高三数学数形结合常用的工具

1、山东莘县观城中学高三年级数学组郭银生数形结合就是对题目中的条件和结论既分析其代数意义又分析其几何意义，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种数学方法，它的本质是“以形助数，以数定形”，数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好， 割裂分家万事休。”数形结合思想是高中数学主要的四大思 想之一，是每年高考试题必考的内容，高考试题常以下列方式出现：研究方程根的情况， 讨论函数的值域， 求变量的取值范围解不等式。笔者就常用的“以形定数”的工具归纳如下，以求抛砖引玉之效。一、韦恩图韦恩图是解决集合运算问题常用的工具，还可证明一些常用的恒等式，如AAB=AUB= A=B,A=AA 2 A1 B= B=AU B,

2、 CU (A n B)= C u AU CU B, C u (A U B)= C U AC Cu B 等。例1.某班50人中，参见数学竞赛的25人，参加化学竞赛的32人，求既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数的最大值和最小值。解：设两科都参加的人数是x人，则参加化学竞赛和参加数学竞赛的人数分别是32-x,25-x32 - x 0根据题意的实际意义得：J25-x 0,解不等式可得25 -x 32 -x x _07xa,且 ARB,则 实数a的取值范围是.解析：(1) a-2;. A= x|-2xa,又 AB,利用数轴 上覆盖关系，因此有a0 得:-13b0 且 awl,试求使方程 log a (x

3、-ak)=log a 2 (x 2 -a2)有解的实数k的取值范围。解：原方程等价于 0Vx-ak = Xx -a2构造曲线C：y= x x a a，直线L:y= x-ak从而使问题转化为直线L和双曲线C:x 2-y 2=a2 (y0)x轴上半部分有交点，求实数 k的取值范围，如图所示：有三条临界直线 L1、L 2、L 3当L在L4DL2之间时，直线L在y轴上的截距 ak满足av akv 0时L与C有一, 个交点，解之可得0V k 1当L在L3上方时，直线L在y轴上的截距-ak满足av ak时L与C有一个交点，解之可得k 1综合可得，所求 k的取值范围是“k -1或0 k 1 例8.求函数y=

4、 J2t +4 +J6 的值域。22解：设 mr 2t+4 , n= v6-t ,则 m +n =16 (0c) 2 +(1- - ?u)2=, 2 - -. 2+1I FE | =(2 -1) 2 +(- ) 2 222 -2 +1 .I PA | = | FE | ,即 PA=EF22.2.2. PA* FE =(- 2 K)( 2 九-1) +(1- 2 九)(-2 )PA，FE,例11.如图所示,G在棱CD上，且.求证:.求证:九十九2 = 02即 PA，EF在棱长为1的正方形ABCD-ACG= 1CD,H是C1G的中点, 4EF B1cEF与C 1G所成角的余弦值1B1C1D1中,E

5、,F分别是DD1,BD的中点,.解:求FH的长如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz ,1 E(0,0, 2)B1(1,1,1)1 1F( 2 , 2 ,0) C(0,1,0)D(0,1,1)G(0, 3,0)4 -111-(1).证明： EF =( ，2 ,- 2)B1C =(-1,0,-1)- 0+-(-1)=0EF B1c. EaBC一 1(2). CiG=(0，- 4,-1) I C1G I=J0+(T2+(-i)2T由（1）得I EF I =EF - C1G =EF C51cos EF, C1G = ；r =EF 率 C1G17(3). H是C 1G的中点山1112 2又F(1,l,0)2 2.，3)即 H (0,一8.FH= | FH | =(0；(74)2+(r0)2418点评：利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大 大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。十.复平面借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越的多。例12.如果复数z满足| z+i | + | z-i | =2，那么| z+i+1 | 的最小值是()A.1 B.2C.2 D., 5解析：复平面内满足I z+i |+| z-i | =2的点z的轨迹是线 段AB,而| z+i+1