高考数学试题分项版解析专题10立体几何理含解析

1、2015年高考数学试题分项版解析 专题10立体几何 理(含解析)1.12015高考安徽，理5】已知m, n是两条不同直线，0(, P是两个不同平面，则下列命题正确的是 ()(A)若a , P垂直于同一平面，则 a与P平行(B)若m, n平行于同一平面，则 m与n平行(C)若a , P不平行，则在a内不存在与P平行的直线(D)若m, n不平行，则 m与n不可能垂直于同一平面【答案】D【解析】由 A,若久，P垂直于同一平面，则 a , P可以相交、平行，故 A不正确；由B ,若m , n平 行于同一平面，则 m , n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C ,若久，P不平行，但a平面内会存在

2、平行于 P的直线，如口平面中平行于a, P交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m 与n垂直于同一平面，则 m , n平行”是真命题，故 D项正确.所以选D. TOC o 1-5 h z 【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图(尤其是画长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的 逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价2.12015高考北京，理4】设口，P是两个不同的平面， m是直线且m?a. “ m/ P ”是“ a / P

3、”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为a , P是两个不同的平面， m是直线且m? a .若“ m / P ”，则平面a、P可能相交也可 能平行，不能推出口 P ,反过来若口 P , m仁a ,则有m / P ,则“ m / P ”是“ ot / P ”的必要而 不充分条件.考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件.考查学生对空间线、面的位置关系及空间

4、面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质3.12015高考新课标1,理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 ：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一 ），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为 5尺，问米堆 的体积和堆放的米各为多少 ？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有（）（A）14 斛 （B）22 斛 （C）36 斛（D）66 斛【答案】B【解析】设用锥底面半径为r*则=所以米堆的体积为

5、二Jx 土鸟手：一，434 339故堆放的米妁为故选艮 【考点定位】圆锥的性质与圆锥的体积公式1 一【名师点睛】本题以九章算术中的问题为材料，试题背景新颖，解答本题的关键应想到米堆是-圆锥,41 一底面周长是两个底面半径与-圆的和，根据题中的条件列出关于底面半径的万程，解出底面半径，是基础4题.4.12015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 3冗B. 4冗C. 2n+4D.a+4主程阻 左视图口【答案】D【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为1,母线长为2,所以该几何体的表面积一 1 一一 一一 一是 _黑 2nMi 黑（1 +2 ）

6、 + 2乂2 =3n + 4 ,故选 D.2【考点定位】1、三视图；2、空间几何体的表面积.【名师点晴】本题主要考查的是三视图和空间几何体的表面积，属于容易题.解题时要看清楚是求表面积 还是求体积，否则很容易出现错误.本题先根据三视图判断几何体的结构特征，再计算出几何体各个面的 面积即可.5.12015高考新课标1,理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20元，则r=()正相图1248由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为，一，, 1的图为2r,其表面积

7、为一2,_ 222,24nr +nrM2r+nr +2父2r=5兀r +4r =16 + 20 n ,解得 r=2,故选 b.【考点定位】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式【名师点睛】本题考查简单组合体的三视图的识别，是常规提，对简单组合体三三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状，再根据“长对正，宽相等，高平齐”的法则组合体中的各个量.6.12015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为正视图左视图俯视囱A、1 二31 - 2 二32 二3、2 2二31c 1 11【解析】这是一个二棱锥与半个圆枉的组合体，V = n

8、x 12 M 2+_ M (- 1 M 2)父1 =几十_ ,选A23 23【考点定位】组合体的体积 .【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些 基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间 想象能力和运算求解能力.7.12015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()A. 2 +而B . 4 +/5 =质，为C = BC=下 5 = 51k = X 器 x 1=2，三棱锥表面积S表=2 J5 + 2.考点定位：本题考点为利用三视图还原几何体及求三棱锥的表面积，考查空间

9、线线、线面的位置关系 TOC o 1-5 h z 及有关线段长度及三角形面积数据的计算.【名师点睛】本题考查三视图及多面体的表面积，本题属于基础题，正确利用三视图还原为原几何体，特别是有关数据的还原，另外要利用线面垂直的性质，判断三角形的形状，特别是侧面PAB的形状为等腰三角形，正确求出三个侧面的面积和底面的面积8.12015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A） 1 +73（B） 2 十黎Zb匕 正（主）视图 侧（左）视图俯视图第建图【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，AABD,ABCD是等月形，则 S曲CD = S&BD =_2 M J2 J

