高中数学数列错位相减法求和专题训练含答案

1、错位相减法求和专题训练2018.1.20 2,n为奇数口 一*. 八1.已知数列an满足an 2 4,中路，且n N ,ai 1色 2.2an,n为偶数求 an的通项公式；一.、一. . . * .一 一 、.一 . . .(2)设bn an an 1 , n N，求数列bn的刖2n项和S2n；(3)设 cna2n1 a2 n1 ，证明： GC2C3 Cn42.设正项数列 an的刖n项和为Sn ,且满足出 7 , an 1 6Sn 9n 1 , n N .(1)求数列 an的通项公式；(2)若正项等比数列bn满足b1a1,b3a2,且Cnanbn,数列Cn的前n项和为Tn.求Tn ； 2若对任

2、意n 2, n N ,均有Tn 5 m 6n 31n 35恒成立，求实数m的取值范围.*1.已知n N ,设Sn是单调递减的等比数列an的前n项和，a1一且2S2 a2,S4 a4,S3 a3成等差数列.(1)求数列 an的通项公式；(2)记数列 nan的前n项和为Tn ,求证：对于任意正整数 n , 1 Tn 2.2.递增的等比数列an的前n项和为Sn,且& 6 , S4 30.(1)求数列 an的通项公式；n 1右bnanlogan,数列bn的刖n项和为Tn,求Tnn 250成立的正整数n的2最小值.2nn_.已知数列an及fnxa1xa2xanx，且fn11?i,n 1,2,3,二(1)

3、求 a1，a2, a3 的值；(2)求数列 an的通项公式; TOC o 1-5 h z 11(3)求证：fn -1 .33.已知数列 an是以2为首项的等差数列，且 ai,a3,an成等比数列(I)求数列an的通项公式及前n项和Sn n N(n)若 bni一an232,求数列anbn 1的刖n项之和Tn n N7.在数列 an中,a14,前n项和Sn满足Snan 1 n .1.满足b1, bn 12n 12nbn (1)求数列an ,bn的通项公式;(1)求证：当n 2时，数列an 1为等比数列，并求通项公式 annna 1令bn TO? 1 ，求数列bn的前n项和为Tn.2n 1 13.已

4、知等差数列 an的前n项和Sn,且a2 2,S5 15,数列bnn是否存在最大值,50成立的正整数n的、2Sn 2 Tn一 .(2)记Tn为数列 bn的前n项和，f n n二，试问fn 2若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.，一、， 一一 一 2 一.已知数列 an的前n项和Sn n 2n .(1)求数列 an的通项公式an ；1(2)令bn n N ,求数列 an的刖n项和Tn .an 110.已知单调递增的等比数列an满足：a2 a4 20, a3 8(1)求数列 an的通项公式； 若bn an logman,数列bn的前n项和为Sn , Sn n 2n 1 2最小值.参考答案1 .

5、解析：（1）当n为奇数时,an 2an2 ,此时数列*. .a2k i (k N )成等差数列.d.N ）成等比数列 q 2当n当为偶数时，an 2 2an,此时数列 a2k （kn n为奇数an n22 n为偶数k kk(2)b2k i b2k a2k1a2k a2ka2k i 2k 1 22 2k 1 4k 2$n b b2b3 b4b2n 1 b2n_2_3_nS2n 4 1 2 2 22 3 23 n 2n2s2n 412222 3n 1 2nn 2n 1S2n42222nn 2n1S% = -41- n - 2川=5 1)2.用 4- 8“1-2 Cn 3n 1 2n12n 1Cn

6、2n2n 1 n为奇2n 1 n为偶Cn12n 1 2n 1n为奇Cn12 1 2n 1n为偶I+ + +，一十211 6Sn9n1-122an 6Sn 1 96an2an 122an 1 an 3 且各项为正，an 1 an 3 n 221 ,所以 a2 a13又a3 7 ,所以a2 4 ,再由a2 6S1 9 1得a1an是首项为1,公差为3的等差数列，. an 3n 2(2) bi1,b34 bnon 12 ,Cn an bn 3n 22n 1Tn204 213n2n 1 , 2Tn 1 214 223n 2 2nTn21222n3n 23n2n 53n6n231n35n 2,nN 恒成

7、立6n2 31n3n 535 2n3n2n 73n 52n紫，即2n2n设kn2n 72n kn 1kn2n 52n 12n9 2n2n 1kn4时，kn1 kn5时,kn 1 knmax k 5，一 m 23232点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解,数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用,试题有一定的综合性，属于中档试题,解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键3.解:(1)设数列的公比S2a2S3a3,得S4S2S4S32a4a2%,即4a42 1- qan是单调递减数列，一 an知nan所以Tn2Tn 1222

