高中数学-空间直角坐标系与空间向量典型例题

1、高中数学-空间直角坐标系与空间向量、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则: 遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。作法: 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系.类型举例如下:（一）用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 已知直四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，AAi = 2 ,底面ABCD是直角梯形，/A为直角，AB / CD , AB = 4 , AD = 2 , DC = i ,求异面直线 BC i与DC所成角的余弦 值.解析：如图i,以D为坐标原点，分别以 DA、DC、DDi所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则Ci(O, i,2)B(2,4,0

2、),山wuur 一 BCi ( 2, 3,2), CD (0, i,0).设BCi与CDu所成的角为3 .万i7uuuu uuir则cosBC1gCDUUU0| |UU5BCi CD（二）利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱 ABCAiBiCi中，AB，侧面BBiCiC, E为棱CCi上异于C、Ci 的一点，EA EBi .已知 AB V2 , BBi = 2, BC = i , / BCCi=一.求二3面角A-EBi-Ai的平面角的正切值.解析：如图2,以B为原点，分别以 BBi、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面 ABi的直线为x轴建立空间直角坐标系.由于 BC

3、= i, BBi=2, AB= V2, / BCCi=331-在三棱柱、A(0, 0, J2)、Bi(0 , 2 , 0)、c , ,0、22g v，3，。.设E3，a,0且2uuu uur由 EALEBi,得 EAgER 0,a(a 2)a，J2g ，2a ,02a 3 0,4口 r1 一即a一或a23 1-,一,02 2由已知有uuuEAuur uuurEB4Alunruuur uurEB1 ,故二面角A-EBi-Ai的平面角 的大小为向量 RA与EA的夹角.uuur 因B1AurnBAuuuEAuuu故cosuuu uuuir.EAgBA . 2uur 1 uuur EA| B1AI ：

4、；3tan,22（三）利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3,在四棱锥 VABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面 VAD是正三角形，平面 VAD，底面ABCD .（1）证明AB，平面VAD ;图3（2）求面VAD与面VDB所成的二面角的余弦值.解析:1 ）取AD的中点O为原点，建立如图 3所示的空间直角坐标系.设 AD = 2,则 A (1 , 0 , 0 )、D( 1,0,0)、 B(1,2,0)uuu. AB =( 0 , 2,0),uurVA =(1uuu uir 由 ABg/A(0,2,0)g(1,0,向)0 ,得AB VA.又AB LAD,从而 AB与平面 VAD内两条相交直线

5、 VA、AD都垂直,AB，平面 VAD ；(2)设E为DV的中点，则E_32(1,0,73) . TOC o 1-5 h z 业33.33 吨EA,0,，EB 2 ，DV2222 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document uuu uuir33 EBgDV-,2, 一 g1,0, . 3) 0 ,22EB DV .又EALDV,因此/AEB是所求二面角的平面角.7uuu uuu uuu uuu EAgEB . cost EA,EB uuU|UurEA EB故所求二面角的余弦值为.21(四)利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 已知正四棱锥 V

6、ABCD中，E为VC中点，正四棱锥底面边长为 2a,高为h.(1)求/ DEB的余弦值；(2)若BEXVC ,求/ DEB的余弦值.解析：(1)如图4,以V在平面AC的射影O为坐标原点建立空间直角坐标系，其D (-a, -a, 0)、 V中 Ox II BC , Oy/ AB,则由 AB = 2a,OV = h,有 B(a, a, 0)、C(-a, a, 0)、(0, 0, h)a a h一，一，一2 2 2uuuBEa h 22uuurDEa 3 h一a,一2 2 2uuu uuur cos BE,DEuuu uuuBE uuurBE226a2 h22210a h即 cos/ DEB6a2

7、h210a2 h2(2)因为E是VC的中点，又 BE VC,uuu uur3ah所以 BEC 0,即-si, -,- g a, a, h) 0, TOC o 1-5 h z 22 23a2 a1 - 0, h 缶.2221 . 1一，即 cos/ DEB 一 .33uw mr6a2 h2这时 cos BE,DE2_210a h引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一.下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径.(五)利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于

8、一点的三条直线，但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自身对称性可建立空间直角坐标系.例5已知两个正四棱锥 P-ABCD与Q ABCD的高都为2, AB = 4 .1),易得(1 )证明：PQL平面 ABCD ；(2 )求异面直线 AQ与PB所成的角；(3)求点P到面QAD的距离.简解：(1 )略；(2)由题设知， ABCD是正方形，且 ACXBD故可分别以直线 CA, DB, QP为x, y, z轴建立空间直角坐标系(如图uuurAQ一 uuu(2.2,0, 2),PB(0,2 . 2, 2), cosuuur uuuAQ,PBuuur uuuAQgPBuuur uuuAQ PB-

