概率论与数理统计全面课件分析讲解

1、概率论与数理统计全面课件分析讲解概率论与数理统计是研究什么的？概率论从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。 数理统计从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。 随机现象：不确定性与统计规律性第一章 概率论的基本概念第二章 随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其概率分布第四章 随机变量的数字特征第五章 大数定律和中心极限定理第六章 数理统计的基本概念第七章 参数估计第八章 假设检验主要内容第一章 概率论的基本概念1.1 随机事件及其运算1.2 概率的定义及其性质1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 独立性1.1 随机事件及其运算如何研究随机现象呢？1.1.1

2、 随机现象 自然界的现象按照发生的可能性（或者必然性）分为两类： 一类是确定性现象，特点是条件完全决定结果 一类是随机现象，特点是条件不能完全决定结果 在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，我们预先无法断言，这类现象成为随机现象。 1.1.2 随机试验E1: 抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况；E2: 掷一颗骰子，观察出现的点数；E3: 记录110报警台一天接到的报警次数；E4: 在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命；E5: 记录某物理量的测量误差；E6:在区间 上任取一点，记录它的坐标。例1-1： 上述试验具有如下特点：1.试验的可重复性在相同条件下可重复进行； 2

3、.一次试验结果的随机性一次试验的可能结果不止一个，且试验之前无法确定具体是哪种结果出现；3.全部试验结果的可知性所有可能的结果是预先可知 的，且每次试验有且仅有一个结果出现。 在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验。随机试验常用E表示。 样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间, 记为.样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为. 1.1.3 随机事件与样本空间 分别写出例1-1各试验 所对应的样本空间例1-2： 例如在试验E2中，令A表示“出现奇数点”，A就是一个随机事件。A还可以用样本点的集合形式表示，即

4、A=1，3，5.它是样本空间的一个子集。事件发生：例如，在试验E2中，无论掷得1点、3点还是5点，都称这一次试验中事件A发生了。基本事件：随机事件仅包含一个样本点，单点子集。如，在试验E1中H表示“正面朝上”，就是个基本事件。随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“事件”， 记作A、B、C等。复合事件：包含两个或两个以上样本点的事件。两个特殊的事件必然事件：；不可能事件：. 既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理。 1. 包含关系与相等： “事件 A发生必有事件B发生” 记为AB。 AB AB且BA. 事件间的关系与运算A

5、 BAB2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个发生”，记作AB或A+B。显然：AAB，BAB；若AB，则AB=B。推广：n个事件A1, A2, An至少有一个发生， 记作 或3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记作 AB 或AB。推广：n个事件A1, A2, An同时发生，记作 A1A2An或 或显然：ABA，ABB；若AB，则AB=A。4. 差事件： AB称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生显然：A-BA； 若AB，则A-B=。5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件A与事件B不能同时发生。AB 。ABAB= 推广：n个事件A1, A2, An任意

6、两个都互不相容，则称n个事件两两互不相容。若n个事件A1, A2, An 两两互不相容，且则称n个事件A1, A2, An 构成一个完备事件组。6. 对立（逆）事件 AB , 且AB 显然有：思考：事件A和事件B互不相容与事件A和事件B互为对立事件的区别. 互不相容事件与对立事件是两个不同的概念，对立事件一定是互不相容事件，互不相容事件不一定是对立事件，对立在样本空间只有两个事件时存在，互不相容还可在样本空间有多个事件时存在交换律：ABBA，ABBA。结合律：(AB)C=A(BC)， (AB)CA(BC)。分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)。对偶(De Morga

7、n)律： 7.事件的运算性质例1-3： 某射手向一目标射击3次,Ai表示“第i次射击命中目标”, j表示“三次射击恰命中目标j次”,j=0,1,2,3.试用 A1,A2,A3的运算表示Bj,j=0,1,2,3.解例1-4：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：本节课主要讲授： 1.随机现象； 2.随机试验和样本空间； 3.随机事件的概念； 4.随机事件的关系和运算（重点）。小 结1.2 概率的定义及其性质1.2.1 概率的统计定义试验者德.摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069费勒100004

8、9790.4979K.皮尔逊1200060190.5016K.皮尔逊24000120120.5005频率的性质：一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的有放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。 2001390.6954002010.6536004010.668频率是概率的近似值，概率P(A)也应有类似特征：定义2：在相同的条件下进行n次重复试验，当n趋于无穷大时，事件A发生的频率 稳定于某个确定的常数p，称此常数p为事件A发生的概率，记作 注1：概率的统计定义不仅提供了一种定义概率的方法，更重要的是给了一种估算概率的方法在实际问题中，事件发生的概率往往是未知的，由于频率具有稳定性，我们

