泰勒定理及其在数值分析中的应用

1、摘要因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方 面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数 学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒 公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非 常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰 勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求 解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析 的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用，对

2、于我们解决一些复杂问题 起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结，就能很好地运用泰勒公 式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。关键词：泰勒公式；数值分析；应用ABSTRACTBecause of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary di

3、fferential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things,

4、 the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential e

5、quation application, from using Taylors formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex pro

6、blems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple.Key words: Taylor formula; numerical analysis; application TOC o 1-5

7、 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 1引言0 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 2泰勒公式概述12.1 一元函数的泰勒公式12.2二元函数的泰勒公式2 HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 3.泰勒公式在数值分析中的应用4 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 3.1利用泰勒公式近似计算函数值4 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 3.2利用泰勒公式近似

8、计算导数值7 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 3.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用8 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 3.4泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用12 HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 4结论15参考文献161引言因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等 各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优 化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所

9、 以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学 生今后的数学学习将起到非常好的作用。泰勒公式是由英国数学家泰勒发明的。当人们在解决解学数学问题时，经常 会遇到非常复杂的函数，而泰勒公式就具有化繁为简的功能，将那些复杂的函数 转化为较为简单的多项式，这样，复杂函数就迎刃而解了。这就给处理问题提供 了有效而又方便快速的解决方案。然而泰勒逼近存在严重的缺陷：它的条件很苛刻，要求f 3）足够光滑并提 供出它的各阶导数值，f（）此外。泰勒逼近的整体效果差。它仅能保证在展 开点的某个邻域内，即某个局部范围内有效。基于此本文章应用泰勒公式阐 述其在计算行列式，求代数精度，常微分方程

10、数值方法等几个方面的应用。进一 步完善泰勒公式在数值分析中的应用。2泰勒公式概述2.1 一元函数的泰勒公式设f (x)在含有X。的开区间内有直到n +1阶导数，f(%)/(%)，f()() 为已知，现寻求一个n次的代数多项式P (x),使得 nP (x )= f (X ),P (X )= f(x )，P (n )(X )= f (n) (X )能否用 P (X)近似代替 n 00 n 00n 0 n 0nf (x) ？设 P (x) = a + a (x 一 x )+ . + a (x x ，n010n0P (x )= a + 2a (x - x )+ + na n 0120nP (x )=

11、2a + 3-2a (x-x )+ + n则有:c-x )nT(n - 1)a (x - x )n-2P (x )= f (x)n a = f (x)P (x )= f，G )na = f(x )n 0010P ”(x )= f、(x )na = f (x0)n 0022!f (n )(x ),a =0nn!故所求的代数多项式为P(x)= f (x0)+ f (x0)(x-x0)+ *(x-；0)2 +f (n)(x )+(x - xn!0此多项式称为函数f (x)在x0处的n阶泰勒多项式。设R (x)= f (x)-P (x)， 称其为误差函数R (x) = R (x)= R (x)=nnn

12、=R(n)(x)= 0，从而有 nf (x)= P (x)+ R (x)= P (x)+ f(n+1)(?(x-x MG在x与x 之间)，n n n(n +1)!00上式称为函数f (x)关于x0的n阶泰勒公式，其中余项R (x) = f ：)(x - x+1，(&在工与工0之间)称为拉格朗日余项。当n = 0时，Rq (x)= fE)(x-xj，即f (x)- f (%0)= f ()(x - x0),(E在%与%0之间)，这正是拉格朗日公式。+ f S) %n + R (%)称为函 n! n当 0 = 0 时，f (x)= f (0)+ f(0)x + x2 +数f (x)的n阶麦克劳林公

13、式，其中R (x)= f (n+1) xn+i,(0 9 1)。n(n +1)!若设f G)在含有%0的某个开区间(1,b)内有直到n +1阶导数，且f(n+i)G)在(a, b )内有界，那么对Vx e(a, b )，有f (x)= f (x )+广(x )(x-x )+12(x-x )2 + + f (n)(x0)(x-x )n + R (x) 0002!0n!0 n其中R (x)= o (x-x。)称为佩亚诺型余项。常见的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式有以下几种：1.2.3.4.5.6.一 x 2ex = 1 + x + + 2!,xn()+ + O xn /n!.x3x5x 2 m-1(

