立体几何新题型的解题技巧

1、,页脚,页脚,贞脚立体几何新题型的解题技巧立体几何新题型的解题技巧【命题趋向】在高考中立体几何命题有如下特点：.线面位置关系突出平行和垂直，将侧重于垂直关系.多面体中线面关系论证，空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题，特别是与球有关的问题将是高考命题的热点. 此类题目分值一般在17-22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题.【考点透视】(A)版.掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已绐出公 垂线时的距离.掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线

2、和平面的距离的概念. 掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.版.理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘.了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算.掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积公式.理解直线的方向向量、平面的法向量，向量在平面的射影等概念.了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球的概念.掌握棱柱、棱锥、球的性质，掌握球的表面积、体积公式.会画直棱柱、正棱锥的直观图.空间距离和角是高考考查的重点：特别是以两点间距离，点到平面的距离，两异面直 线的距离，直线与平面的距离以及两异面直线所成的角，直

3、线与平面所成的角，二面角等作 为命题的重点容，高考试题中常将上述容综合在一起放在解答题中进行考查，分为多个小问 题，也可能作为客观题进行单独考查.考查空间距离和角的试题一般作为整套试卷的中档题, 但也可能在最后一问中设置有难度的问题.不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步腺来完成，即寓证 明于运算之中，正是本专题的一大特色.求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面的垂足, 当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例1 （2007年卷理）如图

4、,正三棱柱ABC-的所有棱长都为2,。为CC1中点.（I ）求证：，平面A/。；（II）求二面角A-AO-B的大小；（IH）求点C到平面A8O的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解答过程：解法一：（I ）取3c中点0,连结AO.A8C为正三角形，:.AOLBC.正三棱柱A8C-ABC中，平面ABC_L平面8CC,.AO工平面BCC/i连结与O，在正方形88cle中，。分别为BC, CG的中点，,B。人BD ,.ABJ BD.在正方形A88人中，Aq J,J Aq _L平面A。.（H ）设4片与交

5、于点G ,在平面A/）中，作GFLAQ于尸，连结4尸，由（I）得从耳， 平面AB。.AF _L A。，为二面角4一4。一8的平面角.在4A4to中，由等面积法可求得从尸=竽， 吟叱叵茶宗等所以二面角A-AO-8的大小为arcsin -4（IH） /8。中，BD = AQ = E 仲=2区,语=口，SBCD = 1 .在正三棱柱中，A到平面BCC蜴的距离为/.设点C到平面A8O的距离为d.白 V-B（ D = VC-BD , 得 5 s诋6 = SBl） /Z令z = l得 =(一30,1)为平面AA。的一个法向量.由（I）知481，平面AB。，/. A耳为平面儿8。的法向量.cos=国=瓜.附

6、八822& = 一丁二二面角A-AQ-B的大小为arccosY.4（III）由（H）, A8；为平面ABO法向量, BC = (-2,0,0),阳=(1,2, 一 肉 二点C到平面480的距离 小结：久例中（HI）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法, 把不易直接求的8点到平面AM坊的距离转化为容易求的点4到平面AM坊的距离的计算 方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.例2.（2006年卷）如图，已知两个正四棱锥任儿立力与0V傲力的高分别为1和2,/1比4.（I ）证明PQ上平

7、面AB8（II）求异面直线月。与阳所成的角;（III）求点尸到平面3。的距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基 本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：方法一 （I ）取/1的中点，连结EM QM.因为P- ABCD与匕/仍C9都是正四棱锥，所以血LLAM从而49_L平面PQM.又PQu平面PQM,所以尸0_L/”.同理尸0L/取 所以国_L平面月比（II ）连结劭设ACA8O = O,由司平面力凯刀及正四棱锥的性质

8、可知在倒上, 从而巴4 Q、C四点共面.取a:的中点M连接所以丝OQ OAPO 1 NO NO 1因为 =, = =OQ 2 OA OC 2 从而/10网；N身W （或其补角）是异面直线阳与阳所成的角.因为 PB = ylOB?+OP? = J（2a/I）2+=3, PN = Sn。+ OP? = g? +1 =6.BN = y/OB2 ON2 = J（2 厅） + （友-=M上川PB?+PN? BN? 9 + 3 10 、回所以 cosN8PN=,2PBPN 2x3x759从而异面直线/1Q与阳所成的角是arccosJ.9(HI)连结忆则 OM=：AB = 2 = J。所以乙戚=45。.由(

