高中数学奥赛辅导专题-立体几何传统方法与向量方法

1、学习必备欢迎下载高中数学奥赛辅导专题一一立体几何（传统方法与向量方法）立体几何（传统方法）知识精要.直线与平面问题，主要是对空间中的直线与平面的位置关系、距离、角以及它们的综合问题进行研究.这些问题往往与代数、三角、组合等知识综合，因而在解题过程中，要 力求做到概念清晰，方法得当，转化适时，突破得法.四面体是一种最简单的多面体，它的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得 来.较复杂的多面体常转化为四面体问题加以解决.解决这一类问题的所常用的数学思想方法有：变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等方法.解决旋转体的有关问题要注意截面的知识的应用.在解决球相切问题时，注意球心连线研究多球相切问

2、题时，连结球心，从而转6个面的中心及正方体的中心共计27个点通过切点，球心距等于两球半径之和.因此， 化为多面体问题.例题1从正方体的棱和各个面上的对角线中选 出k条，使得其中任意两条线段所在直线 都是异面直线，求 k的最大值.解答 考察如图所示的正方体上的四条 线段 AC, BCi , D1B1, Aid,它们所 在直线两两都是异面直线.又若有5条或5条以上两两异面的直线，则它们的 端点相异且个数不少于 10,与正方体只 有8个顶点矛盾.故 K的最大值是4.练习1 :在正方体的8个顶点、12条棱的中点 中，问共线的三点组的个数是多少8 7解答：两端点都为顶点的共线二点组共有 =28个；两端点

3、都为面的中心共线三点组共26 1 ，一，一有 =3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有 2型的共线三点组，所以总共有28 + 3+18 = 49个.例题2：已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于，求sins .解答：如右图所示，平面 BCD与正方体的12条棱的夹角都等于口，过A作AH垂直平面BCD.连DH ,则a =NADH .设正方 体的边长为b,则0*，6DH =一 、.2bsin 600 =b3AH 4一国:乌Y I3 J 3学习必备欢迎下载所以 sin : =sin ZADHAHAD练习2:如图所示，正四面体 ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得AE CFEB FD=

4、Z(0(九 收),己 f (X),其中 叼表示EF与AC所成的角，表示EF与BD所成的角，证明f （九）=0,即f（，J为常数.解答：因ABCD是正四面体，故 AC垂直BD,作EG平行AC 交 BC 于 G,连 GF,则 口？ =NGEF ,CG AE CFGB FD FD,所以GF平行BD .所以GF垂直EG,且P?u=/EFG .所以f （力一）为常数.例题3:三棱锥P-ABC中，若棱PA=x,其余棱长均为i,探讨x是否有最值.解答：当P-ABC为三棱锥时，x的最小极限是 P、A重合，取值为0,若APBC绕BC顺时针旋转，PA变大，最大极限是 P、A、B、C共面时，PA为菱形ABPC的对角

5、线，长度为 遥.所以无最值.练习3:若正三棱锥底面棱长棱长均为1,探讨其侧棱否有最值.解答：若P在底面的射影为 O,易知PO越小，侧棱越小.故 P、O重合时，侧棱取最小极值 ,PO无穷大时，侧棱也无穷大.所以无最值. 3例题4:在单位正方体 ABCD-AiBiCiDi的面对角线 AiB上存在一点P使得AP+DiP最短, 求AP+DiP的最小值.解答：将等腰直角三角形 AAiB沿AiB折起至AA1B,使三角形AA1B与四边形A1BCD1共面，联结 AD,则AD伸长即为AP+DiP的最小值，所以，ADi = i2 i2 -2 i i cosi35）=、2.2练习4:已知单位正方体 ABCD-AiB

6、iCiDi的对棱BB、Di上有两个动点 E、F, BE=DiF=i（0 九M 3 ）.设EF与AB所成的角为口，与BC所成的角为B ,求a + B的最小 值.i解答：当儿=一时，口 +P =一.不难证明ct + P = fp）是单调减函数.因此 豆+ P的最22小值为.2学习必备欢迎下载例题5:在正n棱锥中，求相邻两侧面所成的二面角的取值范围.解答：当顶点落在底面的时候，相邻两侧面所成的二面角为n .当顶点在无穷远处的时候,正n棱锥变为正n棱柱，这时相邻两侧面所成的二面角为（n - 2）二练习5:已知直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为3,角BAD=600,长为2的线段MN的