10、2 =1,S&BC = SCD =万 一 一 _庭一面租 S S aCD + SaBD S S&BC + S&CD 2父1+2M ? 一2e /一一一一L 一一一 3口要直角三角形， AABC , AACD是等边三角 父四父J2sin60 =告，所以四面体的表 十百，故选B.(D) 2,2【考点定位】1.空间几何体的三视图与直观图；2.空间几何体表面积的求法【名师点睛】三视图是高考中的热门考点，解题的关键是熟悉三视图的排放规律：长对正，高平齐，宽相等.同时熟悉常见几何体的三视图，这对于解答这类问题非常有帮助，本题还应注意常见几何体的体积和表面积公式.9.12015高考新课标2,理9已知A,B是

11、球O的球面上两点，/ AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为 36,则球O的表面积为（）A. 36 兀 B.64 兀 C.144 兀 D.256 兀【答案】C【解析】如图所示，当点C；位于垂直于面HOB的直径端点时，三棱锥。-X3U的体和最大，设球。的半径为田，此时二在F二匚二二二士乂二RoR=二五,故尺=6,则球。的表面积为 S MB .I!? *1 r 7s =4.t7?: =144.t,故选匚【考点定位】外接球表面积和椎体的体积.【名师点睛】本题以球为背景考查空间几何体的体积和表面积计算，要明确球的截面性质，正确理解四面 体体积最大时的情形，属于中档题.10.

12、12015 高考山东，理 7】在梯形 ABCD 中，/ABC=, AD /BC, BC = 2AD = 2AB = 2 .将梯2形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）(A)(B)(C)(D) 2 二【答案】C【解析】直角梯形ABCDg AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1,母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为：2125V =V圆柱V圆锥=: 12 2-二 12 1 =5 二33故选C.【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的

13、结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题11.12015高考浙江，理8】如图，已知 MBC , D是AB的中点，沿直线 CD将AACD折成AACD ,所成二面角ACD B的平面角为口，则（）A. A DB :B. ADB C. ACB :D. ACB sin I-(t - 4cos)2-r cos61_ cos 8 TOC o 1-5 h z = =:! = cos 4 2 DS +- 1.文口 64丸口 c? sin 8 文口 C7sin &丫二0,Acosacosa ,当且仅当AC = BC时

14、，等号成立以立体几何为背景的创新题是浙江高考数学试卷的热点问题，12年，13年选择题压轴题均考查了立体几何背景的创新题，解决此类问题需在平时注重空间想象能力的培养，加强此类问题的训练【2015高考湖南，理10】某工件的三视图如图 3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率新工件的体积、.、=原工件的体积A 8164( .2 -1)312( 2-1)3人荷 B. 而 C. D.正视爸期投图【答案】A.【解析】 试题分析：分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分

15、别为x , y , h ,长方体上底面截圆锥的截面半径为a ,则x2+y2 = （2a）2 = 4a2,如下图所示，圆锥的轴截面如图所示，则可知a =12 -h TOC o 1-5 h z x2 y222= h=22a ,而长方体的体积 V=xyhE广 h = 2a2h = 2a2(2 2a)a a 2 -2a 3 16, ,2 ,一，2乂()=,当且仅当乂 = 丫，a=2_2a=a=一时，等号成立，此时利用率为32731627= -,故选 A.1/ .9 二二 123【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新

16、颖，属于较难题，需要考 生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一 是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变 量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值 12.12015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cni）,则该几何体的体积是（）33323403A. 8cm B. 12cm C. cm D. cm樗视及【答案】C.【解析】试题分析工由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示一.体积:=玉,J*故选C.【考点定位】1.三视图；2.空间几何体的体积计算.【名师点睛】本

17、题主要考查了根据三视图判断空间几何体的形状，再计算其体积，属于容易题，在解题过 程中，根据三视图可以得到该几何体是一个正方体与四棱锥的组合，将组合体的三视图，正方体与锥体的 体积计算结合在一起，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力，会利用所学公式进行计算， 体现了知识点的交汇.13.12015高考福建，理7若l,m是两条不同的直线，m 垂直于平面0 ，则“ l_Lm ”是“ l/a的( )A.充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若l _L m ,因为m垂直于平面a ,则l / /a或l u a ；若l /a ,又m

18、垂直于平面a ,则l _L m , 所以“ l _L m ”是“ l /a的必要不充分条件，故选 B.【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系.【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究.14.12015高考新课标2,理6】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为【解析】由三视图得,在正方体ABCD ABC1D1中，截