14、)sin x = x 一一 + +(-1)m-1 v + ox2m3! 5!(2m -1)!,x 2 x 4x 2 m()COS x = 1 + + ( 1)n tv + O x2m+1)2! 4!(2m)!ln (1 + x ) = x -挡 + 三 +23-a (a -1)(1 + x)a = 1 + ax +x 2 +2!.+ (_)耸-1 挡 + o (xn )na (a -1) (a n +1)()+xn + O E )上=1 + x + x2 + + xn + O (xn ) 1 x2.2二元函数的泰勒公式讨论二元函数泰勒公式的方法是：作一个辅助函数，将二元函数化为一元函 数。应用

15、已知的一元函数的泰勒公式和复合函数的微分法得到二元函数的泰勒公 式。为了将二元函数f (x,y)在点0a + h,b + k)的函数值f (a + h,b + k)在点P(a,b)展成泰勒公式，作辅助函数中(t) = f (a + ht, b + kt),0 t 1,即中(t) = f (尤,y),x = a + ht, y = b + kt,0 t 1.显然，t = 0,中(0) = f (a,b);t = 1,中=f (a + h,b + k).于是，函数 f (a + h,b + k)在点P(a,b)展成的泰勒公式就是一元函数中(t)在点0的泰勒公式(即麦克劳林公 式)在t = 1的值。

16、若函数f(x,y)在点P(a,b)的邻域G存在n+1阶连续的偏导数，则VQ(a + h, b + k) e G，有f (a + h, b + k) = f (a, b) + 1 hj +1 +n!f (a, b) +1(n +1)7878)1h虱+打Jn+1(一 8 , 8 -I 8x8y Jf (a, b) +f (a +0h, b +0k),0 0 1,、i8、 f (a,b)表示偏导数 J 18y )88)h +1 8x8y)8 i+1 f在P(a, b)的值， 8xi 8yimm8 mf (a,b) = C hikef (a,b).i=oX8ym-l上式称为二元函数f (X,y)在P(

17、a,b)的泰勒公式。3.泰勒公式在数值分析中的应用3.1利用泰勒公式近似计算函数值泰勒公式是函数值估计的一个重要方法，通过泰勒公式可以将原函数的一阶导数、二阶 导数相联系起来。例1 设函数fG)在。，2 上存在二阶导数，并且当点。,2时，有|/(x)|l,证明：Vxeo,2, |/,(x)|2.证明对V xe fo,2 ,由泰勒公式，将在工=。展开为： TOC o 1-5 h z !1将fG）在x = 2展开为：f（2）= fG）+（2 x）广（x）+ ” ：/（& ）从而有2|广G）|Z 1 Z 2%2 （2-x）22 + +22=（x-l）2 + 3 1+3=4所以|/(x) 3f* 10

18、 (1 + x )-:f(4)(x)=-82(1 + x 片27813所以f (0)=1f(0)=3f (0 )=-2(0 )=10927从而由公式(4),f (0)f(4)Gx)f (x) = f (0) + f(0) x + 写 x 2 + x 3，3!x 480从而115=1 + x 一一 x2 + x3 +3981一81 (1+0 xx4(0 0 x)=1 +111151X - X + X3 9 9 81 81 729-8081x4!(一 1 11+9330 = 327 + 3 = 3=3 1 + x 一 一 x + x3 9 9 81 81 729)240 (1240 1+109+8

19、1x 4!、一11(一 11115. - X1X3 9 9 81 81 729) 3.10725误差24081 x 4!2401xR 1.88 x 10 -581 x 24 94其次，泰勒公式在数值积分中的应用中，如果被积函数在积分区间上能展开成幕级数， 则把这个幕级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。设F3)为f 3)的原函数，由牛顿一莱布尼兹公式知，对定义在区间。,b 上的定积分，有:b f (x)dx = F (a) 一 F (b)a但是，并不是区间a, b上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿一莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求