7、一个端点 M在DDi上运动，另一端点 N在底面ABCD上运动，求 MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面所围成的几何体的体积.解答：联结DP、DN ,在三角形 MDN为直角三角形，且DP=MN/2=1,又由已知角 BAD=600, 角ADC=120,所以点P的轨迹以点D为球心，半径为1的1/6球面，所以其与顶点14,32D以及二个面围成的几何体的体积为一乂冗父1 =n.6 39立体几何（向量方法）知识精要.证明两条直线平行，只需证明这两条直线上的向量共线 （即成倍数关系）.证明两条 直线平行，只需证明这两条直线上的向量的数量积等于零.通过法向量，把线面、面面的角转化为线线的角.从而可以

8、利用公式cos日=邯 /| | 口 |求解.3.建立空间直角坐标系.例题 1 如图，在三锥 P ABC43, AEJ BC AB= BC= 1 PA 2OPL底面ABC（I ）求证OD /平面PAB ;（n ）求直线OD与平面PBC所成角的大小.解答；OP_L平面ABC, OA=OC, AB = BC,OA_OB, OA_OP, OB _OP.以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系点Q D分别是AC PC的中点,O xyz（如图）,设AB=a,则A a,0,0 ,B 0,-a,0 l,C a,0,0 I2 J12112 J设 OP =h,则 P 0,0, h .（I D为PC的中点

9、，-AL61 我 x- OD=Ia,0,-h又PA=I a,0, f ,I 42 ） I2）z PI D/、X O.学习必备欢迎下载.ODPA. OD/ PA. - OD/平面PAB.27-Jl144(n )： PA=2a, h =Ca, , OD= a,0,；a ,可求得平面 pbc的法向量 n=(_1,1,1t口 二 costOD,n)=D_n =匹.(丫7 J. |OD|n|30设OD与平面PBC所成的角为e,则sine=cosOD,n n0OD与平面PBC所成的角为arcsin-210 .30练习1如图，已知长方体 ABCD ABC1D1, AB = 2, AA = 1,直线BD与平面

10、AABB所成的角为30, AE垂直BD于E, F为A1B1的中点.(I)求异面直线 AE与BF所成的角；(n)求平面BDF与平面AAB所成二面角(锐角)的大小；(出)求点A到平面BDF的距离.解答 在长方体ABCD A1B1C1D1中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直 角坐标系如图.由已知 AB=2, AA =1,可得 A(0,0,0), B(2,0,0), F (1,0,1).又 AD _L 平面 AAB1B ,从面BD与平面AA1B1B所成的角即为/DBAzA1_2,3又 AB =2,AE _ BD, AE =1,AD =3从而易得 E(, ,0),

11、 D(0, 2 3 ,0). 2 23, L 1 .3 T A-B- cFDAB1yA IE4AD1-300122即异面直线AE、BF所成的角为arccos4(n)易知平面 AA1B的一个法向量 m =(0,1,0).设n = (x, y,z)是平面BDF的一个法学习必备欢迎下载日 2,3 区 n BF向重 BD =(2,0) * 由一3n _ BDln|_BF =0=n乱0X-x x = 0=o 2 3 c2x y = 03 7一 I x = z -4 4一 _ 取 n =(3,1) cos ：二 m, n = j-；3x = y即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)大小为arccos

12、-155(出)点A到平面BDF的距离，即 AB在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值.所以距离d = | AB cos :二=| AB|金|_ 22 5n 一5 V , 一 、, 25所以点A到平面BDF的距离为2 .5例题2如图1,已知ABCD是上.下底边长分别为 2和6,高为 屉 的等腰梯形，将它沿对称轴OOi折成直二面角，如图 2.(I )证明：AC BOi；(n)求二面角 O AC Oi的大小.O产一 解答(I)证明 由题设知OAOOi, OB OOi.所以/ AOB是所折成的直二面角的平 面角，即OAXOB.故可以O为原点，OA、OB、OOi所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直

13、角坐标系，如图3,则相关各点的坐标是A(3,0,0),B(0,3,0),C(0, i, 5 O1(0, 0, V3).从而 AC =(-3,i, .3),BOi =(0,-3, .3), AC BOi =-33.3=0.所以 AC BOi.(II)解：因为 BO10c = 3 + J3 J3 = 0，所以 BOiXOC,由(I) ACBOi,所以BO平面OAC, BO1是平面OAC的一个法向量.设n = (x,y,z)是0平面OiAC的一学习必备欢迎下载个法向量，由 jn AC=0 _ /-3x + y+3z=0,取z73 得n=(1,0,73).设二面n o1c =0 y =0.角O ACO