19、去四面体 A ABD,如图所示，设正方体棱1 1=a3 231,故剩余几何体体积为 a - a 635 3 一 =a ,所以截去部分体积与剩余部61,分体积的比值为 一，故选D.5【考点定位】三视图.【名师点睛】本题以正方体为背景考查三视图、几何体体积的运算，要求有一定的空间想象能力，关键是能从三视图确定截面，进而求体积比，属于中档题.【2015高考上海，理 6】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2兀,则其母线与轴的夹角的大小为.1真【解析】由题意得：nrl :( h 2r) =2冗=l =2h= 母线与轴的夹角为 一23【考点定位】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计

20、算方法.如 圆柱的侧面积 S=2nrl,圆柱的表面积 S=2nr(r+l),圆锥的侧面积 S=nrl ,圆锥的表面积 S=nr(r+l),球体的表面积S=4jiR2,圆锥轴截面为等腰三角形【2015高考上海，理4】若正三棱柱的所有棱长均为a ,且其体积为16J3 ,则a =【答案】4【解析】a a2 =16j3=- a3 =64= a =4 4【考点定位】正三棱柱的体积【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为V=Sh,区别锥的体积VSh；熟记正三角形面积为 W3a2,正

21、六边形的面积为 6M43a2. 34415.12015高考四川，理14如图，四边形 ABCD ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M在线段PQ上，E、F分别为AB BC的中点。设异面直线 EM与AF所成的角为6,则cos6的最大值为 .-2【答案】5【解析】 建立坐标系如图所示一设= 1,则工=0), G, 0.0) 一设3/ 0:rJX0 Y-,当t =1时取等号.所以81c 5t -2 5t1 1-2+2丫2(1 y) 122-cosO = 2 j 2=(, g- :俯视图3【解析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1 ,高为2的圆柱，两端是底面半径为 1 ,高为

22、TOC o 1-5 h z 21281的圆锥，所以该几何体的体积 V=1 XU X2+2X-X1 Mnx1= n. 33【考点定位】三视图与旋转体体积公式.【名师点睛】主要考查三视图与旋转体体积公式及空间想象能力、运算能力.识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对旋转体体积公式的掌握与应用、计算能力17.12015高考浙江，理13如图，三棱锥A-BCD中，AB = AC = BD =CD = 3,AD = BC = 2 ,点M ,N分别是AD,BC的中点，则异面直线 AN , CM所成的角的余弦值是 .【解析

23、】试题分析】如下图，连结力工，取力H中点尸，连结HI1，PC,则可知一Rl/r即为异面直 TOC o 1-5 h z 线a.v, CJ/所成角（或其补角易得=JLpc =腔，S =ET =忑,cm = dac二 7M 二 WLS + 2-J._，aw -FYC =口-产=一，即异面直线4丁，CM所成角的余弦值二-SS【考点定位】异面直线的夹角.【名师点睛】本题主要考查了异面直线夹角的求解，属于中档题，分析条件中出现的中点，可以考虑利用 三角形的中位线性质利用平移产生异面直线的夹角，再利用余弦定理的变式即可求解，在复习时应了解两 条异面直线夹角的范围，常见的求异面直线夹角的方法等知识点8的圆柱各

24、18.12015江苏高考，9】现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为4的圆锥和底面半径为 2、高为 一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底 面半径为【答案】7122122-【解析】由体积相等得：一M4XnX5 +n父2父8=Mr父h父4+冗父父8=。733【考点定位】圆柱及圆锥体积【名师点晴】求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积 比等.(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积

25、的几何体.19.12015高考新课标2,理19(本题满分12分)CD上,如图，长方体 ABCD ABC1D1 中，AB=16 , BC=10, AA=8,点 E, F 分别在 AB1 ,AE = DiF =4 .过点E , F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.AiA（I ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）d ）求直线 AF与平面a所成角的正弦值.【答案】（I）详见解析；（n）迤15【解析】（I ）交线围成的正方形广如图:（H）作EM 垂足为M, M AV=4 = 4S =S,因为EM3F为正方形，所以EH = EF = BC = 10.于是=6,所以.婚=10,以D为坐

26、标原点，厉的方向为工轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-写二，则HQOJOe）, EQCU肯）,肆-FE L 一 却| r . .2 0.Qm = Q._,；、八所以可取片=，又一F = (T0.4.S)，故-6i +Sc =0,cos =用万二空.所以直F(O,4rS), / = (10,0,0) HE = (0: -6:$).设是平面EHGF 的法向量.则缓AF与平面值所成角的正弦值为 正15【考点定位】1、直线和平面平行的性质； 2、直线和平面所成的角.【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面a与长方体的面的交线；由交线的位置可确定公共点的位置，坐标法是求解空间角问题时常用

