高三数学一轮复习必备精品简易逻辑

1、第十一章简易逻辑考纲导读.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质;学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力.简易逻辑是一个新增内容，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现， 如果在解答题中出现，则只会是中低档题.集合、简易逻辑知识，作为一种数学工具，在函数、方程、不等式、排列组合及曲线与方 程等方面都有广泛的运用，高考题中常以上面内容为载体，以集合的语言为表现形式，结合 简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，

2、题型常以解答题的形式出现.第1课时逻辑联结词和四种命题基础过关一、逻辑联结词. 可以 的语句叫做命题.命题由 两部分构成；命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题.逻辑联结词有 ,不含 的命题是简单命题.由 的命题是复合命题.复合命题的构成形式有三种： ,（其中p, q都是简单命题）.判断复合命题的真假的方法一真值表： “非p”形式的复合命题真假与 p的 当p与q都真时，p且q形式的复合命题 ，其他情形 ;当p与q都 时，“ p或q ”复合形式的命题为假，其他情形 .二、四种命题.四种命题：原命题：若 p则q；逆命题： 、否命题： 逆否命 题：.四种命题的关系：原命题为真，它的逆命题

3、 、否命题 、逆否 命题.原命题与它 的逆否命题同 、否命题与逆命题同 .反证法：欲证“若 p则q”为真命题，从否定其 出发，经过正确的逻辑推理导出矛 盾，从而判定原命题为真，这样的方法称为反证法.典型例题例1.下列各组命题中，满足“ p或q”为真，“ p且q”为假，“非p”为真的是 ()p:0 = 0； q:0 C 0p:在ABC中，若cos2A=cos2B,则 A= B;q ：y= sin x在第一象限是增函数p:a4b 270b(a,bsR) ； q：不等式 x x 的解集为(_-0 )D.22p：圆(x_1j+(y/)2=1的面积被直线x=1平分；q：椭圆上+上=1的一条准线方程是 x

4、 = 4 43解：由已知条件，知命题 p假且命题q真.选项(A)中命题p、q均假，排除；选项(B)中，命题p真而命题q假，排除；选项(D)中，命题p和命题q都为真，排除；故选(C).变式训练1:如果命题“ p或q”是真命题，“ p且q”是假命题.那么()A.命题p和命题q都是假命题B.命题p和命题q都是真命题C.命题p和命题“非q”真值不同D.命题q和命题p的真值不同解：D例2.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假 ：若q 1,则方 程x2+2x+q= 0无实根，为假命题.逆否命题：若方程 x2+2x+q= 0无实根，则q 1,为真 命题.(2)逆命题：若 a= 0或b

5、=0,则ab=0,为真命题.否命题：若abw0,则aw。且bw0,为真命题.逆否命题：若 aw0且bw0,则abw0,为真命题.(3)逆命题：若x、y全为零，则x2+y2=0,为真命题.否命题：若x2+y2w0,则x、y不全为零，为真命题.逆否命题：若x、y不全为零，则x2 + y2w0,为真命题.变式训练2：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：(1)如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；(2)矩形的对角线互相平分且相等； TOC o 1-5 h z (3)相似三角形一定是全等三角形.解：(1)否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个

6、角也不都相 等”.原命题为真命题，否命题也为真命题.(2)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”原命题是真命题，否命题是假命题.(3)否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”原命题是假命题，否命题是真命题.例3.已知p： x2 +mx+1 =o有两个不等的负根，q： 4x2+4(m-2)x+1 =0无实根.若p或q为真,p且q为假，求m的取值范围.分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由 p且q为假，知p、q必有一个为假，所以, “p假且q真”或“ p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论.解：p： x2+mx+l J有两个不等的负根. TO

7、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark41 o Current Document 2. 一 =m 0门仁产m2m 0q： 4x2 +4(m -2)x +1 =0 无实根.二 & =16(m_2)2 -160=1m1m2.1 m 0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减，q：不等式x+|x-2a|1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题，求 a的取值范围.解：由函数y=ax在R上单调递减知0a1,所以命题p为真命题时a的取值范围是0a1的解集为R,只要ymin1即可，而函数y在R上的2a(x 1,即a.即q真仁a-.若p真q假，则0 1,所以命题p和q有且只有一

8、个命题正确时a的取值范围是 01.2例 4.若 a, b, c 均为实数，且 a= x2- 2y + y , b=y22z+(, c= z22x+/ .求证：a、b、c中至少有一个大于 0.证明：彳矍设a,b,c者B不大于0,即a W0, b 0, c 0.a+b+c0这与a+b+c0相矛盾.因此a,b,c中至少有一个大于 0.变式训练 4 ：已知下列三个方程：x2+ 4ax 4a+ 3= 0,x2+( a1) x+a2= 0,x2+2ax2a =0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.解：设已知的三个方程都没有实根.1 =(4a)2 4(4a -3)：二0贝U ；2 =(a1)2 4a

