【张量分析ppt课件】张量分析课件第五章 曲线坐标

1、第五章 曲线坐标前面各章主要是通过三维Euclid矢量空间V中引入标准正交坐标系o；i1, i2, i3。并由这一标准正交坐标系的基底矢量构成张量空间及张量 ，进而在张量空间的元素（张量）间建立了各种运算及张量分析 。由于自由矢量空间 V 中的元素（自由矢量）不但可以通过一组标准正交基底 i1, i2, i3 线性表示。而且任意一组线性无关的矢量 r1, r2, r3都可以用来作为基底和线性表示 V 中的自由矢量 。这样的任意线性无关矢量组r1, r2, r3作为基底的 x V 的线性表示： 的系数 的3元数称为 x V 在基底r1, r2, r3上的坐标。这里 的右上角标 i不是 的幂。通常

2、称为 的上 标。 通常称为矢量 x V 的曲线坐标。当r1, r2, 编辑课件r3是相互正交的V中每一点都不变的单位矢量时， 称为 x V的直角坐标。显然 x V的曲线坐标 随基底的变化而不同。也正是这种变化使得对不同的物理、力学问题，或是 Euclid 空间的某些几何属性采用不同的曲线坐标，其数学表述形式上将会不同。同一问题的不同曲线坐标描述有的更为直接，有的可能会很复杂。当然对具体问题的数学表述越直接越好。这就要求在对具体问题进行数学表述时应当首先选择一个好的曲线坐标（本质上不同曲线坐标的同一问题表述都是等价的）。正是为了这一目的，本章将对曲线坐标进行讨论。 设V是三维 Euclid 矢量

3、空间。o；i1, i2, i3是V 中事先给定的标准正交坐标系。或称为参考坐标系。对 x V 有： 位置矢量 x = xi ii 在V0 中标定一点（x1, x2, x3）。作为约束5.1 曲线坐标系编辑课件矢量空间Vx 中的所有矢量 ux x+y ，可以用Vx的线性无关矢量rx1, rx2, rx3线性表示（rx1, rx2, rx3并不依赖i1, i2, i3的选取）。在直角坐标系中所有位置矢量 xV0 确定的Vx的线性无关矢量都取为： 更为一般的情况，Vx 的线性无关矢量 rx1, rx2, rx3 对不同的xV是完全任意的。而曲线坐标系正是在完全任意的rx1, rx2 , rx3 Vx

4、 的所有Vx 约束矢量空间的线性无关基底间确定一种关系而引入。设 xV0 ，且： oAx 3x 2x 1x 3x 2x 1xi 2i 1i 3r 3r 2r 1图51式中r1, r2, r3是x点Vx的一组基底（一般是非正交、非单位长度）。 是将x平移使得x的起点至A点时的矢量在 r1, r2, r3 基底上的线性表示系数（如图51所示）。 编辑课件显然对给定的x，其系数x1, x2, x3是确定不变的。但 随r1, r2, r3不同的取值而变化的。当 x 取另一给定值时，同样同样x1, x2, x3是确定不变的。但 随 r1, r2, r3 的不同的取值而变化。尽管 ；r1, r2, r3

5、对不同的xV0 的给定值有不同的取值，但它们都是针对 x 的给定值对应的x1, x2, x3 值而变。或者说： （5.1-1） 对确定的 xV0。( 5.1-1 ) 的函数形式可取不同形式。如果在选取( 5.1-1 )的函数时，对每一位置矢量 xV0 都选同一形式的函数：（5.1-2） 且 和x1, x2, x3在 x的取值域内是一一对应的。那么称 为x取值域内的一组曲线坐标。 编辑课件例1： 设（5.1-2）式的曲线坐标取为： x的取值域为：试画出曲线坐标系的几何示意图。解：由实函数理论可知在 x 的取值域内： 是一一对应的三个实函数，其反函数存在。且： 因此这一组三个函数是 x 取值域内的

6、曲线坐标。 当 时： 编辑课件x 1x 2x 3x 2Aox 3x 1图52这是o；i1, i2, i3坐标系中的球面(本例中八分这一球面)。 当 时： 这是o；i1, i2, i3坐标系内顶点在o的锥面。当 时： 这是o；i1, i2, i3坐标系内的过x3轴的平面。图52给出了由 确定的A点处 三个曲面的交点。 所确定的编辑课件在例1中可以看出在o；i1, i2, i3坐标系中的点x1, x2, x3可由给定的曲线坐标（5.1-2）中的 的三个曲面交点确定。一般地由（5.1-2）曲线坐标： 所确定的三个曲面称为过三曲面交点的 曲线坐标面。 曲面的交线； 曲面的交线； 曲面的交线分别称为曲线

7、坐标线。 设o；i1, i2, i3是三维 Euclid 矢量空间的标准正交坐标系； 是曲线坐标； 是点处的一组线性无关矢量，且： 在标准正交坐标系中引入了Einstein求和约定：同一乘积项中角标（下标）重复且仅重复一次表示从1至3求和。在曲在曲线坐标的情况下这一求和约定修正为：同一乘积项中上标和下标重复且仅重复一次表示从1到3求和。 编辑课件为此将参考坐标系o；i1, i2, i3中 x 的坐标x1, x2, x3记为 x1, x2, x3则： 由于 是一一对应的函数。因此有： 这表明 是线性无关的三个矢量。因此这三个矢量编辑课件可以作为 处的矢量空间 Vx 的基底。即： （5.1-3）

