高等数学第12章：无穷级数课件

1、第一节 无穷级数的概念与性质一、无穷级数的概念二、无穷级数的性质第1页，共74页。定义1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un，此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1)称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为其中第n项un叫作级数的一般项或通项. 一、无穷级数的概念第2页，共74页。级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：第3页，共74页。第4页，共74页。 我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.由级数(1)的前n项和，容易写出：第5页，共74页。定义2 如果级数 部分和数列 有极限s，即则称无穷级数 收敛.s称为

2、此级数的和.且有若 无极限，则称无穷级数 发散.注意:称为级数的余项， 为 代替s所产生的误差 .第6页，共74页。第7页，共74页。 二、收敛级数的基本性质性质1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数k所得的级数 也收敛，且其和为ks.第8页，共74页。性质2 如果级数 、 分别收敛于即第9页，共74页。性质3 在级数前面加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性.性质4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变.第10页，共74页。注意：发散级数加括号后有可能收敛，即加括号后级数收敛，原级数未必收敛.推论：如果加括号以后所成的级数发散，则原级数也发散.第11

3、页，共74页。性质5 (收敛的必要条件)如果收敛，则它的一般项 趋于零，即级数第12页，共74页。结论：由此我们可得第13页，共74页。注意: 级数收敛的必要条件常用于级数发散 的判定.第14页，共74页。第二节 正项级数及其敛散性一、正项级数及其收敛的充要条件二、正项级数收敛的比较判别法三、正项级数收敛的比值判别法第15页，共74页。 一、正项级数及其审敛法定义 设级数的每一项都是非负数,则称此级数是 显然,正项级数的部分和sn数列是单调增加的，即正项级数.第16页，共74页。定理1 正项级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列sn有界.第17页，共74页。证明:这是一个正项级数，其部分和

4、为:故sn有界，所以原级数收敛.第18页，共74页。定理2(比较审敛法)设 和 都是正项级数，且若级数 收敛，则级数 收敛；反之，若级数 发散，则级数 也发散. 二、正项级数收敛的比较判别法第19页，共74页。则有：若 发散，则 也发散;且当 时，有 成立，则有：若 收敛，则 也收敛.推论设级数 和 是两个正项级数，且存在自然数N，使当 时，有（k0)成立，第20页，共74页。例2 判定p-级数的敛散性.常数 p0.第21页，共74页。第22页，共74页。由此可得结论，p级数当 时发散，p1时收敛.第23页，共74页。第24页，共74页。由比较判别法可知，所给级数也发散.而级数是发散的；第25

5、页，共74页。定理(达朗贝尔比值判别法) 设 为正项级数，如果(1)当 时，级数收敛；(3)当 时，级数可能收敛，可能发散.(2)当 ( )时，级数发散. 三、正项级数收敛的比值判别法第26页，共74页。第27页，共74页。第28页，共74页。例7 判别级数解:由比值判别法可知所给级数发散.第29页，共74页。此时 ，比值判别法失效，用其他方法判定;第30页，共74页。第三节绝对收敛与条件收敛一、交错级数及其敛散性二、绝对收敛与条件收敛第31页，共74页。 一、交错级数及其审敛法定义 正负项相间的级数，称为交错级数.第32页，共74页。定理1(莱布尼兹定理)则级数收敛，且其和 ，并且其余项 的

6、绝对值:(1)级数前项大于后项，即(2)级数的通项趋于零，即 如果交错级数第33页，共74页。证明:先证明前2n项的和s2n的极限存在，为此将s2n写成两种形式:由(1)式可知s2n是单调增加的；由(2)式可知s2n0和R20，则收敛半径R等于R1和R2中较小的一个.第55页，共74页。性质1 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2 如果幂级数 的和函数s(x)在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式第56页，共74页。即幂级数在其收敛区间内可以逐项积分，并且积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第57页，共74页。性质3 幂级数 的和函数s(x)在其收敛区间(R,+R)内

7、可导，且有逐项求导公式即幂级数在其收敛区间内可以逐项求导，并且求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.第58页，共74页。第59页，共74页。第60页，共74页。第61页，共74页。第五节 函数展开成幂级数一、泰勒级数二、函数展开成幂级数第62页，共74页。 一、泰勒级数定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则称幂级数为f(x)在x0的泰勒级数.当x0=0时，泰勒级数为:称之为f(x)的麦克劳林级数.第63页，共74页。定理1 (泰勒中值定理)如果函数f(x)在含点x0的区间(a,b)内，有一阶直到n 阶的连续导数，则当x取区间(a,b)内的任何值时，f(x)可以按(xx0)的方幂展开为：其中：第64页，共74页。公式(3)称为函数f(x)的泰勒公式，余项(4)称为拉格朗日余项.第65页，共74页。定理2 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内可展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x) 的泰勒公式余项Rn(x)当 时的极限为零，即：第66页，共74页。 二、函数展开成幂级数 将函数展开成x的幂级数(也称麦克劳林展开式)的基本法，其一般步骤为：第67页，共74页。第68页，共74页。第69页，共74页。第70页，共74页。间接展开法 利用一些已