[PPT]结构稳定与极限

1、分支稳定和极限分析7-1 两类稳定问题的基本概念7-2 简单结构稳定分析7-3 基本假设与基本概念7-4 极限平衡法 比例加载时的若干定理7-5 结论与讨论1. 两类稳定问题的基本概念 薄壁、高强、受压结构，设计不当容易产生部件或整个结构丧失稳定。因此，结构设计除关心强度、刚度外，对易失稳的结构还要进行稳定验算。 结构稳定分静力和动力稳定两大类，本课程只讨论静力稳定问题。 例如图示刚架，当荷载达到临界值时，受微小干扰将失稳 又如下图所示园拱和窄条梁也存在失稳问题刚性小球平衡状态稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态结构平衡状态的分类 根据结构经受任意微小外界干扰后，能否恢复初始平衡状态，可对平

2、衡状态作如下分类： 稳定的平衡状态外界干扰消除后结构能完全恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是稳定的。 不稳定平衡状态外界干扰消除后结构不能恢复初始平衡位置，则初始平衡状态是不稳定的。 经简化抽象，可能出现受干扰后可在任何位置保持平衡的现象，称此现象为随遇平衡状态。根据受力状态稳定问题分类：1. 完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形 完善体系从稳定到不稳定，其受力、变形状态将变化，也即随荷载变大有分叉点，称分支点稳定。分支点失稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化结构2. 非完善体系 受压杆有初曲率或受偏心荷载，为压弯联合受力状态FP(a) 非完善体系，一般受力、变形性质不发生改变。但随着

3、荷载增大存在一极值荷载（此后变形增大荷载反而减少），这类稳定现象称极值点稳定。极值点失稳失稳前后变形性质没有变化FPcrcr突跳失稳FPcrcr由受压变成受拉，系统产生翻转突跳失稳的力-位移关系示意图突跳失稳稳定问题的分析方法 在稳定分析中，有基于小变形的线性理论和基于大变形的非线性理论： 线性理论中变形是一阶微量，计算中将略去高阶微量使计算得以简化，其结果与大变形时的实验结果有较大偏差。 非线性理论中考虑有限变形对平衡的影响，其结果与实验结果吻合的很好，但分析过程复杂。 由于实际结构刚度都很大，变形和杆件尺寸相比十分微小，因此作受力分析列平衡方程时都忽略变形影响。因此线弹性材料力-位移成正比

4、，叠加原理适用。2.简单结构稳定分析 1) 稳定问题分析基本方法一：静力法 通过考虑失稳状态下的平衡关系，利用两类稳定问题的特征，确定临界荷载的方法静力法。在作稳定分析时，必须考虑变形的影响，这时叠加原理不再适用。2-1-1) 分析步骤 设定约束所允许的可能失稳状态 建立平衡方程 用分支点稳定的平衡两重性（可在两状态平衡）建立特征方程，也称稳定方程 求特征方程的非零解，从而得到临界荷载。2-1) 分支点稳定静力法2-1-2）例一 试用静力法分析图示结构，求临界荷载。稳定方程非零解稳定方程 按静力法，线性与非线性理论所得分支点临界荷载完全相同，但线性理论分析过程简单。小 结 非线性理论结果表明，

5、达临界荷载后，要使AB杆继续偏转（ 角增大），必须施加更大的荷载（ 增加）。而线性理论结果表明，不管 转角多大，荷载均保持为临界荷载值，也即随遇平衡，前者与实验吻合，后者实际是一种虚假的现象。例二 完善体系如图所示，试按线性理论求临界荷载FPcr。已知：k1=k, k2=3k。设体系发生如下的变形取BC为隔离体，由MB=0, 得或再由整体平衡MA=0, 得因为y1、y2不能全部为零，因此稳定方程将k1 、k2 代入（3）式，展开后得由上式可求得：因此 代回式（1）或（2）的失稳形态为2-1-3）材料力学中不同支承中心受压杆的FPcr为求解的例子EI，lFPFPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？

6、 k1=？2-1-4）简单结构中心受压杆FPcr的分析方法边界条件是什么？根据形常数FPcrEI，l如何转换成弹性支承中心受压柱？ k1=？边界条件是什么？FPcrEI，lEI，lEA=如何转换成弹性支承中心受压柱？ k=？边界条件是什么？EI，lEI，lFPcr如何转换成弹性支承中心受压柱？ k1=？ k2=？边界条件是什么？ 可见简单结构中受压杆件的稳定分析，主要是要将杆件简化为相应的弹性支撑的单杆问题。 实际工程结构的稳定性分析复杂得多，一般进行计算机分析。稳定平衡状态不稳定平衡状态随遇平衡状态能量取极小值2-2) 分支点稳定能量法2-2-1)刚性小球的稳定能量准则能量取极大值能量取驻值

7、 与材料力学压杆稳定问题一样，在结构分支点失稳问题中，临界状态的能量特征为：首先引入两个定义。定义：应变能V加外力（外荷载）势能VP为体系的总势能，记作V。2-2-2) 弹性结构的稳定能量准则定义：从变形位置退回无变形位置过程中，外荷载所做的功，称为外力势能，记作VP。 体系总势能V 取驻值。 下面讨论由此特征确定临界荷载的方法能量法。2-2-3) 能量法分析步骤(1)设定一种满足位移约束条件的可能失稳变形状态（也称失稳构(位)形）；(2)计算体系的应变能V、外力势能VP，从而获得总势能V= V+ VP；(3)从总势能的驻值条件建立稳定性分析的特征方程；(4)由特征方程解得临界荷载。l例1.