20、出或计算。如被积函数e-x2、业 等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于x这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。sin x .例4计算定积分dx的近似值解因为冗、X3 . X5 .sin x x + +3! 5!sin e x + 7 I 2 J7!(IT、e x+7 勺a x 67!所以sinsin x、 x 2x 41+ + x 3!5!因此1 sin x ,1dx0 x.sine x+7 -1x 3x 5k 2 Jx

21、+x 73!3 5!57!7_.J=1-土 + 上 +3!3 5!5冗、 sin e+ 7 -k 2 J7!由此式得到此时误差f1Sinxdx 就 1 - + 上就 0.9416 0 x3!3 5!5R 3)。f (n )(0 )(+xn + O xnf (0)2!解：由泰勒公式f (x)= f (0)+ f(0)x + x 2 + O (Xn-2 )In (1 + Qr-巳 + 三 +(-1X 二23n - 2r挡 + 兰 +(-1 二 +。(xn )23 n - 2f (n )(0)(-1)n-1(-1)n-1 . n !由f (x)中项的系数为= n f(n)(0)=n! n 2n 23

22、.3泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用用解析法很难求解的常微分方程，用数值方法求其特解是一种常见的方法， 一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面，就应用泰勒公式求 解具有给定x和J初值的联立方程：d = F (x, y, t)牛=G (x, y, t) dt我们用如下形式表示一个x和y的联立方程组:d=f(x, y, t) TOC o 1-5 h z dt(i)半=G (x, y, t)I dt求方程组(1)通过点(x , y ,t )的特解，其中已知(x , y ,t ).我们设想用一种 00 000 0逼近计算求出在下列各点t = t + h, t = t + 2h,t

23、= t + 3h,，t = t + kh处x, y102030k 0的近似值，其中h为t轴上选取的恰当步长.现在，设在t = t处，已求出x, y的近似值,且表为x = x(t ), y = y (t ) kk k k k由泰勒公式可知：x(t+h )=x(t)+x(t)h+x(t)3+M) 3+y (t + h )= y (t)+ y，(t)h+ y(t 垮+ y(t 岑 +令t =t ,即可得出计算X y值的公式(k = 0,1,2,3)kk+1, k+1X= X(t +h)=X(t )+ Xt )h + X 3),yf = y t, y = y 1,ym = yn,y(n) = y(n-

24、1)(n 3)因此在t = 0处，有x = 2, y = 0,x = 2; y = 0,x = 1, y = 1;x (n) = 1, y n = 1,00000000令k = 0，则方程组给出=2 + 0.2000 + 0.0050 + 0.0002 + =2.2052h2 h3y = y + 2h + + - +=2 + 0.2000 + 0.0050 + 0.0002 + =2.2052接着在t = 0.1处，有气=2.2052, y1 = 2.2052=2.1052, y； = 2.1052x= 1.1052, y= 1.1052x= 1.1052, y=1.1052令k = 1,由方

25、程(3)：x = x + xh + x k + x 如 +21112!13!=2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+h2，h3七=L y1h + 1 + y1王 +=2.4214=2.2052+0.2105+0.0055+0.0022+=2.4214 这个过程可以根据需要不断地重复进行。例8证明对任意参数t，下列Runge-Kutta格式是二阶的证明因为hyn+1 = yn + 矿 K1 + k 2)%= f (x , y )K = f (x + th, y + thk )K = f (xnn1+ (1 t)h,y +(1 t)hk )y(x )= y所以把y (x 1)在x

26、处泰勒展开得:(10)将y G)=f (x, y )y (x 1) = y + hy,(x )+ 奇 y yf (x)= f RyJy(x)=f + f 也ndx dy dx (xn,儿)=f (x y )+ f (x , y ) f (x , y )x n, n y n nn n(9) (10)带入y (x )泰勒展开式得n+1y (Xn+1 )= y + hf * yn)(x, y)+ fy(x, yn) f(x, y) + 与 yG n)求y 1在x处的泰勒展开K = f (x + th, y + thk )=f (x , y )+ thf (x , y )+ thf (x , y )f

