应力、应变等）位移，变形后位置；应变，变形程度；应力，受力状态。10.弹性力学的基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）（注意基本假设/与非线性对比），弹性力学基本方程的求解方法基本假设：物质是连续，均匀，完全弹性，各向同性，小变形平衡方程：多+= 05x ov 5zr rvv

8、3rv_dv dx dzOCT, CT 8“- + - + -+Z = 0dz dy dxt = r r t t txv yx xz zx yz zyowdz揶 du/zx = + V ox dz几何方程:du dv ov dw1, y , =1dv dxyz dzdv物理方程:1对A1刈1-1000122(E)称00001-2/2(1-/00000011-2/zb = /)11.虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法）虚功原理：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条 件相符合的任意微小的虚刚体位移时，体系上所有的主动力在虚位移 上所作的总功（各力所作的功的代数和）恒等于零。最小势能原

9、理：表 明在满足位移边界条件的所有可能位移中，实际发生的位移使弹性体 的势能最小。12.形函数特性1）形函数Ni为x、y坐标的函数，与位移函数有相同的阶次。2）形函数Ni在i节点处的值等于1,而在其他节点上的值为0。3）单元内任一点的形函数之和恒等于lo4）形函数的值在0.1间变化。单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义单元刚度矩阵的性质：（1）对称性（2）奇异性，|K|=0 （3）主对角线元素恒为正值（4） 奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）物理意义：单元刚阵K的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。其中分块矩阵Kij的物理意义为：当在j节点处产生单位位移而 其他节点位移为零时

10、，在1节点上需要作用力的大小。其中元素Kjj表示在第j号自由度上产生单位位移时，其他自由 度位移为零时，在i号自由度上所需要施加的力的大小。单元刚度矩阵的元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位 位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常 数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。!1!常用单元的特性（如单元内部边界位移/应变/应力分布,相邻单元边界的协调性分析）（常应变单元三角形/四面体;!1!矩形单元；等参四边形单元；矩形板单元）三节点三角形单元的位移函数为线性函数，则单元的应变分量均 为常量，故这类三角形单元称为常应变单元，位移在单元内和边界上 为线性

11、变化，在相邻单元边界处为连续。常应变三角形单元的应变矩 阵B为常量矩阵，说明在该单元上的应力和应变为常值，在相邻单 元的边界处，应变及应力不连续，有突变。矩形单元：4节点8自由度矩形单元。位移函数u = a+ x + a3 y + a4 xyx + a7 y + aQxy满足收敛性条件，单元为协调单元。应变矩阵B是x,y的函数, 应力也是随x, y线性变化的，应力和应变在相邻单元边界处为连续。等参单元定义、存在条件及特性等参单元定义：即以规则形状单元（如正四边形、正六面体单元 等）的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标 变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位

12、移函 数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参单元。存在的充要条件：|J护0特性：等参单元为协调元，满足有限元解收敛的充要条件。等参 单元的优点是当单元边界呈二次以上的曲线时，容易用很少的单元去 逼近曲线边界。边界条件处理（载荷等效移置集中力/均布力/线性分布力边界位移约束处理固定/指定位移等）载荷等效移置集中力，移置到两端节点，使得FL1=F2L2.F+F2=F均布力，移置到两端节点，F=F?=0.5qL线性分布力,Fi=l/3 0.5qL, F3=2/3 0.5qL边界位移约束绝对位移约束刚性支座（活动钗支，固定铉支，固接支座）固定位移弹性支座（线弹性制作，非线性支座）一一可变位移强迫

13、约束一一指定位移用载荷等效，装配应力+整体应力相对位移约束（如两接触面）约束等式耦合约束（连接重合节点，模拟滑动边界连接，施加周期对称 边界条件）常见的位移约束问题处理约束不足的处理（1）利用对称性引进约束（取1/11后，在对称面上施加位移约束）（2）转换载荷为位移约束（受平衡载荷作用，将一部分载荷用位 移约束代替）（3）人为增加约束（约束点应尽量远离重要部位，约束点变形要 相对小）其他，杆离散为多个杆单元时，须在连接节点增加约束，只允许 产生轴向位移。轴对称结构，施加轴向约束。过约束的处理有时需要施加过约束，有时需要释放过约束。总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点总体刚度矩阵组装原则：在整体离散