9、I )知M9，平面灯/Q,所以平面优U平面QAD.过P作PHQM于H, PH_L平面QAD.从而PH的长是点尸到平面Q4。的距离.3 F）又 PQ = PO + QO = 3,，PH = PQ sin 45= 235y 即点尸到平面Q4。的距离是二.2方法二(I )连结/IC BD,设由P-ABCD与1月灰都是正四棱锥，所以P01,平面ABCD, QOA.平面 ABCD.从而只0、0三点在一条直线上，所以制U平面/伤(II )由题设知，450是正方形，所以/亿工敬由(I ),仇_平面ABCD.故可分别以直线CA. DB、QP为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，由题条件，相关 各点的

10、坐标分别是 P（0, 0, 1）, J （2/2 , 0, 0）, 0（0, 0, 一2）, 8（0, 2, 0）.,页脚,页脚,贞脚 i 5于是 cosAQ,P8= 1.（HI）由（H）,点的坐标是（0, 一2后，0）,而=（一2五，一2vl0）,夕。=（0,。,一3）,设7 =（乂乂z）是平面。切的一个法向量，由呸=0得 AD = 0卜z = 0=0取产1,得7=（1,*忘）.PQn 八万所以点尸到平面初。的距离= 土.M 2考点2异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的 异面直线的距离.典型例题例3已知三棱锥S ABC,底面是边长为4、历

11、的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面.七、。分别为BC、43的中点，求C9与跖间的距离.思路启迪：由于异面直线切与S5的公垂线不易寻找，所以设法 将所求异面直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步 转化成求点到平面的距离.解答过程：如图所示，取劭的中点凡连结用SF, CF,EF 为 ABCD 的中位线，EF CD.:. CD 面 SEF.CD到平面SEE的距离即为两异面直线间的距离.又，线面之间的距离可转化为线CQ上一点C到平面SEF的距离，设其为力，由题意知，BC = 40D、E、川分别是AB、BC、物的中点，CD = 2V6, EF =、CD = DF = S-CEFL.L.EF

12、 DF -SC = - y/2 2 = - 3 23 23在 RtASCE 中，SE =SC2+CE2 =26在 RtzXSC/中，SF = ylsC2+CF2 =V4 + 24 + 2=v/30又EF =弧S乂ef = 3I2/32-/3由于 Vjsef = Vs-cef = - Sef，h，R - - 3 - h = ，解=二一故与防间的距离为2.3小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程.考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化.典型例题 例4.如图，在棱长为2的正方体4G中，G是AA|的中点，求切到平面G坊的距

13、离.4“L思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解.解答过程:8。上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求解析一 8。平面6名。1,点。平面G3。的距离,. BR AG , B1D ! AA，.二月2 1.平面 AACC1,二平面4ACG坊两个平面的交线是01G.作于H,则有OHJL平面即。/是。点到平面的距离.在QOG 中，S、oqg = - OxO AO = - 2 = yi2. 22又 SOMG =-OH -OlG = - y5 OH=2,：.OH =里22.、2即BD到平面GBR的距离等于受 .解析二.BD 平面GBD1,8。上任意一点到平面GER的距离皆为所求，以

14、下求点8平面GBD的距离.设点8到平面GBQi的距离为瓦 将它视为三棱锥8 G与2的高，则=V“Bi ,由于又67他=I X 2y2 X 6 =瓜,17114,42 遍Vn“r也=-X x2x2x2 =,：. h =,Di% 3 23 、后 32 即劭到平面G813的距离等于胃.小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都是线面距离.所以求 线面距离关键是选准恰当的点，转化为点面距离.本例解析一是根据选出的点直接作出距离; 解析二是等体积法求出点面距离.考点4异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所 成的角是高考考查的重点.