9、2 ：:02a)2 8a ：:0解得 _3 a 1或aw 3 . 2小结归纳.有关“ p或q”与“ p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此 时应从语句的陈述中搞清含义从而分清是“p或q”还是“ p且q”形式.当一个命题直接证明出现困难时，通常采用间接证明法，反证法就是一种间接证法.反证法的第一步为否定结论，需要掌握常用词语的否定(如“至少”等)，而且推理过程中，一定要把否定的结论当条件用，从而推出矛盾.用反证法证明命题的一般步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设命题结论的反面成立；(2)从这个假设出发，经过正确的推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判断假设不正确，从而肯定

10、所证命题正确.第2课时充要条件基础过关1.充分条件:如果Hq则p叫做q的条件，q叫做p的条件2.必要条件:如果p则p叫做q的_条件，q叫做p的条件3.充要条件:如果p=q且yp则p叫做q的_条件.典型例题例1.在下列各题中，判断 A是B的什么条件，并说明理由.A : p22,pWR,B:方程 x2+px+p+3=0 有实根；A : ot + P=2kn,(k Z) , B: sin(a+P)=sin +sin P ;1A: 2x -31 ; B: -!一 0 ;x2 x -6A:圆 x2 十y2 k2 与直线 ax +by+c =0 相切，B: c2 =(a2+b2)r2.分析：要判断A是B的

11、什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可.解：(1)当|p之2,取pW,则方程x2+4x+7H无实根；若方程 x2 + px+p+3=0有实根，则由小)。推出p2 p+3)之0npM工或p26，由此可推出 22 .所以A是B的必要非充分条件.(2)若 CC + B =2kH 贝U sin a +sin 0 口in 口 +sin( 2kn ot) =sin 支sin g =0,又 sin( ot + P) =sin 2kji =0所以 sin(a +P) =sina +sin B成立若 sin( 0(+B) =sin ot+sin 0成立取 o(=0,P=n,知 Ct +P=2kn

12、不一定成立，故A是B的充分不必要条件.(3)由2x-3 1= x父1或x 2 ,由0解得x 2 ,所以 A推不出B, 1 B可以推x2 x -6出A,故A是B的必要非充分条件.cO(4)直线ax y长=。与圆x2 +y2 =r2相切u圆(0 , 0)到直线的距离d =r ,即=r U c2a2 b2=(a2 4b2)r2 ,所以A是B的充要条件变式训练1：指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、 “充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在 ABC中，p： Z A=Z B, q： sinA=sinB ；(2)对于实数 x、y, p： x+y

13、w8,q:x 金2或丫金6;(3)非空集合 A B 中，p： xCAU B, q： x C B；(4)已知 x、yCR, p： (x-1 ) 2+ (y-2) 2=0, q： (x-1 ) (y-2 ) =0.解： (1)在 ABC中，/ A=/ B= sinA=sinB ,反之，若sinA=sinB ,因为A与B不可能互补 (因为三角形三个内角和为180 ),所以只有A=B.故p是q的充要条件.(2)易知： - p:x+y=8, q:x=2 且 y=6,显然 一q=p.但一q,即一q 是一1p 的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件.(3)显然x C AU

14、B不一定有x C B,但x C B 一定有x C AU B,所以p是q的必要不充分条件. 条件p:x=1且y=2,条件q:x=1或y=2,所以p= q但q p,故p是q的充分不必要条件.例2.已知p： 2vm 0, 0vn1; q：关于x的方程x2 + m肝n= 0有两个小于1的正根， 试分析p是q的什么条件.解：若方程x2+m杆n=0有两个小于1的正根，设为 xi、xz.则 0vxi1、0vx21, . x1 + x2=m, x1x2=n，0v2, 0vnv1 . 一 2v mx 0, 0 n 1.p是q的必要条件.又若一2 V m 0, 0 v n v 1,不妨设 m= - 1, n=工.

