解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法

1、实验报告一、实验名称解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU分解法二、实验目的及要求通过数值实验，用熟悉的算法语言编写程序，从中体会解线性方程组选主元素的必要性和Lu分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。三、实验容解以下两个线性方程组3.016.031.99X1111.274.16-1.23X210.987-4.819.34X3110701X1832.09999962X25.90000125151X352102X41四、算法描述1、列主元高斯消去法：记aj1)aji,j1,2,nb(1)bii1,2,n1消元过程对于R=1,2,，n-1执行：们选行号ik,使a(kk

2、k)maxxaikk)2交换a0)与a：；)j=k,k+1,n联)与bkk)所含的数值。3对于i=k+1,k+2,n计算a(kk)/akk)ajk1)(k)(k)ajmakjj=k+1,k+2,n.b(k1).(k). (k)bmikbk2回代过程 TOC o 1-5 h z 1(n)/(n)xnbn/annn(k)(k)、/(k) HYPERLINK l bookmark8 o Current Document xk(bkakjxj)/akk,kn1,n2,1.jk1在此算法中的a(k?k=1,2,n-1称为第k个列主元素，它的数值总要被交换到第k个主对角线元素的位置上。2、LU分解法通过M

3、ATLAB自有的函数把系数矩阵A分解成A=LU,其中，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。这时方程组Ax=b就可化为两个容易求解的三角形方程组Ly=b,Ux=y.先由Ly=b解出向量y,再由Ux=y解出向量x,这就是原方程组Ax=b的解向量。五、程序流程图(1)列主元高斯消去法程序流程图如下:A,b选主元列主元计算-.对A进展上三角变换回代求x/输出x完毕(2)LU分解法程序流程图如下:开场读入矩阵求出值y(i),y(2)求末值x(n),x(n-1)输出xF完毕J这里我使用了四种框，一种是起止框,一种是输入输出框/断框,还有一种是处理框。3、列主元素高斯消去法的M文件如下：functiona=li

4、ezhuGS(A,b)r=length(A1,i)fori=1:rforj=1:rifA(i,i)A(j,i)fork=i:rc=A(i:k);A(i,k)=A(j,k);A(j,k)=c；endd=b(i)；b(i)=b(j)；b(j)=d；endendforl=(i+1):rp=A(l,l)/A(i,i);form=i:rA(l,m)=A(l,m)-p*A(i,m);endb(l)=b(l)-p*b(i);endendAZ=det(A)forn=r:-1:1ifn=rx(n)=b(n)/A(n,n);elseforq=1:(r-n)b(n)=b(n)-x(x+q)*A(n,n+q);end

5、x(n)=b(n)/A(n,n);endendx4、LU分解法的M文件如下：Functiona=Lufenjiefa(A,b)L,U=lu(A)Y=lbX=uyZ=det(l)*det(u)5、实验步骤如下：3.016.031.991A=1.274.16-1.23b=1;分别在命令窗口中运行LiezhuGs(A,b)和0.987-4.819.34Lufenjiefa(A,b);记录相关数据1032A=52.099999;b=5.900001;分别在命令窗口中运345行LiezhuGs(A,b)和Lufenjiefa(A,b);记录相关数据3.006.031.99A=1.270.990103A=

6、5分别对上述4.164.811.239.34b=11;分别运行LiezhuGs(A,b),记录列主行交换1次序x,det(A)2.1A,b=5.9一,运行LiezhuGs(A,b),记录相关数据5b在命令窗口运行x=inv(A)*b,y=det(A),记录数据。实验工程LU分解法Matlab部函数法列主元(Wj斯消去法13.016.031.99A=0-6.7872798.68746500-0.001495b10.6720930.738072T100L=0.4219-0.238110.3279103.016.031.99U=0-6.78138.687500-0.0015A=-0.03053x10

7、1.5926,0.6319,0.49361.59263x100.63190.4936|A=det(A)=-0.030TA=0.030547-34444Tx1031.5926,0.6319,0.4936210-70102.551.5A=006.00023.2999990005.079999Tb818.3000015.079999A=7.620001102Tx01111000-0.3-0.000000410L=0.51000.20.96-0.799997110-70102.55-1.5U=0060.2999990005.079998901x11|A=-7.620001102TK、实验结果547.2

8、A=-7.62000110Tx011133.06.031.99A=0-6.7998.683300-0.019952Tb10.676.7350351.195273x1020.4714260.368403|A|=-0.407014A=0.4070141.1952732x100.4714260.368403410-70102.551.5A=0063.20005.08Tb818.35.08A=7.62Tx0111Tx0111A=-7.62七、实验结果分析解线性方程组有选主元的必要性。LU分解法具有简洁、正确的优点，调用L,U部函数使其解法简便，得出的系数距阵的行列式为准确值。实验(1)系数为3.01改为3.00,0.978改为0.990,得出结