9、就用大量试验中得到的频率值作为概率的近似值注2：但上述定义存在着明显的不足，首先，人们无法把一个试验无限次的重复下去，因此要精确获得频率的稳定值是困难的其次，定义中对频率与概率关系的描述是定性的、非数学化的，从而容易造成误解 注3：定义2中的叙述易使人想到概率是频率的极限，概率是否为频率的极限，以什么方式趋于概率呢？ 1.2.2 概率的公理化定义定义3：若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1) 非负性公理：P(A) 0；(2) 规范性公理：P()1 ，P()0 ； (3) 可列可加性公理：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即

10、AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。性质 1概率的性质性质 2（有限可加性）设A1，A2，, An是一列两两互不相容的事件，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , n， 有 P( A1 A2 An ) P(A1) P(A2)+.P(An) 性质 3 （互补性） 证明：因为 所以有故性质4 P(A-B)=P(A)-P(AB).特别地,当 时,P(A-B)=P(A)-P(B),且P( B) P(A).证明：因为 且 ，所以性质 5（加法公式）对于任意事件A,B，有 P(A+B)=P(A)+P(B

11、)-P(AB).对任意n个事件A1，A2，, An， 有 证明：单调不减性性质 6 （可分性） 对任意两事件A、B,有 P(A)P(AB)P(AB ) , P(B)P(AB)P(AB )例1-5 设A,B为两个随机事件, P(A)=0.5, P(AB)=0.8, 求P(B).解 由P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB),得 P(B)=P(AB)-P(A)+P(AB)=0.8-0.5+0.3=0.6.解 由性质6可知，例1-6 设A,B两个随机事件, P(A)=0.8, P(AB)=0.5, 求P(AB). P(AB)=P(A)-P(AB)=0.8-0.5=0.3例1-7 设A与B互不相容,

12、 P(A)=0.5, P(B)=0.3, 求P(AB).解 P(AB)=P( )=1-P(AB)=1-P(A)+P(B) =1-(0.5+0.3)=0.2 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。 小 结1.3 古典概型与几何概型1.3.1 古典概型2.等可能性：每个基本事件发生的可能性相同. 理论上,具有下面两个特点的随机试验的概率模型,称为古典概型（或等可能概型）：1.有限性：基本事件的总数是有限的, 换句话说样本空间仅含有有限个样本点; 设事件A中所含样本点个数为r , 样本空间中样本点总数为n,则有古典概型的概率计算公式:例1-9 掷一枚

13、质地均匀的骰子,求出现奇数点的概率。事件“出现奇数点”用A表示,则A=1,3,5,所含样本点数r=3,从而解： 显然样本空间=1,2,3,4,5,6,样本点总数n=6,解1:试出现正面用H表示,出现反面用T表示,则样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT, 样本点总数n=8.A=TTH，THT，HTT，B=HHH，C=HHH, THH,HTH, HHT, TTH,THT, HTT所以A,B,C中样本点数分别为rA=3,rB=1,rC=7,例1-10 抛一枚均匀硬币3次,设事件A为“恰有1次出现面”, B为“恰有2次出现正面”,C为“至少一次出现正面”,试求 P

14、(A),P(B),P(C).则P(A)=rAn= 38, P(B)=rBn=18, P(C)=rCn= 78.例1-11 从0,1,2,9等10个数字中任意选出3个不同数字,试求3个数字中不含0和5的概率.解 设A表示“3个数字中不含0和5”. 从0,1,2,9中任意选3个不同的数字,共有 种选法, 即基本事件总数n= . 3个数中不含0和5,是从1,2,3,4,6,7,8,9共8个数中取得, 选法有 ,即A包含的基本事件数 ,则 如果把题中的 “0和5” 改成“0或5”,结果如何？例1-12 从1,2,9这9个数字中任意取一个数,取后放回,而后再取一数,试求取出的两个数字不同的概率. 解 基

15、本事件总数n=92,因为第一次取数有9中可能取法,这时可重复排列问题. 设A表示“取出的两个数字不同”. A包含的基本事件数9*8因为第一次取数有9中可能取法,为保证两个数不同,第二次取数应从另外的8个数中选取,有8中可能取法,r=9*8, 故 P(A)=rn= 9*892=89例1-13 袋中有5个白球3个黑球,从中任取两个,试求取到的两个球颜色相同的概率。解 从8个球中任意取两个,共有 种取法,即基本事件总 数 . 记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能: 全是白球或全是黑球. 全是白球有 种取法,全是黑球有 种取法,由加法原理 知, A的取法共 中, 即A包含的基本事件数 r

