可测函数收敛性

1、关于可测函数的收敛性第一张，PPT共十七页，创作于2022年6月函数列的几种收敛定义一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛: 记作第二张，PPT共十七页，创作于2022年6月1-例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn第三张，PPT共十七页，创作于2022年6月几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（

2、任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)第四张，PPT共十七页，创作于2022年6月依测度收敛: 记作注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何第五张，PPT共十七页，创作于2022年6月不依测度收敛依测度收敛第六张，PPT共十七页，创作于2022年6月几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1（1）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(

3、x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外fn不几乎一致收敛于1第七张，PPT共十七页，创作于2022年6月fn不几乎一致收敛于f几乎一致收敛:记作 (almost uniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （ ）适当小小第八张，PPT共十七页，创作于2022年6月fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n第九张，PPT共十七页，创作于2022年6月（2）依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4

4、10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8第十张，PPT共十七页，创作于2022年6月依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；第十一张，PPT共十七页，创作于2022年6月例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn第十二张，PPT共十七页

5、，创作于2022年6月三种收敛的联系即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛第十三张，PPT共十七页，创作于2022年6月第十四张，PPT共十七页，创作于2022年6月引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：关于N单调减小第十五张，PPT共十七页，创作于2022年6月几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）设mE+，f