地图的数学基础课件

1、第 二 章 地图的数学基础1 地球椭球体 2 地面点位的确定(大地控制) 3 地图投影4 地图比例尺1 地球椭球体1.1 地球的自然表面 为了了解地球的形状，让我们由远及近地观察一下地球的自然表面。浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。1.1 地球的自然表面机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。1.1 地球的自然表面1 地球椭球体1.1 地球的自然表面事实是: (1)地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体.1 地球椭球体1.1 地球的自然表面 (1)地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略

2、长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体. (2)地球表面起伏不平,十分不规则.(如珠穆朗玛峰与马里亚纳海沟的高度相差近20km). 当海洋静止时,它的自由水面必定与该面上各点的重力方向(铅垂线)成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中,有一个与静止的平均海水面相重合,并假想其穿过大陆、岛屿所形成的一个闭合曲面,这就是大地水准面.1.2 地球体的物理表面 大地水准面所包围的球体称为大地球体.其表面（大地水准面）实际上仍然是一个起伏不平的、不能用数学公式表达的曲面地球物理表面1 地球椭球体 大地水准面的意义1. 地球形体的一级逼近：对地球形状的很好近似，其面上高出与面下缺少的相当。2. 起

3、伏波动在制图学中可忽略： 对大地测量和地球物理学有研究价值，但在制图业务中，均把地球当作正球体。3. 重力等位面： 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准面的高度）。1.3 地球体的数学表面 1 地球椭球体 -将大地球体绕短轴飞速旋转所形成的一个表面光滑的球体称为地球椭球体 (或称旋转椭球体，简称 椭球体). 地球椭球体表面是一个规则的数学表面，所以人们视其为 地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近,是用于测量计算的基准面。Equatorial AxisPolar AxisNorth PoleSouth PoleEquatorab地球椭球体的三要素: 长轴 a(赤道半径)、短轴 b（极半径

4、）和椭球的扁率 f=(a- b)/ aWGS world geodetic system 84 ellipsoid: a = 6 378 137m b = 6 356 752.3m equatorial diameter = 12 756.3km polar diameter = 12 713.5km equatorial circumference = 40 075.1km surface area = 510 064 500km2 a - b 6378137 - 6356752.3f = = a 6378137= 1:298.257由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同,故地球椭球体的

5、元素值有很多种. 表2-1 国际主要的椭球参数( P28 ).1.3 地球体的数学表面 1 = 298.257 f1967年国际椭球1975年国际椭球1980年国际椭球WGS84 对地球椭球体形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相对关系。即确定与局部地区的大地水准面符合最好的一个地球椭球体 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。 地球椭球体的三要素: 长轴 a(赤道半径)、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f=(a- b)/ a1.3 地球体的数学表面 通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼

6、近。*中国的大地坐标系 1952年前采用海福特（Hayford）椭球体 ； 19531979年采用克拉索夫斯基椭球体,建立了1954 年北京坐标系（坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台）； 1980年开始采用 GRS(1975)椭球体, 建立了“1980西安坐标系”,并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为该坐标系中大地坐标的原点.平面控制网国家测绘局陕西省泾阳县永乐镇北洪流村 “1980西安坐标系” 大地坐标的起算点.第 二 章 地图的数学基础1 地球椭球体 2 地面点位的确定(大地控制) 3 地图投影4 地图比例尺-确定地面点或空间目标的位置,就是求出它在地球椭球体表面上的位置和它到大地水准面的高度.2

7、 地面点位的确定2.1 地理坐标系 用经纬度表示地面点位的一种球面坐标系.*地理坐标系的构成地轴：地球椭球体的短轴；北极/南极：地轴的北端/南端；赤道：过地心与地轴垂直的平面与地球椭球面的交线；本初子午线：过英国格林威治天文台旧址和地轴的平面与地球椭球面的交线。O*以地球的北极、南极、赤道和本初子午线等作为基本要素，即可构成地球椭球面的地理坐标系统。2 地面点位的确定-确定地面点或空间目标的位置,就是求出它在地球椭球体表面上的位置和它到大地水准面的高度.2.1 地理坐标系 用经纬度表示地面点位的一种球面坐标系.*经纬度的表示 天文经纬度 大地经纬度 地心经纬度O 天文经纬度：表示地面点在大地水