8、求图示有初偏离角 体系的的临界荷载2-2-4) 能量法举例可能失稳分析受力FN如何求?变形能V外力势能VP体系的总势能V=V +VP 如何计算? 应变能等于外力功. 根据定义可得由体系的总势能的驻值条件得：则：如果 = 0：令：To 41令：得：因此 为求极值设：跳转1当按线性理论计算时， 是微量，线性理论计算结果比非线性理论计算结果大，因而是偏于危险的。To 38 不同的初偏角将影响临界荷载，初偏离增大时减小，这表明制造或安装误差对稳定性都是不利的。 非线性理论计算结果存在极值点失稳，这一结果与实际吻合。小 结 非完善体系的临界荷载只能由非线性理论确定。 在线性理论（ 微小）前提下， 是单调

9、增加的，不存在极值点。lEIyx设： 例2. 求图示一端固定一端自由简支梁的临界荷载。满足位移约束条件变形能V外力势能VP体系的总势能V=V +VP由体系的总势能的驻值条件得：因为a 0 则：返回 以图示柱为例，取隔离体列弯矩方程得特解通解利用边界条件：解方程可得稳定方程返回可得试总结中心压杆稳定分析的要点3-1) 材料力学内容回顾 结构内实际最大应力 材料容许应力 极限应力（脆性）（塑性） 安全系数对塑性材料制成的结构不经济3.基本假设与基本概念弹性分析法（容许应力法）材料的本构关系（应力应变关系）塑性金属线性强化理想弹塑性刚线性强化刚塑性3-2) 基本假定 假定材料具有相同的拉、压力学性能

10、以及理想弹塑性的应力-应变关系。 假定结构上所受荷载是按荷载参数P以同一比例由小变大逐步加载的，同时荷载参数P单调增加，不出现卸载情形，这种加载方式称为比例加载。 假定在弹塑性阶段横截面应变仍符合平截面假定。3-3) 基本概念等面积轴形心轴-弹性弹塑性屈服弯矩Ms塑性极限弯矩Mu纯弯梁由弹性到塑性的过程分析极限荷载FPu-弹性塑性分析法（极限应力法） 极限荷载结构在极限状态时所能承受的荷载强度条件：k 安全系数F 实际荷载FPu 极限荷载问题：按塑性分析设计与按弹性分析设计相比， 在结构破坏时，何者的应力大？ 将结构进入塑性阶段并丧失承载能力时的状态，作为结构破坏的标志，称为极限状态。To55

11、屈服弯矩MS，按定义为极限弯矩（整个截面都屈服）Mu抗弯截面系数（1）由中性轴等分截面积To 51外边到形心轴（2）极限弯矩Mu塑性截面系数（ ） （屈服弯矩 ）截面形状系数：矩形 1.5圆形 1.7To 51非纯弯、双对称轴截面梁的情况 实验和理论分析结果都表明，对于细长梁，切应力对极限承载力影响很小，可不予考虑。 例如简支梁截面出现塑性铰破坏机构 结构由于出现塑性铰而变成 瞬变或可变时的体系。静定梁，塑性铰出现在弯矩（绝对值）最大处。ABFP1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受Mu塑性铰能承受弯矩并能单方向转动的铰。 塑性铰与普通铰的区别：2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。 若梁的左半部

12、分截面高度增加一倍（变截面梁），塑性铰出现在何处？4.极限平衡法及比例加载时的若干定理结构达极限状态时应该满足以下条件：平衡条件 结构整体或任何部分均应是平衡的。内力局限条件 极限状态时结构中任一截面弯矩绝对值不可能超过其极限弯矩Mu，亦即|M| Mu 。单向机构条件 结构达极限状态时，对梁和刚架必定有若干（取决于具体问题）截面出现塑性铰，使结构变成沿荷载方向能作单向运动的机构（也称破坏机构）。试求等截面单跨超静定梁的极限荷载FPl/2ABl/2C4-1）极限平衡法从极限状态由平衡求FPuA处出现塑性铰时： 弹性解得弯矩图ABC能继续承荷A、C处都出现塑性铰：静力法ABC列静力平衡方程，可得虚

13、功法或机动法极限状态沿加载方向虚位移根据刚体虚位移原理，主动力虚功总和为零l/2ABl/2Cl/2ABl/2C 试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载 虚功法的虚功方程为当 时， 时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示 试求图示变截面单跨超静定梁的极限荷载 虚功法的虚功方程为时，其可能的极限状态和虚位移图如下所示当 时，A、B、D都为塑性铰 小 结 任何结构（静定、超静定）的极限荷载只需分析破坏机构(collapse mechanism)，由平衡条件（静力平衡方程或虚功方程）即可求出。 超静定结构的温度改变、支座移动等外因只影响结构弹塑性变形的过程（或称历程），并不影响极限荷载值。亦即仅计算极限荷载时，可不考虑温度改变、支座移动等外因的作用。4-2) 比例加载时有关极限荷载的若干定理4-2-1）两个定义：4-2-2）几个定理： 满足单向破坏机构和平衡条件的荷载称为可破坏荷载，记作FP+。 满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载，记作FP-。基本定理 可破坏荷载FP+恒不小于可接受荷载FP-，亦即FP+FP-。唯一性定理 结构的极限荷载是唯一的。教材上有证明请大家自学！极小定理 可破坏荷载是极限荷载的上限，亦即 FPu=min(FP+) 。极大定理 可接受荷载是极限荷载的下限，亦即 FPu=max(FP-) 。证明 极限荷载也是可接受荷载，而