15、 2则方程为x2 x+ - = 0, - = (- 1)24X 1= 10.方程无实根p是q的非充分 TOC o 1-5 h z 22条件.综上所述，p是q的必要非充分条件.变式训练2：证明一元二次方程 ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.证明：充分性：若 ac0,且-0,x 1x2= 0,ac0.a综上所述，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0),若p是q的必要而不充分条件， 3求实数m的取值范围.解：由题意知：命题：若r p是r q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.|1 11 W2= 2W 臼1 W2= 1W

16、 匚 w 3= 2wxw 10333x2 2x+1 mi 0n x (1 m) x (1+n) w。* p是q的充分不必要条件，不等式1 - x=L W2的解集是x2-2x + 1-ni0)解集的子集. 3又 m0,，不等式*的解集为1 m x 1 + m1 _m 3. c 一 一/ 一，-m 9,4m 之10 T 】m 9G数m的取值立围是9, +8)变式训练 3:已知集合 M =xx+1 +x_38和集合 P=xx2+(a_8)x_8a0,求 a 的一个取值范围，使它成为 M CP =x5 x逆的一个必要不充分条件.解：M=xx5 , P =x(x+a)(x-8)0由 M Pip =x5

17、x 4时，_5 a M3,此时有 a 3,但a _3 二:M P =x5 ；x _8所以aM3是M nP=x5 2=1a19、U(a -1) 172(a +4a -5) 0反之若a 19 ,由以上推导，函数的图象在 x轴上方，综上，充要条件是区a2 , S= x x2 + (a+1)x+a 0,且xP 的充要条件是x三S ,求实数a的取值范围.分析：xWP的充要条件是x三S,即任取xWP=xWS，PJS,反过来，任取xWSnxWPj.S=P，S=P据此可求得a的值.解：,；xWP的充要条件是xS,，P=S，. P=x x -1 2 = (V1)小卢*)S= x x2 + (a + 1)x +

18、a0) = x (x +a)(x+1)0a - -3.归纳小结.处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论，然后才能进行推理和判断.不仅要 深刻理解充分、必要条件的概念，而且要熟知问题中所涉及到的知识点和有关概念.确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明.等价变换是判断充分、必要条件的重要手段之一，特别是对于否定的命题，常通过它的等 价命题，即逆否命题来考查条件与结论间的充分、必要关系.对于充要条件的证明题，既要证明充分性，又要证明必要性，从命题角度出发，证原命题 为真，逆命题也为真；求结论成立的充要条件可以从结论等价变形(换)而得到，也可以从结论推导必要条件，再说明具有

19、充分性.对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个.简易逻辑章节测试题、选择题设集合 M qxx2,Pmxx4,条件q:xa,且一p是q的充分而不必要条件, （）A.a 1 B.a -3D.a 2 , P=x|xb2” 是 “ ab” 的（）必要而不充分条件既不充分也不必要条件B=2, 4,则m=2 是AA B=4 ” 的 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件既不充分又不必要条件c2*.若数列an满足a士=p （p为正常数，nCN）,则称an为“等方比数列” an甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必

20、要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.命题p:若a、b w R,则|a|+|b|1 是|a+b|1的充分而不必要条件.命题q:函数y=3|x11-2 的定义域是（q, 1D3,十资）则A. p或q”为假B.“p且q”为真C. p真q假D. p假q真二、填空题.已知数列an,那么“对任意的 ne N*,点Pn(n,an)都在直线y/x+1上”是“ an为等差 数列”的 条件.设集合 A=5,log 2 (a+3) ,集合 B=a , b,若 An B=2,则 AU B= .已知条件p： |x+1|2,条件q:5x-6x ：则非p是非q的 条件.不等式

21、|x|a的一个充分条件为 0 x1,则a的取值范围为 .已知下列四个命题：a是正数；b是负数；a+b是负数；ab是非正数.选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命 题 三、解答题.设命题p： (4x-3) 2 1;命题q:x 2-(2a+1)x+a(a+1) w 0,若一ip是一iq的必要不充分条件， 求实数a的取值范围.求关于x的方程ax2-(a 2+a+1)x+a+1=0至少有一个正根的充要条件.设 p：实数 x 满足 x2-4ax+3a 20,其中 a0; q:实数 x 满足 x2-x-6 0,且 F是-q的必要不充分条件，求 a的取值范围. (1)是否存在实

22、数p,使“4x+p0 ”的充分条件？如果存在，求出 p的取值 范围；(2)是否存在实数 p,使“ 4x+p0 ”的必要条件？如果存在，求出 p的取值 范围.已知O0 ,设p:函数yKx在R上单调递减，q :不等式x+| x2c |1的解集为R,如果p和q有且仅有一个正确，求 c的取值范围.简易逻辑章节测试题答案. B.A.A.C5.B6.B. D.A9.B. D.充分而不必要条件.1 , 2, 5).充分不必要.a 1.若则(或若则或若则).解 设 A=x|(4x-3) 2 1),B=x|x 2-(2a+1)x+a(a+1)0),易知 A=x| 1 w x w 1,B=x|a x a+1).2