27、的方法，但因其计算量大的特点很容易出错，故坐标系的选择是很重要的，便于用坐标表示相关点， 先求出面a的法向量，利用sin0 = coscn, AF求直线AF与平面a所成角的正弦值.20.12015江苏高考，16（本题满分14分）如图，在直三棱柱 ABC ABC1中，已知AC _L BC , BC =CC1 ,设AB的中点为D , B1CH BC1 = E.求证：（1） DE 平面AAGC；(2) BC1 AB1.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（1）由三棱锥性质知侧面 BBQQ为平行四边形，因此点E为BC的中点，从而由三角形中位线性质得口 .式，再由箍平行判定定理得力 平面

28、此土。豆）因为直三棱柱中BC = CO r所以侧面5BU为正方形,因此交；区C,又3C_BCHCC：（可由直三棱柱推导）, 因此由线面垂直判定定理得平面sm（?c从而再由线面垂直判定定理得熨 平面进而可得3C：_q3：试题解析工（1）由题意知，E为B：C的中点，又D为AB：的中点，因此DE AC.又因为D E二平面.上七C： C, 4c二平面.uBP,则cosCQ,DP=2=(0M九W),再-102利用导数求其最值，确定点Q坐标，最后利用向量模求线段BQ的长试题解析：以aB：；D, AP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则各点的坐标为 B(1,0,0 ), C(1,1,0 ),

29、 D(0,2,0), P(0,0,2).(1)因为AD _L平面PAB ,所以TD是平面PAB的一个法向量，AD =(0,2,0 ).因为显= (1,1,2), PD=(0,2,-2).设平面PCD的法向量为m = (x, y,z ),则mPC=0，m PD =0 x y - 2z = 0，即y2y-2z = 0令 y =1,解得 z =1, x =1.所以m = (1,1,1 )是平面PCD的一个法向量.从而 cos -D, m .1二AD m _AD而v3 一，3二二，所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为 丫333(2)因为 BP =(-1,0,2 ),设 BQ = ?uBP =

30、(九,0,2九)(0MZM1),又丽= |QTO1,则氏=函-的二I-ATU i,又加nQm, /XS fT5 _ CQ DP _ 1 + .上 从而(CQDPbpn；/?- g/反一加) = - =J |.2 .求直线l与平面a所成的角0可先求出平面 a的法向量n与直线l的方向向量a的夹角.则sin 0 = |cos |.3 .求二面角 a -l - 3的大小0 ,可先求出两个平面的法向量 m,m所成的角，则 0 =ni,母或兀一.23.12015高考福建，理17】如图，在几彳S体ABCDEK四边形ABC比矩形，A眇 平面BEQBEA EQAB=BE=EC=2 G, F分别是线段BE, DC

31、的中点.(I )求证：GF / /平面ADE ;(n)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.2【答案】(i)详见解析；(n) 2 .3【解析】解法一：(I)如图，取 AE的中点H ,连接HG , HD ,又G是BE的中点，1所以 GH Lab ，且 GH= - AB ,21又F是CD中点，所以DF=CD,由四边形ABC比矩形得，ABJCD, AB=CD ,所以 2GHDF,且GH=DF.从而四边形HGFD是平行四边形，所以 GF /DH ,，又(n)如图，在平面BEC内，过点DH趟平面ADE , GF 平面ADE ,所以GPU平面ADE .B作 BQEC，因为 BEA CE,所以 BQ

32、 A BE .又因为 ABA平面BEC 所以ABA BE, ABA BQA(0,0,2),以B为原点，分别以 BE,BQ,BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(0,0,0) , E(2,0,0) , F(2,2,1).因为 ABA 平面 BEC 所以 BA=( 0,0,2)为平面 BEC的法向量,、j ，一t r设 n = (x,y,z)为平面 AEF的法向量.又 AE = (2,0,-2) ,AF=(2,2,-1)上演AE =0,/口 1 2x-2z = 0,仃 /J由触一 得取z = 2得 n=(2,-1,2).筋LAF =0, ?2x + 2y- z = 0,从而

33、 co/, BA = 3nLBA =- =2,|n|BA | 3 2 32所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角白余弦值为 一.3解法二：(I )如图，取AB中点M ,连接MG , MF ,又G是BE的中点，可知GM/AE,又二面上0, G.1/二面所以G3/ 平面.红江.在矩形A2CD中，由M, F分别是AB, C D的中点得.9.又匚面HDE, UF w面ADE,所以比 面XOE.又因为 GM FF = M , GM 面 GIF , J/F 二面 GF ,所以面GYF 平面FE,因为GF二面&UF ,所2GY 平面aEE一又(n)同解法一.【考点定位】1、直线和平面平行的判断；2、面面平行