15、典型例题 例5 （2007年卷文）如图，在RIA4Q8中，ZOAB，斜边A5 = 4, RtZkAOC可以通过Rt/XAQB以直线A。为 一 6轴旋转得到，且二面角5 49一。的直二面角.。是A8的中点.（I）求证：平面COD_L平面408；（II）求异面直线4。与C。所成角的大小.思路启迪：（II）的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形.解答过程：解法1： （I）由题意，COLAO, BOV AO.NBOC是二面角3AOC是直二面角，.CO1BO,又.40口80 = 0,。_1平面4。3, 又。Ou平面。.(II)作DE LOB,垂足为E,连结CE (如图)，则。石 4。,二平面CO。，

16、平面4。5.NCZ)E是异面直线4。与CO所成的角.在 RtZXCOE 中，CO = BO = 2, OE = -BO = l 2，CE = 4cO、OE2 =逐.又 de = Lao = # 2，在RtZXCDE中，皿8 =生=里=姮DE63，异面直线A。与C。所成角的大小为arctan近 3解法2： (I)同解法1.(II)建立空间直角坐标系。一冷z，如图，则。(0,0,0), 4002我9 C(2QQ),。(0,1,我, .屈= (0,0,2/)，=(一2,1,肉,r 否 OACD 6 V6/. cos = I_.一_,1 =产一=|oa|cd| 2/2& 4，异面直线4。与CO所成角的

17、大小为arccos如.4小结：求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形，作法有：平移法：在异面直 线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，如解析一，或利用中位线，如 解析二；补形法：把空间图形补成熟悉的几何体，其目的在于容易发现两条异面直线间的 关系，如解析三.一般来说，平移法是最常用的，应作为求异面直线所成的角的首选方法. 同时要特别注意异面直线所成的角的围：(0.11例6.(2006年卷)如图所示，力尺 朦分别是。0、O0i的直径.月与两圆所在的平面均垂直,是00 的直径，AB=AC=69 0E/AD.(I )求二面角B-AD-F的大小;(II)求直线班与所成的角.命题目

18、的：本题主要考查二面角以及异面直线所成的角等基本知识， 考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角并掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：（I）.与两圆所在的平面均垂直，ADLAF,故NBAF是二面角A/l。一/的平面角./ AF. 8C是圆。的直径,.A8尸提矩形，又., A8 = AC = 6,. A3/提正方形由于小雨是正方形，所以/氏/=45.即二面角BADF的大小为45；（II）以0为原点，BC、AF, 0E所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则0 （0, 0, 0）, A （0, 一3五，0）, 8（3五

19、，0, 0） ,（0, -372 , 8）, E （0, 0, 8）, F （0, 3四, 0）所以，BD = （-372-38）,FE = （0-372,8）39而 =皎空=厘+）叵 BDFE V100 xV8210设异面直线劭与历所成角为。，则=卬 丽而*书故直线物与所所成的角为arccos一. 10考点5直线和平面所成的角此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位，是高考的常考容.典型例题例7. （2007年全国卷I理）/四棱锥S-A38中，底面ABCO为平行四边形，侧面SBCL底面A5CD.已题/么康=4:AB = 2, BC = 2 近,SA

20、= SB/22 c. . V22cos a = j- = sin p = |og|ds| h 11所以，直线SO与平面S43所成的角为蝮如叵.11小结：求直线与平面所成的角时，应注意的问题是（D先判断直线和平面的位置关系；（2） 当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造一一作出斜线与射影所成的角，证明一一论 证作出的角为所求的角，计算一一常用解三角形的方法求角，结论一一点明直线和平面 所成的角的值.考点6二面角此类题主要是如何确定二面角的平面角，并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合 适的三角形中进行求解.二面角是高考的热点，应重视.典型例题 例8.（2007年卷文） 如图，已知直二面角&一尸

21、。一月，Ae 尸 Q, Bsa, Cep、CA = CB, ZBAP = 45,直线C4和平面。所成的角为30,（I）证明 8C_LPQ；（II）求二面角3 AC-尸的大小.命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思 维能力和运算能力.过程指引：（I）在平面夕过点C作于点。，连结08.因为201月=尸。，所以CO_La,又因为CA = C8,所以OA = O8.而 N3AO = 45,所以 ZA3O = 45，403 = 90 ,从而8O_LPQ,又CO工PQ,所以尸Q_L平面03C.因为BCu平面。8C,故PQ_LBC.（II）解法一：由（I）知，BOA

22、.PQ,又alp、ap = PQ.BOua,所以8OJ_/7.过点。作O_14c于点，连结8”，由三垂线定理知，BHAC.故NB。是二面角8AC尸的平面角.由（I）知，CO_La,所以NCAO是CA和平面a所成的角，则NCAO = 30不妨设 AC = 2,则 4O = VJ, OH =AOsin3G =. 2在RtzXOAB 中，ZABO = ZBAO = 45?,所以 =于是在RtZXB。“ 中，tanZBHO = = = 2.OH B T故二面角3-AC-P的大小为arctan2 .解法二：由（I）知，0C_LQ4, 0C0Bt OAOB,故可以。为原点，分别以直线。8 04 OC为工轴