14、结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有 单元作用其上的节点力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri。总刚阵特点：除了具有单元刚阵的特点外，还有稀疏性，是指总刚矩阵的绝大多数元素都是零，非零子块只占 一小部分。带状性，是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带 状分布。1=.1=（附，半带宽B=（相关节点号最大差值+1） *节点自由度数）固有频率与特征向量（振型）定义及理解、振型特性动力方程广义特征值问题（K-o）2M） 50 =0特征方程|K-o）2M| =0的n个根称为特征值，它

15、们的平方根 成为系统的固有频率。由每个固有频率斜，求得的一组节点振幅不全为0的向量8称为特征向量，也称为振型或模态向量。振型的形状是唯一 的，但其振幅不是唯一的；一个特征值可对应有多个特征向量，但一 个特征向量只对应一个特征值。振型的正交性，任意两个特征值对应的特征向量关于质量矩阵或T刚度矩阵正交。职 M 洗分 = 0,厂尹s二.计算与证明1、 等效载荷计算2、 单元刚阵计算3、总体刚度矩阵及载荷向量组装，约束条件的引入、整体方程的求解（包括约束反力计算）4、单元形函数特性及单元协调性证明5、振型正交性证明略建模与结果分析1.影响有限元分析精度和成本的因素分析精度：A、单元阶次B、单元数量C、

16、划分形状规则的单元D、建立与实际相符的边界条件E、减小模型规模F、避免出现 “病态”方程组，当总刚矩阵元素中各行或各列的值相差较大时，则 总刚近似奇异。2.有限元模型的基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等）节点数据：节点编号、坐标值、坐标参考系代码、位移参考系代 码、节点数量、单元编号单元数据：单元节点、编号单元、材料特性码、单元物理特性值 码、单元截面特性、相关几何数据边界条件数据:位移约束数据、载荷条件数据、热边界条件数据、 其他边界条件数据有限元建模的常用方法理解及应用（如细节处理、分步计算、 局部计算、子结构法、对称性简化等）细节处理也称为小特征处理,即删除或抑制对结构力学性能影响

17、 不大的细小结构。分步计算，如果结构的局部存在相对尺寸非常小的细节，且又不 能进行细节处理，可采用分步计算来控制有限元模型的规模。局部处理就是从所建立的力学模型中抽取一部分出来进行分析, 该部分通常是研究者最关心的的危险区域。子结构法是先将大型结构分解为若干个结构区域，每个区域作为 一个子结构。子结构被进一步细分为单元，并人为地将子结构上的节 点划分为边界节点和内部节点两类.对称性简化,对称性分为反射对称和周期对称（1）反射对称，受对称载荷作用则对称面上的位移条件为垂直于对称面的移动位移分量为零。绕平行于对称面的两相 互垂直的轴的转动位移分量均为零。（2）反射对称，受反对称载荷作用则对称面上的

18、位移条件为平行于对称面的移动位移分量为零；绕方向矢量垂直于对称 面的轴的转动位移分量为零。（3）对称结构受任意载荷作用（迭加原理）（4）周期对称的位移条件，周期对称边界上的对应点有相同的 位移状态边界约束条件的处理（见前）。不同求解方案正确性或优劣的判断略单元类型选择的一般原则选择原则：同一问题所选单元应使计算精度高、收敛速度快、计 算量小。1、杆系结构：a、钗接连接时，选杆单元b、刚性连接时, 选刚架单元2、平面结构：a、外载平行于平面内，选平面单元b、外 载不在平面内，选弯曲板壳单元3、空间结构：a、结构和受力具有 轴对称性，选轴对称单元b、一般实体，选三维实体单元。网格划分的基本原则及网格划分方案分析、网格形态基本要求（如不同划分方案优劣比较）网格划分的基本原则：拓扑正确性原则（两单元的交为空或单元 顶点，边或面），几何保形原则（所有单元的集合为原结构的近似）, 特性一致性原则（一个单元内额材料特性、物理特性和截面特性必须 相同），单元形状优良原则（纵横比和夹角要适中），密度可控原则。1:1不同单元连接自由度的处理（杆-梁-板、平面梁等）略有限元