23、尸J由p是q的必要不充分条件，从而 p是q的充分不必要条件，即 AB,尸-2a - 1 _1故所求实数a的取值范围是0, 2.2.解方法一 若a=0,则方程变为-x+1=0,x=1满足条件，若aw0,则方程至少有一个正根 等价于a +1 二0a +1f .0aa或 JaH。u-1a0.a =(a2 七虫)2 4a(a +) 0 i综上：方程至少有一正根的充要条件是a-1.方法二 若a=0,则方程即为-x+1=0,- x=1满足条件；若 aw0, A =(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a 2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a 2+a-1)

24、 20, .方程一定有两个实根 .a2 +a +1 -1且aw 0,综上：方程有一正根的充要条件是a-1.解 设 A=x|p=x|x 2-4ax+3a 20,a0=x|3axa,a0=x|x 2-x-6 0=x|-2 x 3 U x|x2= x| x或x 之_2方法一 -1 -p是q的必要不充分条件 ，-q= -p,且-p a -q.则 | -q & &| -p而 & |q rB=& | 4 x _2 x| r =：rA=x|x w3a或x之a,a 。x| _4 x _2 K %|x 三3a或x _a, a ： 0；,则p 2或亍,综上可得2 a 0或a WH? 0, a -2,又 a0, ，

25、aw -4 或j- - & a2 或 x0,由 4x+p0,得 x- 2,故-_p W-1 时， 44“x-= x0 ” . ，p4 时，“4x+p0 ” 的充分条件（2）不存在实数p满足题设要求.解：函数y=ex在R上单调递减 u0p/不等式x用x/c|N的解集为Ru函数y =x +1 xc 1 ,在R上恒大于12x -2c, x 之2cj.x+|x 2c|=w 2 c, x 1的解集为R1= 2c1uc2，如果 p正确，且 q不正确则01,所以c的取值范围为-0,2 L1,）.五年局考荟萃2009年高考题一、选择题（2009浙江理）已知a,b是实数，则“ a 0且b0”是“ a+b0且ab

26、0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：C解析 对于“ a 0且b 0”可以推出“ a+b 0且ab0，反之也是成立的（2009 浙江文）“ x0” 是 “ x0” 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A【命题意图】本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查 了命题的概念和对于命题概念的理解程度.解析 对于“X0= “X=0 ；反之不一定成立，因此“ X 0”是“ X#0”的充分 而不必要条件.（2009安徽卷文）“” 是 “ 且的A.必要不充分条件B.充分不

27、必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析 易得a bMcd时必有a+cb+d.若a+cb+d时，则可能有 adHcb , izfc Ao（2009江西卷文）下列命题是真命题的为12.A .右一=一,则 x = y B,若 x=1，则 x = 1 x yC.若*=丫，则 jx = D .若 xy,则 x2 y2答案：A112斛析 由一=一得x = y,而由x =1得* = 1,由*=丫，jx,q y不一定有意义，而 x y22x y得不到x d .则“ a b ”是“ a c b d ”IA. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件答案B T

28、OC o 1-5 h z 解析 显然，充分性不成立.又，若a cb d和cd都成立，则同向不等式相加得ab,即由acb d =ab（2009辽宁卷文）下列 4个命题-11 VP1： x （0，二）,（） log 1/3 x1、x , P3 ： - X (0,二),()10g 1/2X21、, 1、xp4 : Vx (0, -),( -) 1.P 4正确 32答案D（2009天津卷理）命题“存在 X0WR, 2X040”的否定是A.不存在 X0 W R, 2 0 B. 存在 X0 W R, 2X0 0C.对任意的X W R, 2X 0【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题解析：由题否定即“不

29、存在x0 w R ,使2x0 0 故选择 D（2009年上海卷理） 2 E a W 2是实系数一元二次方程 x2 + ax +1 = 0有虚根”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 .答案A解析 = a2 -40时，一2V a2,因为“2 Ma M 2是一2V av 2”的必要不充分条件，故选Ao（2009重庆卷文）命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）“若一个数是负数，则它的平方不是正数”“若一个数的平方是正数，则它是负数”“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案B解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。2005-2008年高考题一、选择题（2008年湖北卷2）若非空集合 A,B,C满足AUB=C，且B不是A的子集，则（）“ x w C ”是“ x w A ”的充分条件但不是必要条件“ x w C ”是“ x w A”的必要条件但不是充分条件“xwC ”是“ xw A”的充要条件“ x w C ”既不是“ x A”的充分条件也不是“ x A”必要条件答案B(2008年湖南卷2) “卜1|2成立”是“ x(x3)0成立”的()A.充分不必要条件B