高三数学空间向量与立体几何

1、空间向量与立体几何知识网络目标认知考试大纲要求. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表木. TOC o 1-5 h z .掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.理解直线的方向向量与平面的法向量.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系 .能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解 向量方法在研究几何问题中的作用.重点、能用共线向量、共面向量、空间向量基本

2、定理及有关结论证明点共线、点共面、线 共面及线线、线面的平行与垂直问题；、利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式以及相关结论解决有关平 行、垂直、线线角、线面角、二面角及点线、点面、面面距离等问题。难点利用空间向量的坐标和数量积解决直线、平面问题的位置关系、角度、长度等问题。知识要点梳理知识点一：空间向量.空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： 空间的一个平移就是一个向量。 向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量 只考虑其定义要素：方向，大小。 空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。.共线向量（1）定义：如果表示空

3、间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫 做共线向量或平行向量.3平行于b记作金盛.当我们说向量3、彳共线（或3/才）时，表示3、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.（2）共线向量定理：空间任意两个向量 晨 b （b金6）, Zliib的充要条件是存在实 数入，使口 =入方。.向量的数量积（1）定义：已知向量,则|花卜怜|-coS 叫做22的数量积，记作a b , 即才,，=|矶同6砧。（2）空间向量数量积的性质：-叼小0s 宿； 31占二。；同二（3）空间向量数量积运算律：（如=在/而二霜（脑；一二力立（交换律）;一 +而+.=/匕+霜下（分配律）。.空间向

4、量基本定理如果三个向量1屋不共面，那么对空间任一向量P ,存在一个唯一的有序实数组1/2,使方二就+劝+对。若三向量 诉不共面，我们把 圆力 叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。.空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底，T用也上用表示；iffi.（2）在空间选定一点0和一个单位正交基底,以点。为原点，分别以上的 方向为正方向建立三条数轴：X轴、7轴、轴，它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系-二, if点0叫原点，向量 上尢都叫坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为二-1平

5、面，平面，zOx平面；.空间直角坐标系中的坐标在空间直角坐标系一平 中，对空间任一点 幺，存在唯一的有序实数组（元乂，使 3二加+乃+ Z上，有序实数组（XJN）叫作向量力在空间直角坐标系。一切中的坐标， 记作 4元70, x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标.空间向量的直角坐标运算律：（1）若乂（aJMi）, B（孙乃,则朋二（占一孙乃一3马-马）.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标。若。二斜当,3, 为二（4也也），则 。+%血+4，叼+务，出+乳 f -二（题如 羽）n方=地+地+磷，aHb”二能当二为外=私（4wR）, 。，占0口在+叼4+

6、修必=。；加二扇二旧忑百自+4也+与&同向一看W乐奇博.（3）两点间的距离公式：若人品比,3a仍，的）,则AB=y二J（x二工1）3 +（乃一4尸+乌一的y 或小二J（占一 kJ + 广必） +。一N】）“。知识点三：空间向量在立体几何中的应用1,立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂直问题，一般是利用 白12 Orb二。进行证明;对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.利用向量求夹角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式COS& =.用向量法求距离

7、的公式规律方法指导平面的法向量的求法设n=（x,y,z）,利用n与平面内的两个不共线的向a, b垂直，其数量积为零，列出两个AB是平面&的一条斜线，则点 B到平面口的距离为设n是平面&的法向量,三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面a的一个法向量（如图）线线角的求法：设直线 AB、CD对应的方向向量分别为a、b,则直线 AB与CD所成的角为arc cos 44I” 网。（注意:线线角的范围00,900）线面角的求法：ABn设n是平面a的法向量，ab是直线i的方向向量，则直线/与平面a所成的角为arc sin卜同（如图）。二面角的求法：设 ni ,也分别是二面角比 - - 的两个面,户的法向量，则/打啊（理，舞a） - arccos -=-lilll就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离点A到平