根的判别式,根与系数的关系

1、序号：春季班初高中数学备课组教师：戎世阳年级：初二日期:2018. 05.06上课时间:08:00学生：李晶慧、徐悦主课题：一元二次方程根的判别式 根与系数的关系课标内容课标要求目标层次一兀二次方程根的判别式会用方程的根的判别式判别方程的根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一兀二次方 程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数 的取值范围 韦达定理熟练用根与系数的关系求根 【知识脉络】【回顾旧知】1.若x2-12X-1|-4 = 0，则满足该方程的所有根之和为2.解关于x的方程ax2 + bx + c = 03.若(x - z) 2 - 4 (x - y)(y - z) =0,试求

2、x+z 与 y 的关系.4.已知：首项系数不相等的两个方程:(a - 1) x2 -(a2+2) x+ (a2+2a) =0和(b - 1) x2 -(b2+2) x+ (b2+2b) =0 (其中a, b为正整数)有一个公共根，求a, b的值.第1页/ 共13已知一元二次方程x2- 4x-也=0和3耘5x +切=0，求两个方程的所有根的和以及积.23如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2 - 2m=1, n2 - 2n=1,那么代数式2m2+4n2 - 4n+2015=关于x的方程x2-(2k - 1) x+k2 - 2k+3=0有两个不相等的实数根.求实数k的取值范围；设方程的两个实数根

3、分别为、x2,存不存在这样的实数k,使得|x1| - |x2|=.？若存在，求出 这样的k值；若不存在，说明理由.lr-1一已知在关于x的分式方程二2和一元二次方程(2 - k) x2+3mx+ (3 - k) n=0中，k、m、n均 x-L为实数，方程的根为非负数.求k的取值范围；当方程有两个整数根、x2, k为整数，且k=m+2, n=1时，求方程的整数根；(3 )当方千呈有两个实数*根xx:满足x( x 一k)+x( x - k)= ( x- k)(x -k) 日k为负 整W /J 4土FJ I AVI K 4、入2，彳州 Ml 41av /丁入？x? a, / tx】/v / tx?a

4、, / ， JzL n,八时，试判断|m|W2是否成立？请说明理由.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2,那么x1+x2=-p, x1-x2=q.请根据以上结论，解决下列问题:已知关于x的方程x2+mx+n=0 (n/0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；已知 a、b 满足 a2-15a-5=0, b2 - 15b - 5=0，求 a+b 的值；已知a、 b、c均为实数，且a+b+c=0, abc=16，求正数c的最小值.通过对苏科版九(上)教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会 的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”对这个问

5、题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学 生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握 44次手，如此共有45X44次握手，显然此时每两人之间都按握了两次手进行计算的.因此，按照题意，阴X 4445个人每两人之间握一次手共握了也;坦=990次手.像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手 解法”. 若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握 次手.请灵活运 用这一知识解决下列问题.一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信 息，这个QQ群中

6、共有多少个好友？已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？利用(3)的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形A8CD,图中共有多 少个矩形？多少个正方形？【要点梳理】一、一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式，判定方程实数根的个数利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围通过判别式,证明与方程相关的代数问题借助判别式,解决最值问题 二、根与系数的关系X, x2是一元二次方程ax2+x+c=0 (a/0)的两根时， 反过来也成立，即旦=-(孔+扬)，三=XX2.若二次项系数为1,常用以下关系：,扬是方程x2+px+q=0的两根时，X+x

7、2=-p, 1产2=0，反过 来可得p=-(X+x2), q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系 数.若二次项系数不为1,则常用以下关系：, _ b _art bX+X2= , XX2, .常用根与系数的关系解决以下问题：号.不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.已知方程及方程的一个根，求另一个根及未 知数不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等.判断两根的符号.求作新方程.由 给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时 还要考虑a0,A0这两个前提条件.c 一一 0 =两根同号 ac-

8、一一一 0 =两根异号 a且 0, a且 0,a且 x2，且2x1+x2=7，则 m的值是多少？ 【难度】求 X，x2【变式3】已知x1, x2是关于x的方程(x-2)(x-m) = (p - 2)(p - m)的两个实数根， 的值.(用p, m表示)【难度】类型四、利用根与系数的关系构造、，一St + 41 ,【例题4】设实数s，t分别满足19s2+99s+1=0, t2+99t+19=0，并且 gl,求的值.t【难度】【变式1】已知实数a、b满足a2+ab+b2=1，且t=ab -a2-b2，求t的取值范围.【难度】f a+b=E【变式2】已知a、b、c三数满足方程组p，则方程bx2+cx