16、= 故说明：不管是放回抽样还是不放回抽样，也不管取球的先后顺序如何，每次取到白球的概率都是一样的 我们日常生活中的抓阄，就是不放回抽样，可见不管第几个去抽，每人抽中白球的机会相等，同抽签次序无关 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了.1.3.2 几何概型当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为说明：当古典概型的

17、试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概率. 那末 两人会面的充要条件为例1-15 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t( t0,称 为在事件B发生条件下事件A发生的概率.显然，P(A)0时，计算条件概率有两个基本的方法： 用定义计算，即在原样本空间中计算P(AB)与P(B)之比； 在古典概型中利用古典概型的计算方法直接计算，即在新样本空间B中直接计算A发生的概率.例1-18 在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从中任取一件为合格品,求它是一等品的概率.解 设A表示“任取一件为合格品”,B表示“任取一件为一等品”, 显然B

18、 A, P(A)=96%, P(AB)=P(B)=72%, 则所求概率为 例1-19 盒中有黄白两色的乒乓球,黄色球7个,其中3个是新球;白色球5个,其中4个是新球.现从中任取一球是新球,求它是白球的概率.解1 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由古典概型的等可能性可知,所求概率为解2 设A表示“任取一球为新球”,B表示“任取一球为白球”, 由条件概率公式可得解 设A表示“第一次取球取出的是白球”,B表示“第二次取球取出的是黑球”,所求概率为P(B|A). 由于第一次取球取出的是白球,所以第二次取球时盒中有5个黑球2个白球,由古典概型的概率计算方法得例1-20 盒中有5个

19、黑球3个白球,连续不放回的从中取两次球,每次取一个,若已知第一次取出的是白球,求第二次取出的是黑球的概率.性质2 若A与B互不相容，则 性质3 条件概率的性质性质1若事件 ，两两互不相容，且P(B)0，则概率的乘法公式当 P(A)0 时，有 P(AB)=P(A)P(B|A).当 P(B)0 时，有 P(AB)=P(B)P(A|B).乘法公式还可以推广到n个事件的情况：设 P(AB)0 时，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).设 P(A1A2An-1)0, 则P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1).例1-21 在10个产品中,有2件次品, 不放

20、回的抽取2次产品, 每次取一个, 求取到的两件产品都是次品的概率.解 设A表示“第一次取产品取到次品”,B表示“第二次取产品取到次品”,则 故 例1-22 盒中有5个白球2个黑球,连续不放回的在其中取3次球,求第三次才取到黑球的概率.解 设Ai(i=1,2,3)表示“第i次取到黑球”,于是所求概率为例1-23 设 P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25, 求 P(A|B).解1.4.2 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式全概率公式 设随机试验对应的样本空间为,设A1,A2,An是样本空间的一个完备事件组（或划分），且P(Ai)0, i=1,2,n，B是任意一个事件,则

21、注：全概率公式求的是无条件概率例1-24 盒中有5个白球3个黑球, 连续不放回地从中取两次球, 每次取一个, 求第二次取球取到白球的概率.解 设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则由全概率公式得例1-25 在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%, 35%, 35%,并且在各自的产品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.解 设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”, A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”, A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”,B表示

22、“从该厂的这种产品中任取一件为次品”,则P(A1)=30%， P(A2)=35%, P(A3)=35%,P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=3%.由全概率公式得例1-26 设在n(n1)张彩票中有1张奖券, 甲、乙两人依次摸一张彩票, 分别求甲、乙两人摸到奖券的概率.解 设A表示“甲摸到奖券”,B表示“乙摸到奖券”.现在目的是求P(A),P(B), 显然P(A)=1/n.因为A是否发生直接关系到B的概率,即于是由全概率公式得 这个例题说明,购买彩票时,不论先买后买,中奖机会是均等的,这就是所谓的“抽签公平性”. 贝叶斯(Bayes)公式 设A1,A2,An是样本空间

23、的一个完备事件组（或划分）, B是任一事件, 且P(B)0, 则例1-27 在例1-24的条件下,若第二次取到白球,求第一次取到黑球的概率.注：Bayes公式求的是条件概率.【盒中有5个白球3个黑球, 连续不放回地从中取两次球, 每次取一个, 求第二次取球取到白球的概率.】解 使用例1-24解中记号,设A表示“第一次取球取到白球”,B 表示“第二次取球取到白球”,则所求概率为 , 由贝叶斯公式可求注意到例1-28 在例1-25的假设下,若任取一件是废品,分别求它是甲、乙、丙生产的概率.解 由贝叶斯公式，【在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品,它们的产量各占30%, 35%, 35%