23、，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）.因为CO_L。，所以NCA。是C4和平面。所成的角，则NCAO = 30）.不妨设AC = 2,则= CO = .在 RtZ35 中，ZA8O = N8AO = 45,页脚,页脚则相关各点的坐标分别是0(000), 3(/0,0), A(0,/T,0), C(0,0,l).所以而=(6,一/0), Ad = (0, /l).设神=电y, z是平面48c的一个法向量，由,/(AB = 0,nAC = 0J /3x - Ey = 0, 1_&y + z = 0取 x = l,得 = (1,1,用).易知n=（i,o,o）是平面夕的一个法向量.设二面角3acp

24、的平面角为。，由图可知，所以cse =/h = 3 =正.I Mn21 V5xl 5故二面角B-AC-P的大小为arccos-.小结：本题是一个无棱二面角的求解问题.解法一是确定二面角的棱，进而找出二面角的平 面角.无棱二面角棱的确定有以下三种途径：由二面角两个面的两条相交直线确定棱， 由二面角两个平面的两条平行直线找出棱，补形构造几何体发现棱；解法二则是利用平面 向量计算的方法，这也是解决无棱二面角的一种常用方法，即当二面角的平面角不易作出时， 可由平面向量计算的方法求出二面角的大小.值围.命题目的：本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思 维能力和运算能力.过

25、程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空 间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程： ,贞脚解法一：（【）证：由已知7/AB且/加。为直角，故ABFD是矩形，从而跖又底面ABCD,a?_L49,故由三垂线定理知CDLPD.在APDC中，E、厂分别PC、的中点，故）能从而切_LM由此得，面颂（II）连结力C交朋于G易知G为力。的中点.连接戈;，则在中 易知龙81,又因 为，底面傲故房_L底面4%ZZ在底面力时中，过6作垂足为/,连接取 由三 垂线定理知4LL8从而/发修为二面角斤的平面角.设力?刘则在川。中，有 酢PA- - ka. TOC o 1-5 h

26、z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 22以下计算。/,考察底面的平面图,连结故弹GBDFBD因 Saouf _ BD GH=GB DF. 22在/1做中，因为 AB=a,AA2a,得 BAyfa.而出L陷1 AX, D庄AB,从而得 22M GBABaa君Ga= =a.BDy5a51 , 一ka 代因此 tan/EHG=-= =GH岳 2a5由女0知NEG是锐角，故要使NEG30。，必须Jttan3O = , 23解之得，k的取值围为k.15解法二:（I）如图，以力为原点，月8所在直线为x轴，/切所在直线为y轴，/夕所在直线为z轴建立空间直角

27、坐标系，设月历3则易知点爪区的坐标分别为力(0,0,0), B(a,0,0), C(2a, 2a, 0),0(0,24 0), Ka, 2a, 0).从而。C =(2a,0,0), BF =(0,2af 0),DC B尸二0,故皮 1 BF .设琢6,则尸(0,0,方)，而为房中点.故. ( I) ,从而BE： 0,a, , DC 8七二0,故OC J. 8瓦 【2)由此得_L面侬：(II )设在x0平面上的投影为G,过G作0/1.加垂足为，由三垂线定理知功 从而NEHG为二面角斤如。的平面角.由 PA= k AB得夕(0.0. ka)a,”,字 ,G(a, a, 0).设 /(-, y, 0

28、),则 GH =(尸a,尸a, 0), BD =(-& 2a. 0),由 GH , BD -0 得-d (尸a) +23(尸4)二0,即 TOC o 1-5 h z 尸2片一 a又因丽= (x-a,y,0),且丽与丽的方向相同，故二:=_匚，即一 a 2a34由解得产一 &y二一 52户尸2aI GH | =y-a.a,从而 GH =-a-aSI 55 ,由40知，/破是锐角，由/或30。,得tanN做tan3O0,即士kAZ.23故女的取值围为4至工.考点7利用空间向量求空间距离和角众所周知，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套强有力的工具时，