8、222322-得:Tn342312n2n 424n 2n1Tn一n122n2n由Tn11222 2nTnn 1 an 122nn2n 1n 12n 1Tn, TOC o 1-5 h z 一1故 Tn Ti - 2n 2一.一1又Tn2 一n2,因此对于任意正整数n ,-Tn2 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 22点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题4.解析：（1）设等

9、比数列an的公比为qS22a1 1 q6,由已知，S430 2$ .则 qS44a1 1 q30,两式相除得q;数列an为递增数列,2,则a12n.bn2n 1吗2n2Tn212 22232n设Hn212 223 232Hn2223 3242n 1得:Hn 2122 232n2n 12nn 2n 12n 1 2Tn,n 1Tnn 22n 12n2 n 2n2n 1 52,n的最小值是5.点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用, 及指数不等式的求解.5.解析：（1）由已知f1 1a11 ,所以a1 1.f2 1a1a2 2,所以 a2 3.a a2a33

10、,所以 a35.fnaia2anfn 11a1两式相减，得n 11?an 1所以an 1 na2anfn1又日1也满足上式,所以数列an(3)fnX所以fnfn1?nan 12n1,的通项公式为3x25x32n2n1,2,3，2n-得3fn所以fn2n1,2,3，2n又fnfn所以fn2n是递增数列,fnf1fn11.3【点睛】本题考查数列的前注意错位相减法的合理运用.3项及通项公式的求法,6.解析:(I)设数列an的公差为d ,由条件可得解得d3或d 0 (舍去)，则数列an的通项公式为an0,故 fn11.3考查不等式的证明,解题时要认真审题,a1ali,即 222d 2 2 10dn 2

11、 3n 1(n)1一 a得bn23则Tnaba2b3anbn 12 215 228233n12n，2Tn2 2223 8243n将-得Tn213 223 23n2 3n2n12n3n 12n 18 3n 4 2n贝 UTn 83n 4 2n【易错点晴】 求数列的和,本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及属于中档题.错位相减法”求数列的和是重点也是难点，禾I用错位相减法” 错位相减法”求数列的和应注意以下几点：掌握运用错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与 个等比数列的积）；相减时注意最后一项的符号；求和时注意项数别出错；最后结果定不能忘记等式两边同时除以1q.7.解析：（

12、1） n1,a14当n 2时，ansnsn 1,得 an 12 anan 1 1ann 1an 1 2 ，得an2n4, n 11,n(2)当n 1时,b12时,bn1 时，T12 时，Tn-M 39 183n 23 123n 2Tn13122n 3143经检验n 1时，T1也适合上式.13 2n 3 11243n点睛：数列问题是高考中的重要问题,利用解方程得思想处理通项公式问题,主要考查等差等比数列的通项公式和前n项和，主要利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和.在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误.8 .解析：（1）设等差数列 an的首项为31,公差为d

13、,wa1d则15a1 10d215由题意得bn 1an n.bnn2n由（1）得Tn两式相减得:1T=122222123时，f n11,f 22,f323122Sn 21 22n 1，数列n2n12n员是等比数列，且首项和公比都是niTn上2n 1，122223Tn324n2Tn22nn2n2n 1n 0 ；当 n 3时，f n f n存在最大值为点睛：数列问题是高考中的重要问题, 利用解方程得思想处理通项公式问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n项和，主要利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和.在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误.9.解析：（1）当n

14、1时,a1 =S1=3 ；当 n 2时，an=Sn Sn 12n 2n2n 12 n 1 2n 1 , a二3也符合,，数列 an的通项公式为an=2n 1.(2)，2，/4n 4n 4 n n 1111111-1 -.-422 3 n n 1点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.10 .解析：（1）设等比例列的最大值为16.的首项为a1,公比为q TOC o 1-5 h z 3a1 32依题意，有,解之得 1 2或1&q2 8q 2 q 2a12又数列an单调递增，1, an 2n.q 21(2)依题忌，bn 2n.log 2n n.2n,.2Sn 1 2 2 22 3 23 n.2n,2Sn 1 22 2 23 3 24 . n.2n 1 由一得： Sn 2 22 23 24 . 2n n.2n 1Sn n 2n 1 50 ,即2n 24 16 26 ；当 n 5 时，2 1 2nn.2n 1 2n 1 n.2n 1 21 2 2n 1 2 50, 2n 26 , 当 n 4 时，2n 25 3