27、 (x , y )n nx n nn n y n nK = f (x +(1 t)h, y +(1 t)hk)=f (xn, y.)+ (1 -1)hf (xn, y.)+ (1 -1)hf (xn, y.) f (xn, y)h,，将 K2, % 代入 yn+1 = yn + _ (K1 + K2)中得hyn+1 = yn + _(K1 + k _)=y + h2f (x , y )+ hf (x , y )+ hf (x , y ) f (x , y )n 2匚n nx n nn n y n n =y + hf (x , y )+ 兽hf (x , y )+ hf (x , y ) f (

28、x , y )nn n 2匚 x n nn n y n n 将y (x 1)与y 1泰勒展开做比较得y (x+1)- y,“1*”(& ,)则知上述Runge-Kutta格式是二阶的.应当指出，应用该方法从形式上看似简单，但具体构造这种格式往往是相当 困难的，因为它需要先提供y的各阶导数值y (n)。当阶数提高时，求导过程可能 很复杂，因此该方法不直接使用，但是可以用它来启发思路。3.4泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用我们利用泰勒公式对函数极值的判定，可以相似地推出函数拐点的判定，比用x0点两 边区间的二阶导数符号来判定显得简单易行，且有更广泛的结论例9 (定理)若f (x)在某个U (

29、x ,5)内n阶可导，且满足0f1 (x )= f u(x )= = f St)(x )= 0，且 f(n) (x)7 0, (n 2)0000若：当n为奇数，则(x , f (x )为拐点；00.当n为偶数，则(x , f (x )不是拐点.00证明：写出f (x)在x0处的泰勒公式， TOC o 1-5 h z /(x)=/(x )+/(x Xx-x )+ +,()G)Gr ,-2+o(x_x -2) 000.n-2)l o0因为广Cv )=f (x )= = /(n-i)Q )=(),贝ij ” ooo/G)= Y一(x-X.X2+O(x-X-2),同样余项是G-X -2的的高阶无穷小n

30、-2) ooo所以广G)的符号在u (尤0搭)内与G - x相同。当为奇数时，显然在的两边，尸?(尤_尤一2符号相异，即f”G)的符号相异, o n-2)0所以1 ,/G)为拐点。00当为偶数时，则广G)的符号相同，所以6 ,fG)不是拐点。证毕00例 10： 1、判定(。,4)是否是 f(x)=e+e-x + 2cosx 的拐点？2、判定(0,0)是否是fG) =gx C-X -2sin X的拐点？解：1、/(x)= ex - e-x - 2sin x,/ (0)= 0f (x) = ex + e-x - 2cos x,/(0)= 0f (x)= ex - e-x + 2sin x,f (0

31、)= 0=ex + e-x + 2cos x, /(4)(0)= 4 0因为 =4为偶数，所以(0,4 )不是f G)=公+ 3 + 2cos x的拐点。2、/ (x) =ex + e-x 2cos x,/ (0)= 0f (x)= - e-x + 2sin x,f (0)= 0f G)= ex + e-x + 2cos x, f (0)=40因为 =3为奇数，所以（0,0）是fG） =Cx C-X 2sinx的拐点。 从上述例看到，要判别尤=0左、右两边f (x)的符号不易，但用本命题则非常容易。4结论本文主要从泰勒定理的有关背景出发，在对泰勒定理的一元及二元形式进行 概述的基础上，分析了泰

32、勒定理在数值分析中的应用。可以肯定的是，泰勒定理 的研究，是一个具有前瞻性与现实意义的研究课题，也是学术的研究热点，由此 本论文的提出和研究具有较强的理论意义和实践意义。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒 公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数 值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式 在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用，对于我们 解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结, 就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明 快捷。同时，由于本人的阅历和学识有限，可能还不足够透彻分析某些观点，文章 可能会缺乏一定的深度。下一步的将会在如何应用泰勒公式应用于实践等方面做 更深一步的研究，争取分析、解决问题更加专业化，更加全面。参考文献1大学数学名师导学丛书编写组编，杨万利编写.数学分析名师导学M.中国水利水电出 版社,2005 裘兆泰等编.数学分析学习指导M.科学出版社