8、准面上的位置，用天文经度和天文纬度表示。2.1 地理坐标天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。 在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。 大地经纬度：任一地面点在参考椭球面上的位置，可用大地经度l和大地纬度 表示。2.1 地理坐标系大地经度l ：指过参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角.东经为正,西经为负。大地纬度 ：指过参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。参考椭球体：与局部地区的大地水准面符合最好的一个地球椭球体. 地心经纬度：即以地球椭球体质量中心为基点，地心经度同

9、大地经度l ，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角y 。2.1 地理坐标 在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。 在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。2 地面点位的确定-确定地面点或空间目标的位置,就是求出它在地球椭球体表面上的位置和它到大地水准面的高度.2.1 地理坐标系 用经纬度表示地面点位的一种球面坐标系.*地理坐标系的构成地轴：地球椭球体的短轴；北极/南极：地轴的北端/南端；赤道：过地心与地轴垂直的平面与地球椭球面的交线；本初子午线：过英国格林威治天文台旧址和地轴的平面与地

10、球椭球面的交线。O2 地面点位的确定 2.2 平面直角坐标系 利用直角坐标原理确定一点的平面位置的方法.-确定地面点或空间目标的位置,就是求出其对大地水准面的位置关系,包括确定它在大地水准面上的位置和它到大地水准面的高度.2.1 地理坐标系-XY X O-Y2nn-n-2n2nn-n-2n(1)测绘中所使用的与数学中所 使用的直角坐坐标系有所不 同：X轴和Y轴互换了位置.(2) X轴表示纬度,并且向北为 正、向南为负；Y轴表示经 度,并且向东为正、向西为负.方里网：由两组互相垂直并且平行于坐标轴的直线所构成的方格网，而且每一条直线至坐标轴的距离均为整公里数.绝对高程:地面点至大地水准面(即平均

11、海平面)的垂直高度,也称“海拔高程”，简称“高程”; 相对高程:地面点至任一水准面的垂直高度.-由高程基准面计算的地面点高度.高程基准面的位置,实际上是根据验潮站所确定的多年平均海水面而确定的. 2 地面点位的确定2.3 高程 *中国高程起算面-黄海平均海水面 1956年在青岛观象山设立了水准原点（其高程以青岛验潮站1950-1956年的观测记录所确定的黄海平均海水面为零点而测算出来的，为72.289m），并且据此建立了1956年黄海高程系; 1987年国家测绘局公布：启用1985年国家高程基准取代黄海平均海水面，它比黄海平均海水面上升 29毫米2.4 中国的大地坐标系统1.中国的大地坐标系

12、ICA-75椭球参数: a = 6 378 140m ; b = 6 356 755mf = 1/298.257 1980年以前：1954年北京坐标系；(参考椭球采用克拉索夫斯基椭球参数,坐标原点位于北京)； 1980年-至今：1980年国家大地坐标系(1980西安坐标系) （采用1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球,坐标原点位于陕西泾阳县) ：2 地面点位的确定2.中国的大地控制网-在全国范围内选取若干具有控制意义的点,并且精确测定其平面位置和高程.而这些控制点所构成的平面控制网和高程控制网即组成大地控制网.1.中国的大地坐标系 2 地面点位的确定2.4 中国的大地坐标系统平面控制网国家

13、测绘局(1)平面控制网 :按统一规范,由精确测定地理坐标的地面点组成.陕西省泾阳县永乐镇北洪流村 “1980年国家大地坐标系” 中大地坐标的起算点高程控制网国家测绘局青岛观象山(2)高程控制网 : 按统一规范,由精确测定高程的地面点组成.(2)高程控制网 : 按统一规范,由精确测定高程的地面点组成.中国高程起算面是 黄海平均海水面。1956年在青岛观象山设立了水准原点，其他各控制点的绝对高程均是据此推算，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准取代黄海平均海水面其比黄海平均海水面上升 29毫米。 青岛观象山水准原点2.2 中国的大地坐标系统绝对高程相对高程国