8、（5.1-4） r1, r2, r3称为参考坐标系o；i1, i2, i3中位置矢量x处的局部基。 x；r1, r2, r3称 x 处的局部坐标系。或称为 x 处的曲线坐标系。例2： 试求例1曲线坐标（球坐标）的局部基矢量。 解： 编辑课件同理可得：显然球坐标的基底矢量r2、r3的模不是1。但球坐标的基底是相互正交矢量。由矢量导数的几何意义可知 是 曲线坐标线在 点的切矢量。 编辑课件5.2 曲线坐标局部对偶基在标准正交坐标系中，任意位置矢量 间Vx的基底都是大小和方向不变的 i1, i2, i3矢量。但在曲线处的约束矢量坐标系中 ，基底矢量是随位置矢量 而变化的。即不底矢量称为自然局部基矢量

9、。一般情况r1, r2, r3是非正交的同的 x处的约束矢量空间Vx 的基底是大小和方向都变化的矢量。对给定的曲线坐标（5.1-2）, 按（5.1-3）式可确定矢量 x 处的约束矢量空间Vx 的一组基底矢量。且这一组基。但在Vx矢量空间中存在矢量r1, r2, r3使得r1与r2、r3正交； r2与r3、r1正交； r3与 r1、r2正交。且 r1, r2, r3是线性无关的矢量。因此 r1, r2, r3也是 Vx 的一组基底。由于 r1, r2, r3是由r1, r2, r3派生的矢量，这两组矢量称为曲线坐标系中位置矢量 x 处的互为对偶的局部基矢量。r1, r2, r3称为曲线坐标编辑课

10、件系协变基底；r1, r2, r3称为曲线坐标系逆变基底； Vx中矢量在协变基底上的坐标称为矢量的逆变分量 ；Vx 中矢量在逆变基底上的坐标称为协变分量。即对 uVx ： u1, u2, u3与u1 , u2 , u3是 u 在协变基底和逆变基底上的逆变分量与协变分量。 一、逆变基底对给定的曲线坐标： 令：（5.2-1） 定义：（5.2-2） 编辑课件则：（5.2-3） 式中 是广义 kronecker 符号。且： （5.2-4） r1, r2, r3线性无关。即（5.2-2）定义的r1, r2, r3是Vx的基底，且是r1, r2, r3的对偶基底。或称为Vx的逆变基底。例3：试证明：1）

11、2） 证：编辑课件1） 其中 ri = rij ij 2） 编辑课件例4：设曲线坐标：试求曲线坐标（柱坐标）的协变和逆变基矢量。解：编辑课件编辑课件二、基本度量在曲线坐标系中，当r1, r2, r3；r1, r2, r3确定后。则对偶的两组局部基矢量通过矢量的点乘可定义： （5.2-5） gij, gij分别称为逆变和协变度量系数。度量系数具有如下性质：1） 2） 3） 4） 对任意矢量a有： （5.2-6） 证：1） ；编辑课件同理： 2） ；同理： 或 又 ；同理： 或 3） 等式两边点乘 ik 得： 4） 同理可得： 证毕。编辑课件例5：试求下面曲线坐标系的 gij、gij 。1）柱坐标

12、系： 2）球坐标系： 解：1）由例4得： 编辑课件 编辑课件2）由例2得： 编辑课件 编辑课件三、弧微分、面元和体元设曲线坐标： BPx 3oAx 2x 1Ci 2i 1i 3r 3r 2r 1图53位置矢量 x = xi ii 处协变基底为：（5.2-7） （5.2-8） 式中 ds 称为弧微分。当分别取 时，ds 分别记为 ds1 ；ds2 ；ds3 。且： ds1, ds2, ds3称为曲线坐标的线弧微分。如图（53）中 ds1= PA、 ds2 = PB、 ds3 = PC、。由图中的曲面四面体PABC定义坐标面元素： 编辑课件（5.2-10） 体元素：（5.2-11） 例5：试证明：

13、证： 编辑课件 同理可得dS2, dS3的表达式为：由例3可知： 例6：试求图53曲边三角形ABC的面积 dS = dSn。（ n 为曲边三角形ABC的单位外法线矢量。） 解： 编辑课件oAx 3x 2x 1x 3x 2x 1xi 2i 1i 3r 3r 2r 1图54四、物理分量、正交曲线坐标系 如图54所示参考坐标系o；i1, i2, i3中位置矢量x处的局部基底。一般情况 r1, r2, r3是非单位矢量，且 r1, r2, r3两两非正交。V 中的任意矢量在 r1, r2, r3基底上的线性表示为：若记：（5.2-12） 显然 都是单位矢量。 在 基底上的线性表示为： 由此得：（5.2

14、-13） 编辑课件同理由r1, r2, r3的对偶（逆变）基底得：（5.2-14） （5.2-15） 对矢量 ，其分量： 称为物理分量（ 是两组不同的物理分量。且两组物理分量不满足变换规律。在处理不同问题时，可任选一种作为物理分量）。 例7： 试证明物理分量 和 是u在 和 上的投影。 证： 同理可得：这表明在曲线坐标系中，矢量u的物理分量是u在曲线（局部）坐标线的投影。编辑课件设曲线坐标： 在位置矢量 x 处确定的自然局部基底矢量：相互正交，则称：是正交曲线坐标。x; r1, r2, r3称为正交曲线坐标系。在正交曲线坐标系中，虽然 r1r2r3 ，但 | r1 | , | r2 | , | r3 |不一定是单位长度。因此r1, r2, r3一般不是单位正交基底。另一方面即使将 r1, r2, r3 单位化所得的基底 一位置矢量 x 处是一组单位正交基底 ，但不同的位置矢量，尽管在每处的单位正交基底是不同的 。而标准正交基底则在每一位置矢量 x 处都具有相同的单位正交基底。或者说当 不随位置矢量 x 变化时， 是标准正交基底。 如果r1, r2, r3是两两正交的自然局部基底。由(5.2-2)式得： 编辑课件 ; r1与r2r3是夹角为零的两个矢量。即： 由例3可得： 又 r1