29、不仅会降低题目的难度，而且使得作题具有很强的操 作性.典型例题例10. (2007年卷)如图，已知A88 4gG是棱长为3的正方体，点石在441上，点尸在CG上，且AE = FG=1.(1)求证：E, B, F, R四点共面；2(2)若点G在8C上，= ；，点M在88上，GM上BF,垂足为，求证：EM上平面BC&B；(3)用夕表示截面E8FQ和侧面8CG片所成的锐二面角的大小，求tan。.命题意图：本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和 基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力.过程指引：解法一：(1)如图，在OQ上取点N ,使ON = 1,连结EN ,

30、 CN ,则AE = Z)N = 1,CF = ND、=2.因为A七ON, ND、 CF、所以四边形AWE, CFRN都为平行四 边形.仄而 EN型D , FD / CN .又因为AZ)乡C,所以EN?C,故四边形5CNE是平行四边形，由此推知CN3E,从而 FD、/ BE .因此，E, B, F,乙四点共面.(2)如图，GM LBF ,又 BM 上BC ,所以NBGM = NCFB ,BM = 5Gtan /BGM = BGtan ZCFB = BG匹= -x- = l.CF 3 2因为所以A8W石为平行四边形，从而AB EM .又A3,平面8CG4,所以平面8CCe.(3)如图，连结石”.

31、因为EM工BF,所以3尸，,平面励7,得石于是NE7/M是所求的二面角的平面角，即NEHM = 8.因为 NMBH = NCFB,所以 MH = BM,sin NMBH = BM/in NCFB=BM,= lx - (l =. =9JBC2CF2 后 + 2: 713解法二:(1)建立如图所示的坐标系，则屁= (3,0,1), 丽= (0,3,2),BD = (3,3,3),所以切?=8启+3，故瓯，屁，丽共面.又它们有公共点3,所以E, B, F, 2四点共面.(2)如图，设A/(0,0, z)，则Ga/=(0,-2,13)而 BF = (0,3,2),*2由题设得GM3尸= 3 + z2

32、= 0,3因为 M(0,0,l), E(3,0,l),有 ME = (3,0。)，又 3耳=(0,0,3), 沅= (0,3,0),所以区3区=0, ME.BC = 0 ,从而 ME 工ME 工 BC.故MK_L平面3。百.(3)设向量丽= (x, y,3)_L截面于是丽，诙，BP 1.BF .而屁= (3,0,1), 赤= (0,3,2),得丽诟= 3x + 3 = 0,旃呼= 3y + 6 = 0 ,解得 x = -, y = 2,所以丽=(一1,一2,3).又丽=(3,0,0)_1.平面8。蜴，所以8户和区4的夹角等于。或兀一6 (6为锐角).朋明 1 是 cos 0 = .I：= .

33、.网网 V14故 tan 0 = /3 .,页脚小结：向量法求二面角的大小关键是确定两个平面的法向量的坐标，再用公式求夹角；点面距离一般转化为AB在面切厂的法向量G上的投影的绝对值.例11. （2006年全国【卷）如图，人4是互相垂直的两条异面直线，是它们的公垂线段，点力、6在，上，C在，2上，和U磔M V(I)证明47JL历;（II）若N4C8 = 60，求AB与平面/何。所成角的余弦值.命题目的：本题主要考查异面直线垂直、直线与平面所成角的有关 知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间角; 方法二关键是掌握利用空间向量求空间角的一般方

34、法.解答过程：解法一：（【）由已知3匹,卜工1 一期Ch二M可得 ，2_L平面被V：由已知,力JU侬亚V；可知儿小5且ANLNB.又AN为力C在平面ABN的射影.：.ACLNB（II ） VRtA6lARtAm，月小比;又已知N/亿氏60，因此/以?为正三角形.VRtAJABRtAm :.NON忙NB,因此N在平面/碗的射影是正三角形力町的中心，连结BH. 4NBH为肪与平面/18C所成的角.平AB在 RtANHB 中，cgs/NB* 吟=7=芈.B 平AB3解法二：如图，建立空间直角坐标系Wxyz.令MN=1,则有 4（一 1,0,0）,3（1,0,0）,M0,1,0）,（】）；J介是4、（