14、家水准原点 国家测绘局水准面示意图国家测绘局高程控制网 : 按统一规范,由精确测定高程的地面点组成. 2.5 全球定位系统 - GPS 2 地面点位的确定-是以人造卫星为基础的无线电导航定位系统，可提供高精度、全天候、全球性三维坐标、三维速度和时间信息的实时动态定位、定时及导航服务. GPS系统构成:(1)空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。 它们在高度20 200km的近圆形轨道上运行,分布在六个轨道面上,轨道倾角55,两个轨道面之间在经度上相隔60,每个轨道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置,保障了在地球上任意地点,任意时刻,至少同时可见到四颗卫星。 2.4 全球定位系统

15、- GPS (2)地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数；监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。 GPS系统构成:(3)用户设备部分：GPS接收机接收卫星信号，经数据处理得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点的距离和航向或提供图示。 GPS系统构成:鄱阳湖流域GPS 数据(2002.12) 2.5 全球定位系统 - GPS主要特点： (1)精确的定位: 美国军用GPS卫星导航仪单点测距定位精度在10m之内,事后

16、处理精度可达到厘米级;民用GPS卫星导航仪单点定位精度在15米左右. (2)准确定时及测速:如美国GPS定时误差小于100微秒,三维测速误差小于30cm/s. (3)可作为GIS和RS的数据源:能够实时、连续地提供地球表面任意地点的经纬度与高程. 2 地面点位的确定 GPS系统定位原理考虑到卫星的时钟与接收机时钟之间的误差，实际上有4个未知数，X、Y、Z和钟差，因而需要引入第4颗卫星，形成4个方程式以求解，从而得到观测点经纬度和高程。 通过测量卫星信号到达接收机的时间延迟,即可算出用户到卫星的距离.再根据三维坐标中的距离公式，利用3颗卫星的数据，组成3个方程式,就可以解出观测点的位置(X,Y,

17、Z).GPS基本定位原理 -GPS定位系统的基本观测量是距离,基本定位原理是空间后方交会法. 在待定点上安置好接收机天线,测定某颗卫星(第i颗)发送信号的时刻(t0)到接收该信号的时刻(ti),即时间延迟(ti)，然后求算卫星到接收机天线的距离():= ti c式中，c为电滋波在大气中传播的速度3.常用GPS测量模式 常规静态测量：采用两台(或两台以上)GPS接收机，分别安置在一条或数条基线的两端，同步观测4颗以上卫星，每时段根据基线长度和测量等级观测45分钟以上的时间。常用于建立全球性或国家级大地控制网、地壳运动监测网 。快速静态测量：这种模式是在一个已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站

18、，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机依次到各待测测站，每测站观测数分钟。这种模式常用于控制网的建立及其加密、工程测量、地籍测量等。 这种方法要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。静态测量模式准动态测量 在一已知测站上安置一台GPS接收机作为基准站，连续跟踪所有可见卫星。移动站接收机在进行初始化后依次到各待测测站，每测站观测几个历元数据。这种方法不同于快速静态，除观测时间不一样外，它要求移动站在搬站过程中不能失锁，并且需要先在已知点或用其它方式进行初始化（采用有OTF功能的软件处理时例外）。这种模式可用于开阔地区的加密控制测量、工程定位及碎部测量、剖面测量及线路测量等。 要求在观测时段内确保有5颗以上卫星可供观测；流动点与基准点相距应不超过20km。动态测量模式实时动态测量：DGPS和RTK 在一个已知测站上架设GPS基准站接收机和数据链，连续跟踪所有可见卫星，并通过数据链向移动站发送数据。移动站接收机通过移动站数据链接收基准站发射来的数据，并在