24、,并且在各自的产品中废品率分别为5%, 4%, 3%. 求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.】例1-29 针对某种疾病进行一种化验,患该病的人中有90%呈阳性反应,而未患该病的人中5%呈阳性反应.设人群中有1%的人患这种病.若某人做这种化验呈阳性反应,则他换这种疾病的概率是多少?解 设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则由全概率公式得再由贝叶斯公式得 本题的结果表明，化验呈阳性反应的人中，只有15%左右真正患有该病.2、全概率公式及其应用(求无条件概率)小 结3、贝叶斯公式及其应用(求条件概率)1、条件概率及乘法公式；定义1 若P(AB)=P(A)P(B) ,则称A与B相

25、互独立,简称A,B独立.性质2 若A与B相互独立, 则A与B, A与B, A与B都相互独立.1.5.1 两事件独立性质1 设P(A)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(B)=P(B|A).设P(B)0,则A与B相互独立的充分必要条件是P(A)=P(A|B).1.5 独立性回忆：以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。由性质2知，事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 独立与互斥的关系这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件互斥例如二者之间没有必然联系独立是事件间的概率属性互

26、斥是事件间本身的关系11由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.两事件相互独立两事件互斥.由此可见两事件互斥但不独立.又如：两事件相互独立.两事件互斥例1-29 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率. 解 设A表示“甲射中目标”, B表示“乙射中目标”, C表示“目标被击中”,则C=AB,A与B相互独立，故P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.9*0.8=0.98.或利用对偶律亦可.注：A，B相互独立时,概率加法公式可以简化,即当A与B相互独立时P(AB)=1-P(A)P(B)例1-30 袋

27、中有5个白球3个黑球, 从中有放回地连续取两次, 每次取 一个球, 求两次取出的都是白球的概率. 解 设A表示“第一次取球取到白球”,B表示“第二次取球取到白球”,由于是有放回抽取,A与B是相互独立的,所求概率为例1-31 设A与B相互独立,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,且P(A)=1/3，求P(B). 即解得解 由题意，P(AB)=P(AB)，因为A与B相互独立，则A与B，A与B都相互独立，故P(A)P(B)=P(A)P(B)，定义2 若三个事件A、B、C满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C

28、两两相互独立；若在此基础上还满足：P(ABC)P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立, 简称A、B、C独立.1.5.2 多个事件的独立 一般地,设A1,A2,An是n个事件,如果对任意k(1kn), 任意的1i1i2 ik n,具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1,A2,An相互独立。思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.三个事件相互独立和两两独立的关系.AB与CD独立吗？例1-32 3人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别为 1/5, 1/3, 1/4. 求此密码被译出的概率.解法1 设A,B

29、,C分别表示3人能单独译出密码，则所求概率为 P(ABC)，且A,B,C独立，P(A)= 1/5 ，P(B)= 1/3 ，P(C)= 1/4.于是解法 2 用解法1的记号， 比较起来, 解法1要简单一些,对于n个相互独立事件A1,A2,An,其和事件A1A2An的概率可以通过下式计算：例1-33 3门高射炮同时对一架敌机各发一炮,它们的命中 率分别为0.1, 0.2, 0.3,求敌机恰中一弹的概率。解 设Ai表示“第i门炮击中敌机”,i=1,2,3, B表示“敌机恰中一弹”,则例1-34 用步枪射击飞机，设每支步枪命中率是，求（1）现用250支步枪同时射击一次，飞机被击中的概率；（2）若想以的

30、概率击中飞机，需多少支步枪同时射击一次？小 结1、两个事件的独立性；2、多个事件的独立性.本章小结1、基本概念： 概率 条件概率 独立性2、主要公式： 古典概型 几何概型 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式3、计算： 事件运算 概率计算 第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量及分布函数2.2 离散型随机变量2.3 连续型随机变量及概率密度函数2.4 随机变量函数的分布定义 1 设E是随机试验，样本空间为，如果对每一个结果（样本点），有唯一确定的实数X()与之对应，这样就得到一个定义在上的实值函数X=X()称为随机变量. 随机变量常用X，Y，Z，.或X1，X2，X3，,.2.1 随

31、机变量及分布函数 随机变量 关于随机变量的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量。随机变量的特点: 1 、X的全部可能取值是互斥且完备的2、 X的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量 定义2 设X是随机变量，对任意实数x，事件Xx的概率PXx称为随机变量X的