9、1所求异面直线所成的角是arccos-.3(3)由(2)知，点 D(0,一uuir2.2,0) AD(2/2；一 uuir2.20) PQ(0,0, 4)设 n= (x, y, z)是平面 QAD 的一个uuur_ngAQ 0,一 2x z 0、法向量，则uuur得取x = 1,得n = (1, 1, 42) .点P到平面QAD的距离ngAD 0,x y 0,uurPQgn厂d 2V2. n3）问也点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出.第（ 可用“等体积法”求距离.二、向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算a,b是两个非零向量,它们的夹角

10、为 ，则数|a| | b | cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b,其几何意义是 a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是:若 a (Xi,yi,Zi),b(X2, y2, Z2),贝IX1X2，丫2z1Z2；22222yZ1 ,|b| VX2y2Z2 ；X1X2y%ziz2a,bX1X2y1y2Z1Z2:122222X1y1Z1；X2y22Z2（二）例题讲解 题型：求角度相关1.异面直线m, n所成的角分别在直线m, n上取定向量a, b,则异面直线m, n所成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所示），则cos|a b |a| |b|2.直线L与平面所成的角在L上

11、取定AB ,求平面 的法向量n （如图2所示），再求cos一为所求的角.23.二面角方法一：构造二面角l的两个半平面向，如图3所示），则的法向量n1、n2图3甲 若二面角 l是“钝角型”的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量 n1、n2的夹角的补角，即 cosni n)2若二面角l是“锐角型”的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量n1、n2 的夹角，即cosn1 n2|ni | |n2 |方法二：在二面角的棱 l上确定两个点 A、B,过A、B分别在平面内求出与l垂直的向量n1、n2 （如图4所示），则二面角l的大小等于向量n1、n2的夹角，即 cosn1 n2|ni | |n2 |题型：求距离

12、相关1.异面直线m、n的距离分别在直线 m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的向量n ,分别在m、n上各取一个定点 A、B，则异面直线,|AB n|射影长，即d|n|m、n的距离d等于AB在n上的证明：设CD为公垂线段，取 CA a, DB bCD CA AB BDCD n (CA AB BD) n |CD n| | AB n|d | CD | AB n |n |设直线m,n所成的角为 ，显然cos|a b|a| |b|2.平面外一点p到平面 的距离求平面 的法向量n,在面内任取一定点 A,点p到平面 的距离d等于AP在n上的射影长，即| AP n |I n|三、法向量 例题解析题型：

13、求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角设平面a的法向量为(x, y, 1),则直线AB和平面a所成的角。的正弦值为sin 0= cos( - 0)uur r=|cos| =uuir rAB ?n-tutrAB ?2、运用法向量求二面角ir rn ir uu ir uu设二面角的两个面的法向量为n1,n2 ,则 n1,n2 或冗- n1, n2 是所求角。这时要借助图形来判断所求角为ur uuir uu锐角还是钝角，来决定 必，叱 是所求，还是n- n1,n2 是所求角。题型：求空间距离1、求两条异面直线间的距离r设异面直线a、b的公共法向量为n (x, y, z),在a、b上任取一点 A、B

14、,则异面直线a、b的距离：d =ABcos / BAAuuu r勇？n|n|略证：如图，EF为a、b的公垂线段,a为过F与a平行的直线,在a、b上任取一点 A、B ,过A作AA /EF ,交a于A ,uuuir r?则 AA / n ,uuu r所以/ baa = （或其补角）:异面直线a、b的距离d =AB- cos / BAAuuu r= |ABr?n|n|rr ruur uur r其中，n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b (或图中的 AE,BF ),及n的定义得rrr r TOC o 1-5 h z nan?a0rrr rnbn?b0r解方程组可得n。2、求点到面的距离r求A点到平面a的距离，设平面a的法向量法为n (x, y,1),在a内任取一点 B ,则A点到平面a的距离：uuu rd=J,|n|rrn的坐标由n与平面a内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组(类似于前面所述，若方程组无解，则r法向量与xoy平面平行，此时可改设 n (1,y,0),下同)。3、求直线到与直线平行的平面的距离r求直线a到平面a的距离，设平面a的法向量法为n (x, y,1),在直线a上任取一