35、的公垂线,平面例MB平行于z轴.故可设C（0.1,勿）.于是=（1,L0).一 =1+(1)+0 = 0J.ACLNB.（II ） V加，A I | = | L 又已知/力60 一/伊。为正三角形，/1俏aU比2, 在RtZiG5中，A法班，可得川故C（0.1, y2）.连结.作NH1MC于，设”（0,人，也入）（X 0）. = （0,1-入，一也入），=（0,1,邛）,? = 1-X-2X-0, 、=1.0./（o,专），可得=（0,* 乎），连结必则=（l,g,V =0+1 -=0, .,又MCCBIkH, ：.HN工平面ABC, N.A刚为脑与平面加。所成的角.又=（一 1,1,0）,4

36、3/6:.cos/NBa =-=得二，厂 6前乖考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择 题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.典型例题例12.如图（1）,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚 线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时 容积最大.思路启迪设四边形一边A。,然后写出六棱柱体积，利用均值不等式，求出体积取最值时 仞长度即可.解答过程：如图（2）设力易知N力吩=60 ,且N/1物=308?=2a=正六棱柱体积为V .Jz= 6- - （!2z/）2 sin60VJa = 2（12 -

37、a22oo 2=（l - 2ci）（l - 2a）4a W （一 .88 3当且仅当l2a=4d =时，体积最大，61?此时底面边长为12a=l2X =一.63，答案为L .6例13 .如图左，在正三角形月比中，D、E、尸分别为各边的中点，,页脚GF=AB= V3 a .G、H、/、J分别为月月（A. 8、C）汝以 龙的中点，将沿破团以折成三棱锥后，GH与/所成角的度数为（A. 90B、60a 45D、0思路启迪画出折叠后的图形，可看出G，”是一对异面直线，即求异面直线所成角.过点分别作“和G的平行线，即,4与E所以/月尸即为所求.因此G与所成角为60 ,答案：8例14.长方体ABCD-ABC

38、D中,设对角线08与自出发的三条棱分别成8、 7角 求证：cos o +cos3+cos, = l设46与自出发的三个面成a、8、/角，求证： cos- a +cos 万+ cos-y =2思路启迪因为三个角有一个公共边即员在构造 的直角三角形中，角的邻边分别是从长方体一个顶点出 发的三条棱，在解题中注意使用对角线长与棱长的关系利用长方体性质，先找出a, , /,然后利用各边 所构成的直角三角形来解.解答过程：连接阅，设/加4=。，长方体三条棱 长分别为a, b, c,设队B=lo a1贝ij cos- ；4/?2 9=r _2五R 3cos ZOAOi = R3而展地 R11故填13【专题训

39、练与高考预测】一、选择题.如图，在正三棱柱力心中，已知?!比1, 在上，且盼1,若49与侧面44CG所成的角为。，则a的值为B.c arctan 典 4D. arcsin4.直线a与平面a成6角，3是平面a的斜线，是平面。与a异面的任意直线，则a与6所成的角（）a.最小值e,最大值不一。C.最小值。，无最大值B.最小值6,最大值三2D.无最小值，最大值三43.在一个45。的二面角的一平面有一条直线与二面角的棱成45。角，则此直线与二面角的 另一平面所成的角为（）A. 30 B. 45 C. 60D. 904B4.如图，直平行六面体的棱长均为2, NBAO=60,则对角线力C与侧面小所成的角的正

40、弦值为（A.B.2D.c V225.已知在A43C中，止9,月仁15, N84C=120,它所在平面外一点尸到A48c三顶点的距离都是14,那么点尸到平面MBC的距离为（）A. 13B. 11C. 96.如图，在棱长为3的正方体4%48心中，M N分别是棱4夙4的中点,则点8到平面和W的距离是（）B. V3八6追C. 5D. 2D. 7.将NQMN = 60。，边长称匕?的菱形外河沿对角线闾折成60的二面角，则期与川Q 间的距离等于（ V6C. ci4A.与2.二面角a一/一/的平面角为120,在Q, A8JJ于B,月次2,在夕，CDU 于D,3,除1, V是棱，上的一个动点，则4价。/的最小

41、值为（A.2逐B. 2V2D. 2、石.空间四点乩b、a 中,每两点所连线段的长都等于外动点尸在线段/仍上，动点在线段口上，则与。的最短距离为（）C.与2D. a.在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ,现有一正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折捶），那么包装纸的最小边长应为（）A. (& +与aB.C. (1 +。D.1 + 73a211.已知长方体/氏中，A&A&2,若棱仍上存在点只 值DPJlPC ,则棱力9的长的取值围是（）A. (OjB. (0,V2 C. (0,2D. (1,7212.将正方形/仍口沿对角线力?折起,使点在平面/伤。外，则如与平面M9C所成的角一定不