32、分布函数，记为F(x)，即 F(x)P Xx. 易知，对任意实数a, b (ab), P aXbPXbPXa F(b)F(a).2.1.2 随机变量的分布函数 1、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2); 2、规范性：对任意实数x，0F(x)1，且 3、右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是判别一个函数是否是分布函数的充分必要条件。分布函数的性质例2-1 判断函数是否为某一随机变量的分布函数？解 由于F(x)单调不减且右连续，且有从而，F(x)是某一随机变量的分布函数。定义2 若X为离散型随机变量，可能取值为 x1, x2,

33、 , xn, ，称2.2 离散型随机变量或为X的概率分布列，简称分布列，记为2.2.1 离散型随机变量的分布列与分布函数定义1 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个值，则称X为离散型随机变量。反之，若一个数列pi具有以上两条性质，则它必可作为某离散型随机变量的分布列（律）。（1）非负性：（2）规范性：分布列pk的性质：X 0 1 2求常数C.解：由规范性知，0.2+C由离散随机变量的分布列很容易写出其分布函数分布函数例2-2 设离散型随机变量X的分布列为例2-3 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9， 求他两次投篮投中次数X的概率分布列与分布函数。解：X的可能取值为0,1,2. 分布列为分布

34、函数为2.2.2 常见的离散分布1、单点分布（退化分布）如果随机变量 X 只取一个值 a ，即分布列为则称随机变量 X 服从单点分布 若随机变量X只取两个可能值0，1，且 PX=1=p，PX=0=1-p，则称X服从参数为p的两点分布，或0-1分布。2、两点分布其中 0p1, q=1-p, 则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为Xb(n,p).3、二项分布注：设将试验独立重复进行 n 次，每次试验中，事件 A 发生的概率均为 p ，则称这 n 次试验为 n 重伯努利试验. 若以 X 表示 n 重贝努里试验事件 A 发生的次数，则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布！若随机变量 X 的

35、可能取值为0，1，2，.,n, 而 X 的分布列为例2-5 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400次，试求其命中次数不少于2的概率。解 设X表示400次独立射击中命中的次数，则Xb(400, 0.02)，故PX21 PX0PX1400399)=4、 超几何分布 其中 ，则称X服从参数为 的泊松分布，简记为5、泊松分布注：把每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件泊松分布可以作为描述稀有事件发生次数概率分布的一个数学模型， 也可以作为研究某段时间内陆续到来的质点流概率分布的数学模型设随机变量X的可能取值为0,1,2,.,n,.,而X的分布列为例2-7 美国西部每周发生地震的次数服从参数为2

36、的泊松分布， 求两周内至少发生3次地震的概率解：泊松定理 设随机变量Xnb(n, p), (n0, 1, 2,), 且n很大，p很小，记=np，则 例2-8 已知某种疾病的发病率为0001， 某单位共有5000人， 问该单位患有这种疾病的人数超过10的概率有多大？本节课主要讲授：1、随机变量与分布函数的概念；2、离散型随机变量及其分布列；3、四个重要分布: 单点分布、0-1分布、二项分布、泊松分布小 结 连续型随机变量及其概率密度函数2.3 连续型随机变量及概率密度函数注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概率为0. 即因为离散型随机变量X在某一指定点取值的概率不一定为0.密度函数的性质：这两

37、条性质是判定一个函数 是否为概率密度的充要条件0 xf(x)面积为1利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率0 xf(x)ab 三种重要的概率分布：均匀分布、指数分布、正态分布. 常见的连续型分布1、均匀分布1设即则例2-11 公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客在5分钟内任一时刻到达汽车站是等可能的，求乘客候车时间在1至3分钟内的概率。例2-12 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.解依题意， X U

38、 ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位所求概率为：即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站。为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.2、指数分布指数分布的概率密度和分布函数图像如下1 服从指数分布的随机变量X通常可解释为某种寿命,如果已知寿命长于S年,则再活t年的概率与年龄S无关,亦称指数分布具有“无记忆性” . 关于概率统计论中服从指数分布的随机变量X具有无记忆性。 具体来说：如果X是某一元件的寿命，已知元件已经使

39、用了S小时，它总共能使用至少ST小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用T小时的概率相等。这就是说，元件对它已使用过S小时没有记忆。 人生中，很多时候我们总是对过去的失败耿耿于怀。这种经历使我们不敢面对现实，如果我们能从指数分布受到启发，运用“无记忆性”原则，那么我们的今天和明天将会更加美好。因为即使我们人生中的S小时已经失败，但我们面前的成功仍然还有S+T，和我们S小时前的成功几率一样。 指数分布在人生中模式是：忘记过去，努力向前，向着标杆勇往直前。X 的分布函数为解 例2-14 设某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为 = 的指数分布(单位:小时). (1)任取一只这种灯管, 求能正

