杨表和杨算符

1、4.3 杨表和杨算符一、2. 杨表的每一行中，左面的填数小于右面的填数 每一列 上面 小于下面 n格的杨图，有n!个不同的杨表，如:1 231 322 132 313 123 211. 对给定的杨图，把1到n的n个自然数分别填入杨图的n个格子中，就得到一个杨表（杨盘）（正则填充法）13. 正则杨表的维数 对给定杨图，不同正则杨表的个数d数学上可以证明其中，rj=j+m-j； j:每行格子数；m:总行数；j:第j行所有n格杨图的正则杨表数的平方和正好等于n!实际计算中，分子、分母会消去不少因子2如：杨图3,2,1,1rj=j+m-j 3钩形规则法（方便） 钩形数：等于一条钩形路径在杨图中经过的格

2、子数 对杨图的第i行、第j列的格子定义钩形数 hij钩形路径：从第i行最右面的格子处进入杨图实际上，一个格子的钩形数就等于该格子所在行右面的格子数+该格子所在列下面的格子数+1Enter向左走到第i行,第j列格子处向下转弯在第j列最下面的格子处离开杨图Exit将每格的钩形数hij填入杨图，构成的杨表称为钩形数杨表，记作Yh正则杨表维数4如：杨图3,2,1,113611424. 正则杨表的大小（同一杨图） 自第一行开始，自左向右比较两个杨表的填数； 若都相同，再比较第二行、等三行等； 直到第一次发现填数不同，填数大的正则杨表大于填数小的正则杨表字典次序 按正则杨表由小到大排列，可准确写出给定杨图

3、的所有正则杨表5如：杨图=3,21 2 34 5 1 2 43 5 1 2 53 4 1 3 42 5 1 3 52 4 1 4 52 3 二、杨算符给定杨图 正则杨表（简称杨表，不涉及非正则情况）给定杨表 杨算符61. 杨算符定义纵向置换Q：给定杨表，同列数字间的置换 Qk：只涉及第k列数字的横向置换，若第k列 有k个格子，则Qk的个数共有k!个横向置换P：给定杨表，同行数字间的置换 Pj：只涉及第j行数字的横向置换，共j!个横算符P ：对给定杨表，所有横向置换之和纵算符Q ：对给定杨表，所有纵向置换其置换宇称 (Q)后相加杨算符Y ：P 与Q 的乘积 （正则杨表对应的是正则杨算符）7习惯上

4、，由于只有给定杨图、杨表的条件下才能写出杨算符Y，因此，通常把对应这个杨算符Y 的杨图、杨表称为杨图Y，杨表Y；但若单独说Y，则指杨算符Y82. 写杨算符的方法先将每一行的所有横向置换相加，再将不同行的横向置换之和乘起来先将每一列的所有纵向置换置换宇称相加，再将不同行的纵向置换代数和乘起来对只有一格的行(列)，横(纵)向置换只有恒元，相乘时可以略去最后，把乘积的每一项都化成无公共客体的轮换的乘积例：写出给定杨表对应的杨算符 1 2 3 4 59第一行 横向置换 1 2 3 4 5(3!=6个)第二行 横向置换 (2!=2个)第一列 纵向置换 (2!=2个)第二列 纵向置换 (2!=2个)第三列

5、 纵向置换 (1!=1个) 可省略最后，把乘积的每一项都化成无公共客体的轮换的乘积 练 习 ！ 103. 共轭关系置换群共轭元素的性质：R为轮换时 SRS-1=R，不改变轮换结构 可用配分数来描写类若置换S把杨表Y 变成杨表Y ，则相应的杨算符及其横(纵)向置换满足：若给定两个杨表(必对同一杨图同一类)，很容易确定置换S确定置换S的方法：只要按相同次序，把杨表Y 的填数列在S的第一行，把杨表Y 的填数列在S的第二行，就唯一地确定了置换S例： 1 3 5 2 4 1 2 3 4 5杨表Y =杨表Y =114. 群元素与杨算符 由杨算符定义式，或前面例中可以看出，杨算符是置换群群元素的代数和，亦即

6、群代数的矢量(基为群元素)横向置换P和恒元E的系数为 1；纵向置换Q和PQ的系数为置换宇称(Q)因此，式中F(R)只能取 1，-1，0其中，系数(不)为零的置换群元素称为(不)属于杨表Y 的元素，也称(不)属于杨算符Y 的元素给出一个任意的置换变换(群元素)R，如何判断它是否属于某杨表（杨算符）Y ？（下面给出一些简单判据）12三、杨算符的基本对称性质1. 基本对称性质 对给定杨表, 横向算符P =P,是所有横向置换之和； 所有横向置换也构成群，横向置换是该群中的群元素 由重排定理，横向算符对左乘或右乘横向置换保持不变 同理, 纵向算符Q =(Q)Q,对左乘或右乘纵向置换，产生一个置换宇称因子

7、 杨算符Y=PQ, 只对左乘横向置换不变，右乘纵向置换，产生一个置换宇称因子132. 福克(Fock)条件 杨算符的一个重要性质设杨表Y 中第j行和第j行分别有和个格， 填入这两行的数分别记作a和b，则设杨表Y 中第K列和第K列分别有和个格 填入这两列的数分别记作c和d，则14四、杨算符的乘积 （一个定理，四个推论）4. 推论二 对同一杨图，若正则杨表Y 大于正则杨表Y ，则 Y Y =01. 两杨算符正交 一般情况下Y Y =0，不一定有YY =0，若二者同时成立，则两杨算符正交定理四意思是：若存在一对数a，b，它们在杨表Y 中填在同一行，同时在杨表Y 中填在同一列，则 Y Y =02. 定

8、理四 若T0同时是杨算符Y =PQ 的横向对换和杨算符Y =P Q 的纵向对换，则 Y Y =0, Q P =03. 推论一 若杨图Y 小于杨图Y ，则 Y Y =015说明：R属于杨表Y 是指：R能表示为杨表Y 的横向置换P和纵向置换Q的乘积，即R=PQ=PQ5. 推论三 对同一杨图，设填在杨表Y 同一列的数字在杨表Y 中都不在同一行，则把杨表Y 变成杨表Y 的置换R必属于杨表Y，也属于杨表Y ，即Y =RY R-1推论三的逆定理也成立：若R属于杨表Y，R=PQ=(PQP-1)P，杨表Y 经过R变换得到杨表Y ，则填在杨表Y 同一列的数字在杨表Y 中都不填在同一行推论三的逆否定理也成立：若R不属于杨表Y，杨表Y 经过R变换得到杨表Y ，则至少有一对数字a，b，填