椭圆中常考的十六条焦点性质和证明(汇编)

1、椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一）椭圆中，PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在 直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点证明：延长F2H至M交PR于M PT平分/ MPF ，又 F2H丄 PT,a |pm |=|PF2 | 又 |PF| |PF2| = 2a,二 |PM | |PFi | = 2a HFiM | = 2|0H | ：|0H | = a. TOC o 1-5 h z H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切证明：如图，设以焦半径MF为直径的圆的半径为 ri,圆心为O

2、,由椭圆定义知 |MFi | | MF2 戶 |AB = |MFi 冃 AB| -|MF2|11 |001| MF1（| AB | | MF2 |） =a -r122 0 OO 0相内切设A、A为椭圆的左、右顶点，则厶PF1F2在边PFz (或 PF1)上的旁切圆，必与 AA所在的直线切于 A2 (或A). 证明：设旁切圆切 x轴于A，切PF2于M, F1P于N,则 |PN 冃 PM| , |MF2|=|MA| ,|F1N|=|F1A| ,- | PF1 | | PM | =| F1 F2 | | MF2 | PF1 | | PF2 | -| F2A|=|F1F2| |F2A|= 2a =2c

3、 2| F2A| ：| FzAFa -c 计 F2A2 | A与A重合.2 2椭圆 +2 1( a b o )a bA(-a,0) , A(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时，2 2A R与A2P2交点的轨迹方程是 务占=1.a b证明：设交点 S(x),y) , R(m,n) , P,(mn) KP1A1 =KA1SGa2 二Gs,n _ y。+axo +an-ny。y。n2yoi*2222-ny0m+am-ax。+ax。一aa -mx。一a1=m -ax。_a2 2 2 2 2 . 2p m nnmnba bbaa -m a2,2 2 2 2 2:y。一b y。_1即轨迹方程为

4、X y _1x。一aaa ba b22（五）若尺（“。）在椭圆孑+泊=1上，则过R的椭圆的切线方程是加+狛iab2证明.对x求导可得：2x 2y y 。.xobJd_L 丿j /、jA m 丄nx)m 丄%n声2. 22. 2a bab2 2即 x_+y_=xo+y.a bab2 2（九）过椭圆 牛中牛=1 （a o,b O）上仕点a（x）, yo）仕意a b作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBc=y （常数）.a yo证明：设两直线与椭圆交于点（石）（x2,y2）.2 2 2 2 2 2xi, yiX2 +丫2xo +yo2 2 2 2 2 2 a b a b a

5、 b=1厂f 0wxAC yi y _ _xixo b2XiXoyi-y。a2讨2y。_X2X。b2X2-Xoy2-y。a2由题意得二2 2 yiy。X2+x。by2 y。音+x。b2 ，2Xi-x。y2 y。aX2 - x。yi y。a展开 (yiy2 - yoy2 yoy1 -y)a (ym -y。 +yy2 -y；)a2=(Xi X2 - X2X。 XiX。-x)b22= (XiX2 -NX。 X2X。-x)b222a y(yi y?) =2b x(xi -X2).2得：yi二宅=叮一二Kbc （定值）x -X2 a yo22（十）椭圆+y_=i （a b0）的左右焦点分别为 Fi, F

6、2, a b点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点.FPF2二,则椭圆的焦2点三角形的面积为門汁汁厂财，沪m 亠n =2a.证明：设 | PFi |=m , IPF21 二 n，则由余弦定理22叮22m 亠n -2mn cos 二4c 4a22-4b(m 亠n)4b2，2b2i cosSF.PFm n sin Y =i 2bsin Y = b2tan=c，|yp |i 222 1 cos22 2(十一) 若P为椭圆X2 y2 =i(a b 0)上异于长轴端点的a b任一点,F i, F 2 是焦点，Npf,F2 =o(, PF2F P ,2b2 =(i cos )mn |PFi| =证明：设|pF

7、iE , H心a ,阳镇ot +B a -P 2sincosm 亠n sin :： 亠sin -22o . ot + P a +P 2sincos2 2又|FF2|sin(:：)a -P cos 2a +P COSP . . a . P cos 亠 sin sin 2 2 2a cos2ar j厂coscossin s in22 22c(P1 tan tan 22J1 -ta n tan= 2 2由、得：tan - tan=a 一c22 a+c2mb2k2y1 y2 = 2 2 2a +b kma2k2X 二mk-myob k +a2 2 2 m k (ay -y： =k(x _x ) 代入(

8、Xo,O),mk(a2 +b2)x)a2b2k2又厶 0=b2)2(a2 b2k2)2a k2b2xo.(a2_b2)2a2 b2k2%2 2(十二)椭圆x2 y2 =1 (a b 0) 上存在两点关于直线I :a b(2 人2、2y=k(xxo)对称的充要条件是 X。2兰 ：2 2 .a +b k分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线1，斜率为一，其中垂线I为y=k(x x。)则xO (a b )k1证明：设l1方程为y -x亠m 即x =mk -ky ,中点为(x, y)k得(b2k2 a2) y2 2mb2k2y b2k2m2 a2b2 =0mb2k2y = 2 2 2a k注：

9、还可以用点差法2 2 2 2(十三)已知椭圆 b0 )和 七1=人(0人：1 ),a ba b一直线顺次与它们相交于 A B、C、D四点，则|AB| =|CD | . 证明：设直线方程为 y=kx、m,2 2乞：芈=，x2 (kx m)2 , 1k2 2 2km m2孑 b二 2“2- = ( 2 以)x2以 xa ba b b by =kx m=1视作 =1的特殊情况2km弦中点坐标Xd =勺里一1b -与，无关.22 1 . k而 y 二kxD m D（Xdd）与无关线段 AD,BC 中点重合=|AB|=|CD|.2 2（十四）已知椭圆x2y2 =1（a b 0）, A、B是椭圆上的两a

10、b点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（xo,0）,贝V2 2a -b：X）、aa证明：设 A为（X1,yJB为（Xz,y2）2 2X1X12 r2 a b _2 2 -X2 y2,L厂1Xd=2a(为一X2)(x X2) (y1 y2)(w y2)b2b2 kyD1 -_ = x。 k2 2a-b.-a .-Xd a XdapdX。-Xd=Xd2 .2a b yDk 二 2xda2 2a ba2 2（十五）已知椭圆方程为xy一2、2 = 1(a b 0),两焦点分别为abF1, F2,设焦点 PF1F2, - PF1F2=：； PF2F1 =2 则椭圆的离心率e =sin(黒亠卩)sin - sin :证明：由正弦定理得:|FiF2 sin(180。_ ： _ -)sin ： sin :由等比定理得:FE _ PF!PF?sin(j -)sin 篇- sin :2asin x sin :fr_ 2c(PFklPFdsin(、l：,) sin(二sin ： sin :csi n(a + P)e =a sin o +sin P2 2 X y(十六)已知椭圆方程为2_2 =1(a b 0),两焦点