40、常使用1000小时以 上的概率. (2)有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以 上,求还能使用1000小时以上的概率. 指数分布的重要性质 :“无记忆性”.3、 正态分布定义 4 习惯上,称服从正态分布的随机变量为正态随机变量,又称为正态分布的概率密度曲线为正态分布曲线.正态分布曲线的性质如下：标准正态分布标准正态分布的分位数：结 论 由此看出：尽管正态分布取值范围是 ,但它的值落在 的概率为0.9973几乎是肯定的,这个性质被称为正态分布的“ 规则”.4、 伽马分布本节课主要讲授：1 、连续型随机变量的分布函数与密度函数；2、三个重要分布: 均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分布小 结

41、2.4.1 离散型随机变量函数的分布 设X 一个随机变量，分布列为 XPXxkpk, k1, 2, g(x)是一给定的连续函数，称Yg(X)为随机变量X 的一个函数，显然Y 也是一个随机变量. 2.4 随机变量函数的概率分布一般地XPkY=g(x)的可能取值为注意中可能有相等的情况.Y P例2-18 设随机变量X的分布律为XP-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4求: (1)Y=X3的分布律.(2) Z=X2的分布律.解 (1)Y的可能取值为-1，0，1，8.由于YP-1 0 1 80.2 0.1 0.3 0.3从而Y的分布律为(2) Z的可能取值为0，1，4.从而Z的分布律为ZP0

42、1 40.1 0.5 0.4 例2-19 设随机变量X的分布律为解 因为所以Y只能取值-1,0,1,而取这些值的概率为故Y的分布律为YP例2-20 2.4.2 连续型随机变量函数的概率分布例2-21例2-23解例2-24此分布称为对数正态分布. 以上各例中求Y=g(X)的概率密度的方法都是应用定理,故称为“公式法”.需要注意的是,它仅适用于“单调型”随机变量函数,即要求y=g(x)为单调函数.如果y=g(x)不是单调函数,求Y=g(X)的概率密度较复杂.解则 例2-25中求随机变量函数的概率密度的方法称为“直接变换法”,它同样适应于非单调型随机变量的情况.当然例2-25也可以直接利用定理中的公

43、式求解.本节课主要讲授：1、离散型随机变量函数的分布列；2、连续型随机变量函数的密度函数与分布函数。小 结第三章 多维随机变量及其概率分布3.1 二维随机变量及其分布函数3.2 边缘分布3.3 条件分布3.4 随机变量的独立性3.5 二维随机变量函数的分布3.1.1 二维随机变量及其联合分布函数3.1 二维随机变量及其分布函数几何意义：分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点、位于该点左下方的无穷矩形D内的概率,见下图.yx(x,y)0D 利用分布函数及其集合意义不难看出,随机点(X,Y)落在矩形域x1X x2, y1Y y2内(如下图)的概率为：y

44、xoy2y1x2x1(x1, y2)(x2, y2)(x1,y1)(x2, y1)回忆: 分布函数F(x)的性质.联合分布函数 的性质例 3-1解定义3 若二维随机变量(X ,Y )只能取有限多对或可列无穷多对( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,)则称(X ,Y )为二维离散型随机变量. 设二维随机变量 (X ,Y) 的所有可能取值为 ( Xi ,Yj ),( i ,j=1,2,),( X, Y )在各个可能取值的概率为：PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)称PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)为( X , Y )的联合分布列，简称分布列。3.

45、1.2 二维离散型随机变量的联合分布列( X , Y ) 的分布列可以写成如下列表形式：XYy1 y2 yj x1x2xip11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pij (X,Y) 的分布列具有下列性质:回忆：分布列pk的性质.(1) 0 pk 1；(2) p1 +p2 + + pk+ =1.(1) 0 pij 1 ( i,j=1,2, ) ; 反之,若数集pij ( i,j=1,2, ) 具有以上两条性质,则它必可作为某二维离散型随机变量的分布律.例 3-2 设(X,Y)的分布律为XY1 2 3 12求常数a的值.解 由分布列性质知，例3-3 设(X,Y)的分布律为X

46、Y1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25求: (1)PX=0; (2)PY2; (3)PX0, 则称同理，对固定的i, pi. 0, 称为X xi 的条件下随机变量Y 的条件分布列定义2 给定y，设对任意固定的0，极限3.3.2 连续型随机变量的条件概率密度存在，则称此极限值为在 条件下X 的条件分布函数，记作若记 为在Y=y 条件下X 的条件概率密度，则知,当 时， 类似可定义，当 时如果 时，可得 为在X=x 条件下Y 的条件概率密度例3-17 已知(X, Y )的概率密度为求： 解：例：本节课主要讲授：1、二维随机变量的条件分布函数；2、二维离散型随机变量的条

