Chapter5一维单元(不含拉格朗日)

1、第五章 一维单元孙 会2012.41本章内容一、线性单元及其形函数（重点，熟悉）二、二次单元（重点，熟悉）三、三次单元（重点，熟悉）四、整体坐标、局部坐标和自然坐标（熟悉）五、 ANSYS中一维单元举例（重点，熟悉）2引子 如图所示的等直截面散热片，散热片左端相连的基座温度已知，周围流体温度已知，试确定散热片沿其长度方向上的温度分布？图5.1 恒定截面的散热片的温度分布 3预处理阶段 1. 计算域离散化 2. 单元分析 2.1 假设描述单元行为的近似解 2.2 单元分析（直接法、最小总势能法、加权余数法） 2.3 组装单元，构造K(G) （按照标准方法进行） 2.4 施加边界条件（约束条件、载

2、荷条件）求解阶段后处理阶段引子4一、线性单元预处理阶段：计算域的离散化：3个单元和4个节点假设单元行为的近似解：采用分段线性函数近似。图5.1 恒定截面的散热片的温度分布 5一、线性单元现以其中一个典型单元为研究对象图5.2 单元温度分布的线性近似 6一、线性单元l为单元的长度 图5.2 单元温度分布的线性近似 单元的形函数：7一、线性单元 单元的温度分布是未知变量，例如温度、变形或速度 柱体单元的位移8二、二次单元如何希望提高计算精度怎么办？增加分析中使用的线性单元的数目通过使用高阶的插值函数采用二次函数代替原来的线性函数，此时要求使用3个节点来定义1个单元，第3个点可取在单元的中点，例如图

3、4.3中的节点k。 9二、二次单元图5.3 单元温度分布的二次近似 典型单元的温度分布：c1、 c2、 c310二、二次单元由节点值表示的任何可变参数： 单元的形函数：11三、三次单元在二次单元中，采用二次函数代替线性单元中的线性函数，相应地提供了比线性单元更为精确的结果，那么是否可以采用更高阶的函数代替线性函数或二次函数呢？ 可以。如需更高的精度，可使用更高阶的插值函数，例如三次多项式。 用三次函数代替二次函数，要求至少使用4个节点来定义1个单元，单元被分成等长的3段，4个节点的取法如图5.4所示。12三、三次单元图5.4 单元温度分布的三次近似 典型单元的温度分布：c1、c2、c3、c4

4、13三、三次单元单元的形函数：14四、整体坐标、局部坐标和自然坐标在有限元建模过程中，大多数情况下可使用多个参考系。整体坐标系：(1)表示每个节点的位置和每个单元的方向；(2)施加边界条件和载荷；(3)表示计算求出的解。局部坐标系和自然坐标系：当构造几何关系或计算积分时，可提供很多便利。 151、一维线性整体坐标与局部坐标对于一维单元，整体坐标X和局部坐标x的关系为X=Xi+x，如图所示。相应地，形函数可用局部坐标表示： 图5.5 整体坐标X和局部坐标x的关系 162、一维线性自然坐标自然坐标是局部坐标的无量纲形式，用于单元刚度矩阵或传导矩阵推导中的积分计算。使用自然坐标容易在上限1和下限-1

5、间积分。若令： 其中，x是局部坐标。相应地，i1，j 1，如图所示。 图5.6 局部坐标x和自然坐标的关系 172、一维线性自然坐标自然线性形函数： 183、等参单元可用形函数Si、Sj表示其他变量，如位移u： 也可通过形函数Si、Sj进行从整体坐标X或局部坐标x到自然坐标的变换，即： 193、等参单元 使用一组单一参数（例如Si、Sj）定义未知量u、T等，并使用同样的参数（Si，Sj）表示几何关系。 应用这种思想的有限元方法常常称为等参公式，以这种方式表示的单元称为等参单元。 204、用一维自然坐标表示二次和三次形函数二次自然形函数： 三次自然形函数：注意区分使用整体坐标、局部坐标和自然坐标

6、表示形函数的差别 21五、ANSYS中一维单元举例ANSYS提供了描述一维问题的单轴杆单元，其中包括LINK31、LINK32、LINK34。LINK32单元：单轴热传导单元，它允许通过传导模式在节点间传递热量。节点的自由度是温度。该单元由2个节点组成，其属性由横截面面积和材料属性，如热传导率来定义。22五、ANSYS中一维单元举例LINK34单元：单轴对流连接单元，它允许热量通过对流在节点间传递。该单元由2个节点组成，其属性由对流表面面积和对流热传递系数定义。23五、ANSYS中一维单元举例LINK31单元：能够对空间两点间的热辐射进行模拟。该单元由2个节点组成，其属性由辐射表面面积、几何形状因子、热辐射系数和斯蒂芬森一玻尔兹曼(Stefan-Boltzman)常数定义。 24课堂总结一维线性单元及其形函数的概念