42、等于（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90二、填空题1.如图，正方体力如A力为的棱长为1, 是力心的中点，则下列四个命题：g到平面力比；的距离是L； 2直线以与平面/I附4所成角等于45。；空间四边形力比以在正方体六个面的射影围成 面积最小值为-;2班与纲所成的角为arcs in10.如图，在四棱柱/例第一中，P是力 上的动点，为口上的动点，四边形月比满 足时，体积/teb恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）.边长为1的等边三角形力旗中，沿比边高线 折起，使得折后二面角仞。为60 ,则点力到 比的距离为一点到平面/设;的距离.在水平横梁上4 5两点处各挂长为50cm的细绳，/H

43、A 8V； /步的长度为60cm,在亚丫处挂长为60cm的木条，.树,平行于横梁，木条的中点为0,若木条绕过。的铅垂线旋转60。，则木条比原来升高了5.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点/在。平面,其余顶点在。的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到a的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面a的距离可能是:3；4；5； (4)6；7.以上结论正确的为.(写出所有正确结论的编号) 6.如国，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔(不 计小孔直径)、6、。，它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器 存水的最大容积是小 三

44、、解答题.在正三棱柱ABCABG中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BBi上，且BM二BM, 3又 QUAC；(1)求证：CMXCiD；2) 求AAi的长.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD二2, AB=PA二后，PAJ_底面ABCD, E是AD的中点，F在PC上.(1)求F在何处时，EF,平面PBC；(2)在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.如图，四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD, SBQ.(1)求证 BCJLSC；(2)求面ASD与

45、面BSC所成二面角的大小；(3)设棱SA的中点为求异面直线DM与SB所成角的 大小.在直角梯形ABCD中，ND二NBAD二90o,AD二DCdAB二a,(如图一)将)沿AC折起，使D 2到记面AC。为夕,面ABC为川.面BC。为人(1)若二面角心AC-/?为直二面角(如图二)，求二面角尸-BC-y的大小；(2)若二面角a-AC-4为60。(如图三)，求三棱锥。-ABC的体积.如图，已知正方形/应口和矩形所在的平面互相垂直，川先及，是线段跖 的中点.(1)求证/平面BDE；(2)求二面角小片8的大小；(3)试在线段力C上确定一点只 使得勿与8,所成的角是60。.【参考答案】一.选择题V3DE _

46、 则MC和平面ADU两相交直线AD, AG均垂直 ，MC_L面 ADG,于是 MCJ_DC.(2)解:在短形BBCC中,由CM_LDG知DCCsZBMC,设 BB产h,则 BM= - h4 h： a= ： h,求得 =/2a42从而所求AA产JL.解：（I）以月为坐标原点，以射线49、/以月尸分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则夕(0, 0,虎)，系0, 0, 0),系0, /2 , 0), C(2, V2 , 0),系2, 0, 0),系 1,0, 0)/在上上，可令而=2正,设网x, y, z）BC =（200）, PC =（2. V2-V2）EF = （x-l. y, z）:EF

47、1平面PBC,，而无=0且而团=0,又无=灰,可得2=_1/ = 1,），= 2 =3故/?为的中点. 22（H）由（【）可知：EF1PC,且 EELBC即 EFL4D.牙是尸。与,4。的公垂线段，其长为1声=1（IH）由（【）可知定=（2,-即为平面府的一个法向量而丽=（2,-应。）设外与平面府所成角，则:sin夕二cos （丽正卜BDPC |BD|e|PC|=T。=arcs in ,故BD与平面BEF所成角为arcs in g 66. （1）证法一：如图，:底面ABCD是正方形， ABCXDC.SD_L底面ABCD, ADC是SC在平面ABCD上的射影, 由三垂线定理得BC_LSC.证法二:如图1, T底面ABCD是正方形,ABCXDC./SD_L 底面 ABCD,ASD1BC,又 DCnSD=D,，BC_L平面 SDC, ABC1SC.（2）解：如图2,过点S作直线/HO, ./在面ASD上,底面ABCD为正方形，./AO8c./在面BSC上，/为面ASD与面BSC的交线. / SD AD. BC SC,. I SDJ SC, ：.NCSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.VBD=a/2 , SB二，SAD二 L A ZCSD = 45.（3）解 1：如图 2, VSD=AD=1, ZSDA=