47、件分布列；3、二维连续型随机变量的条件密度。小 结3.4 随机变量的独立性回忆：两个事件相互独立的定义若P(AB)=P(A)P(B), 则称A与B相互独立, 简称A,B独立.3.4.1 二维随机变量的独立性3.4.2 二维离散型随机变量的独立性例 3-19 设(X,Y )的分布列为YX这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为 0 的集合外，处处成立.3.4.3 二维连续型随机变量的独立性 联合分布函数与边缘分布的关系: 联合分布可确定边缘分布,但一般情况下,边缘分布是不能确定联合分布的.然而由随机变量相互独立的定义及充要条件可知,当X与Y相互独立时,(X,Y)的分布可由它的两个边缘分布

48、完全确定.本节课主要讲授：1、二维随机变量的独立性；2、二维离散型随机变量的独立性；3、二维连续型随机变量的独立性。小 结3.5 二维随机变量函数的分布3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布例 3-24 设(X,Y )的分布律为求Z=X+Y 的分布律.XYXY3.5.2 二维连续型随机变量函数的分布1、和ZXY的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZXY的密度。 结论2、 和 的分布3、商ZX/Y的分布 已知(X, Y)f(x, y), (x, y)R2, 求ZX/Y的密度。 4、其他情况 本节

49、课主要讲授：1、二维随机变量函数的分布；2、二维离散型随机变量函数的分布列；3、二维连续型随机变量函数的分布密度；4、和、极大值和极小值的分布。小 结第四章 随机变量的数字特征4.1 随机变量的期望 4.2 随机变量的方差4.3 协方差与相关系数4.1 随机变量的期望4.1.1 离散型随机变量的期望定义1 设离散型随机变量X 的分布列为也就是说, 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.如果 有限, 定义X 的数学期望PX=xk=pk , k=1,2,例4-1 设随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P 0.3 0.2 0.5求E(X).解 E(X)=(-1) 0.3+0 0.2+

50、1 例4-2 甲乙两人进行打靶,所得分数分别记为X,Y,它们的分布列分别为 X 0 1 2 P 0 0.2 0.8 Y 0 1 2 P 0.1 0.8 0.1试比较它们成绩的好坏.解 分别计算X和Y的数学期望:E(X)=00+1 0.2+2 0.8=1.8(分)，E(Y)=00.1+1 0.8+2 0.1=1 (分). 这就意味着,如果进行多次射击,甲所得分数的平均值接近于分,而乙得分的平均值接近1分.很明显乙的成绩远不如甲.下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望.1. 两点分布随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中0p1，有E(X)=0X(1-p)+1Xp=p.2. 二项分布

51、设Xb(n, p), 即从而有3. 泊松分布设XP()其分布列为则X的数学期望离散型随机变量函数的数学期望定理 设离散型随机变量X 的分布列为4.1.2 连续型随机变量的期望几种重要连续型随机变量的期望连续型随机变量函数的数学期望4.1.3 二维随机变量函数的期望XY4.1.4 数学期望的性质例4-15 4人进行射击比赛，每人射4发。在射击时，约定某人全部不中得0分，只中一弹得15分，中两弹得30分，中三弹得55分，中四弹得100分，四人射击的命中率都为0.6，求4人射击总得分的期望。即本节课主要讲授：1、离散型随机变量的期望，几类常用离散分布的期望；2、连续型随机变量的期望，几类常用连续分布

52、的期望；3、随机变量函数的期望；4、期望的性质。小 结4.2 随机变量的方差4.2.1 方差的概念 上一节我们介绍了随机变量的数学期望,它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.我们还要研究随机变量偏离期望的程度.这就需要再引入方差的概念.定义1说明：(1) 随机变量X的方差D(X)即是X的函数(X-E(X)2的期望.(2) 当随机变量的取值相对集中在期望附件时,方差较小;取值相对分散时,方差较大,并且总有方差的计算方法解等 价 公 式1. 两点分布(0-1分布)随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p其中0p 0 ，有

53、定理（贝努利大数定律）或5. 大数定律注： 贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n与事件A的概率p有较大偏差的概率很小.定理(切比雪夫大数定律)说明定理(辛钦大数定律)5.2 中心极限定理 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？定理（Linderberg-Levy）5.2.1 独立同分布序列的中心极限定理结论5.2.2 棣莫弗(De-Moivr