9、-a=0的根是Hb-c +8V2c=4S【难度】【变式3】阅读下列范例，按要求解答问题.例：已知实数 a、b、c 满足 a+b+2c=1, a2+b2+6c-=0,求 a、b、c 的值.解法 1：由已知得 a+b=1 - 2c，（a+b） 2 - 2ab+6c-=0.将代入，整理得4c2+2c-2abT=0.ab=2c2+cm 24由、可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c） t+2c2+c=0的两个实数根.4.= （1 - 2c） 2-4 （2c2+cn0，即（c+1） 2W0.而（c+1） 2巳0，.+/=0，c=- 1，4将 c=- 1 代入，得 t2 - 3，=0.”1=，2=3，

10、即 a=b=3：.a=b, c=T. TOC o 1-5 h z 1 -9r1 -9r解法 2：a+b+2c=1,.a+b=1 - 2c、设 a= ； +t, b= ； - t.JJ33,.，a2+b2+6c-=0,.(a+b) 2 - 2ab+6c+万=0.将代入，得(1-2c) 2-2(-t)+6c=0.*3, c=-1.整理，得 t2+ (c2+2c+1) =0,即 t2+ (c+1) 2=0. t=0, c=- 1. 将t、c的值同时代入，得a与，则x、y是关于t的一元以上解法1是构造一元二次方程解决问题.若两实数X、j满足x+y=m, xy=n, 二次方程t2 - mt+n=0的两个

11、实数根，然后利用判别式求解.以上解法2是采用均值换元解决问题.若实数x、y满足x+y=m，则可设x=?+t，y号-t些问题根 据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决.下面给出两个问题，解答其中任意一题：用另一种方法解答范例中的问题.选用范例中的一种方法解答下列问题：已知实数 a、b、c 满足 a+b+c=6, a2+b2+c2=12,求证：a=b=c.【难度】【课堂检测】试确定，是否存在实数奴 使关于x的二次方程9x2 -(4k -7)x-6k2 = 0有两个实数根气,x2,且满足x 3 T = 一 .x 2【难度】【课程回顾】1、本节课我们复习了哪些知识点？2、你对本节课所复习的

12、知识又有了哪些新的认识?【课后作业】1.若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2 - 3=0的两个实数根分别是, x2，且满足x1+x2=x1,x2，则k的值 为.2.一元二次方程x2 - 2x - 4=0和x2 - x+2=0所有实数根的乘积等于已知实数a, b分别满足a2-6a+4=0, b2 - 6b+4=0，且ab,贝旦+的值是,a b瓦一1?+匚二7已知实数 a, b, c 满足：*n ,U(aT - b-1) abc (a+b+c) a+b+c 的值为qb+b c-Fb-F cz+16=05 .已知a、b是方程x2 - 2x - 1=0的两个根，则a2+a+3b的值是已知关于 x

13、的方程 x2+2 (a - 1) x+a2 - 7a - 4=0 的两根为 x1 x2，且满足 x1x2 - 3x1 - 3x2 - 2=0.则 (1T).世的值是.a-4 a已知关于x的一元二次方程x2 - 2kx+k2+k+1=0有两个实数根.第11页/ 共13试求k的取值范围； 若此方程的两个实数根七、x2，满足二-2，试求k的值.1 2 U 秘已知, X2是方程x2 - 2x+a=0的两个实数根，且X+2x2=3 - 2.求x1，x2及a的值；求呵3 - 3X2+2X+x2 的值.关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是X和x2.求k的取值范围；如果x1+x2 - x1x2

14、- 1且k为整数，求k的值.已知方程2x2 - 3x - 3=0的两个根分别为a, b,利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它 的两个根分别是a+1，b+1.已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1) x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2，求实数k的取值范围.是否存在实数k使得x1x2 - x12 - x22= - 7成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.已知关于x的一兀一次方程X2+ (m+3) x+m+1-0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；若X、x2是原方程的两根，且| x1 - x21-2，求m的值.下面是小红同学做的一道练习题：已知关于了的方程x2+mx+-0的两个实数根为m, ，求m, n的