14、i的大小为8 ,由n、 BO1的方向可知日=，所以ICOS6 =cos= n BO1 -3 即二面角 OACOi 的大小是 arccos. |n|BOi|44练习2 如图，在直三棱柱 ABCABG中，AC =3,BC =4,AB = 5,AA1=4，点D为AB的中点.(I )求证 AC _L BC1 ;(n)求证 ACil_ 平面 CDBi；(出)求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值.解答.直三棱锥 ABC -AB1cl底面三边长AC =3,BC =4,AB =5 , AC, BC,CCi两两垂直,如图建立坐标系，则C(0,0,0),A(3,0,0),C(0,0,4),B(0,4,0),B(

15、0,4,4),D(3,2,0)2I ) ACi = ( -3,0,0), BCi = (0,4,4) , . AC BCn)设CBi与CiB的交点为E,则E(0,2,2),L 3 F DE =( - 5,0,2), AC =(-3,0,4)一1 一 r.DE =-AC1r DE / ACiJ. ACi 平面 CDBD DE u 平面 CDBi,AC1辽平面 CDB1,叫：* AC =(-3,0,4), CB =(0,4,4),77* KacLCB2,2cos 二 AC, CB =1 二|AC|CBJ5异面直线ACi与BQ所成角的余弦值为4 66例题3在AABC中，已知 AB =,cosB=,A

16、C边上的中线BD=、，5,求SINA.36解答 以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标指法，且不妨设点A位于第一象学习必备欢迎下载30由 sin B =2，则 BA =64,64 4.5-cosB , sinB) = ( , -)，设 BC = (x, 0), 333则 BD =(4 3x6，由条件得函修()2十()2=斯从而x=2,880cosA 二BA CA|BA| |CA|9916 80 4 80,99 . 993.1414，sinA = ,1.cos2A=14练习3在平面上给定 SBC对于平面上的一点 P,建立如下的变换 f:AP的中点为Q,一BQ的中点为R, CR的中点为P, f

17、(P)=P，求证f只有一个不动点(指 P与P重合的点).解答：依提意，r 1 V FAP =- (AC AR)一 1 t lA P A C24IP的不动点P只有一个.r l 1 r l有 AQ = 1AP ,且 AR =1(AB + AQ)=Ab + 2224177J1F 11,r 人 -=一 AC +十一 AB十一 AP , 要使P与P重合，应248a-1B ,得AP P J (4 AC + 2 AB),对于给定的&ABC满足条件例题4 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，PDL底面ABCD , E是AB上1一点，PEXEC.已知 PD =、2,CD =2, AE =, 2

18、求(I )异面直线PD与EC的距离；(n )二面角 E- PC- D的大小.解答(I)以D为原点，DA、DC、DP分别 为x、v、z轴建立空间直角坐标系.由已知可得D (0, 0, 0), P (0, 0,五),C (0, 2, 0)设 A(x,0,0)(x 0),则B(x,2,0),学习必备欢迎下载 TOC o 1-5 h z 11-3E(x,-,0),PE =(x, ,.2),CE =(x,- -,0).222由 PE _LCE得PE CE =0,即 x2 - =0,故x =.42由 DE CE =(衣,-,0).(il 3,0)= 0得de j_ce , 2 222又PD，DE,故DE是

19、异面直线PD与CE的公垂线，易得|DE|=1,故异面直线 PD、 CE的距离为1 .(n)作 DGLPC,可设 G (0, Y, Z).由 DG PC = 0得(0, y, z) (0,2,J2) = 0，即z = X5y,故可取 DG =(0,1,%;5)，作 EFPC 于 F,设 F (0, M, N),则1 m - - ,n).2 TOC o 1-5 h z 由 EF，正=0导(点,m -1,n) .(0,2,五)=0,即2m 1&n = 0, 22又由 F 在 PC 上得 n =m + 亚，故m = 1, n =, EF = (-, ).222 2 2因EF _l PC, DG _l PC,故平面e-pc-d的平面角e的大小为向量EF与DG的夹角.故COS8=G = E，八即二面角EPCD的大小为上| DG | EF |244练习4如图，在三棱柱ABCA1B1C1 中，ABL侧面 BB1C1C, E 为棱 CC1 上异于 C、C1的一点，EAXEB1