54、e)-拉普拉斯(Laplace)中心极限定理结 论例5-5 某系统由100个相互独立工作的部件构成，每个部分损坏的概率为，如果系统正常工作至少需要75个部件运转，试求系统正常工作的概率.本节课主要讲授：1、大数定律；2、中心极限定理。小 结第六章 数理统计的基本概念6.1 样本与统计量 6.2 抽样分布 定义1 研究对象的全体称为总体或母体。通常指研究对象的某项数量指标。组成总体的每个基本元素称为个体。从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。6.1 样本与统计量6.1.1 总体与样本定义2 从总体X 中随机抽取n 个个体，得到n 个随机变量X1，X2，.，Xn，称X1，X2，.，

55、Xn为总体X 的一个样本，n 为样本容量，样本中的个体称为样品；抽样结束后，便得到n 个具体的试验数据，记为x1，x2，.，xn，称它为一组样本观察值，简称样本值。定义3 来自总体的部分个体X1， ，Xn ，如果满足：（1）同分布性【抽样的随机性】： Xi，i=1,n与总体同分布.（2）独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。对于有限总体，采用有放回的抽样可以得到简单随机样本，但是实际使用时并不方便，所以当总体数量远远超出样本数量时，我们常用无放回的抽样近似代替有放回的抽样.而对于无限总体，仍然采用无放回抽样来得到简单随机样本.总体、样本、样本观察值的关

56、系总体 样本 样本观察值 ？理论分布 统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体.2 频数表与直方图 在实际统计统计工作中，需要对样本数据加以整理，常用的方法有列频数表和画图法,利用它们可以粗略地显示出数据的分布情况.针对一组观察数据，我们首先要对它进行分组，各组区间长度称为组距，然后计算出各组的频数，从而可以列出频数表.有时候利用作图方法能更直观地显示数据特征，一般可以利用直方图或折线图来表示.列频数表的一般步骤如下：1.确定最大值和最小值，并计算极差=最大

57、值-最小值；2.根据极差确定组段数及组距，要求包含最小值和最大值，一般可使组距相等，每个组段包括左端点或右端点，且组段数取整；3.计算频数或频率并列表.作直方图时，通常用直角坐标系的横坐标表示数据分组情况，纵坐标表示频数，这样就得到了频数直方图.如果将频数改为频率，将得到频率表以及频率直方图.如果再将频数或频率直方图中矩形上方的中点连接起来，并使端点与横轴相交，得到的图形称为折线图.例6-2 某班50名同学数学考试成绩数据如下：75 69 87 88 82 84 89 89 98 95 98 78 76 88 77 65 69 75 55 7076 77 89 83 75 69 76 72 7

58、1 75 63 78 52 69 66 100 64 51 96 79 67 68 65 73 78 71 66 78 72 76 频数频率表组序 组段 频数 频率 累计频率1 50,60) 3 0.06 0.062 60,70) 12 0.24 0.33 70,80) 21 0.42 0.724 80,90) 9 0.18 0.95 90,100 5 0.1 1合计 50 1频数直方图折线图 定义 4统计量的分布称为抽样分布.3 统计量几个常用统计量本节课主要讲授：1、总体、样本；2、常用统计量。小 结6.2 抽样分布6.2.1 三大抽样分布其中其图形如下，从图中可以看出，卡方分布一般为右偏

59、分布，随着n 的增大，密度函数曲线逐渐趋于对称，并与正态分布相似。 设X 2(n)，若对于：01，存在实数 ，满足分位数：分布的上侧分位数（分位点）。为则称分布的性质：分布可加性： 若X 2(n1)，Y 2(n2 )， X，Y相互独立，则 X + Y 2(n1+n2 )期望与方差： 若X 2(n)，则E(X)= n， D(X)=2n例6-32 . t分布其概率密度函数为概率密度函数的图形为从图中可以看出，t分布关于纵轴对称，当n 充分大时，t分布近似于标准正态分布。基本性质: f(x)关于 x=0 (纵轴)对称。 f(x)的极限为 N(0，1)的密度函数，即 分位数：设T t(n)，若对:00

60、 ， 满足则称t(n) 为t(n) 的上侧分位数（分位点）.设T t(n)，若对:00 ， 满足则称t(n) 为t(n) 的上侧分位数（分位点）.注:3. F分布其概率密度函数为概率密度函数的图形为F分布的性质：分位数：对于：00，满足PFF(m, n)=， 则称F(m, n)为F(m, n)的上侧分位数；注：证明:设FF(m,n),则注：得证!和则有6.2.2 正态总体下的抽样分布例 6-6 已知某单位职工的月奖金服从正态分布, 总体均值为 200, 总体标准差为 40 , 从该总体抽取一个容量为 20 的样本, 求样本均值介于 190210 的概率 . 解 推论6-1则有其中则本节课主要讲