34、的判断和性质；3、二面角.【名师点睛】本题考查直线和平面平行的证明和二面角求法，直线和平面平行首先是利用其判定定理，或者利用面面平行的性质来证，注意线线平行、线面平行、面面平行的转化；利用坐标法求二面角，主要是 空间直角坐标系的建立要恰当，便于用坐标表示相关点，求出半平面法向量夹角后，要观察二面角是锐角 还是钝角，正确写出二面角的余弦值.24.12015 高考浙江，理 17如图，在三柱 ABCABG-中，/BAC=901 AB = AC = 2 , AA = 4,A在底面ABC的射影为BC的中点，D为BiCi的中点.(1)证明：A1D_L 平面 ABC;(2)求二面角 A1-BD- B1的平面

35、角的余弦值GAB，1【答案】（1）详见解析；（2）.8试题分析：（1）根据条件首先证得 AE _L平面ABC ,再证明AD /AE ,即可得证；（2）作AF _LBD ,且A,F|BD =F ,可证明/人581为二面角 A BD B1的平面角，再由1余弦定理即可求得 C0S/AFB1 =-，从而求解.8试题解析：（1）设E为BC的中点，由题意得 AE _L平面ABC，.-AE_L AE , ; AB = AC , ，AE _L BC ,故AE，平面ABC,由D, E分别BG, BC的中点，得DE/BB且 DE=BB,从而DE/AA, 四边形 AAED为平行四边形，故 AD/AE ,又 AE _

36、L 平面 ABG,AD_L平面 ABG； （2）作 AF _LBD ,且 AFriBD = F ,连结 BF ,由 AE =EB=a/2, /AEA=/AEB=90，得 A1B=A1A = 4,由 A1D= B1D ,AB = B1B,得 明DB 三 AB1DB ,由 A1F，BD ,得 B1F _L BD ,因此/入581为二面角A BD 31的平面角，由 AD=V2, AB=4, NDAB =90 ,得 BD =3衣，41AF =B1F =-，由余弦te理得，cos/AFB1= 一一.38【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解【名师点睛】本题主要考查了线面垂直的判定与性质以

37、及二面角的求解，属于中档题，在解题时，应观察各个直线与平面之间的位置关系，结合线面垂直的判定即可求解，在求二面角时，可以利用图形中的位置关系，求得二面角的平面角，从而求解，在求解过程当中，通常会结合一些初中阶段学习的平面几何知识，例如三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，在复习时应予以关注.25.12015高考山东，理17如图，在三棱台 DEF ABC中，AB = 2DE ,G,H分别为AC,BC的中点.（I）求证：BD /平面FGH ；（n）若 CF _L平面 ABC , AB _LBC,CF = DE , /BAC =450 ,求平面 FGH 与平面 ACFD

38、所成的角（锐角）的大小.【答案】（I ）详见解析；（II ） 60：【解析】试题分析：（I）思路一：连接 DG,CD ,设CDplGF =0，连接OH ,先证明OH /BD ,从而由直线与平面平行的判定定理得 BD/平面HDF ;思路二：先证明平面FGH / /平面 ABED ,再由平面与平面平行的定义得到 BD / /平面HDF .(II )思路一：连接 DG,CD ,设CD p|GF =O ,连接OH ,证明GB,GC,GD 两两垂直，以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz,利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM 1 AC于点M ，作MN _LGF于点N ，连接NH

39、 ,证明ZMNH 即为所求的角，然后在三角形中求解 .试题解析：(I)证法一：连接 DG,CD ,设 CDp|GF =0,连接 OH ,在三台DEF -ABC中，AB =2DE,G为AC的中点可得 DF /GC,DF =GC所以四边形DFCG为平行四边形则0为CD的中点又H为BC的中点所以OH /BD又OH u平面FGH , BD g平面FGH ,所以BD /平面FGH .在三台DEF -ABC中,由BC =2EF,H为BC的中点可得 BH EF/H =EF,所以四边形BHFE为平行四边形可得BE HF在 取网?中，G为工。的中点，H为BC的中照,所以GH ABV GH - HF = H、所以

40、平面FGH 平面ABED因为 BD u平面 ABED所以BD/平面FGH(II )解法一：设 AB =2 ,则 CF =1在三台DEF -ABC中，G为AC的中点1 一由 DF = AC =GC , 2可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG /CF又FC _L平面ABC所以DG _L平面ABC在 MBC 中，由 AB _L BC/BAC =45； , G 是 AC 中点,所以 AB = BC,GB _GC因此GB,GC,GD两两垂直，以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz所以 G 0,0,0 ,B , 2,0,0 ,C 02,0 ,D 0,0,1“f板近、L可得 H c ,

41、c ,0 ,F（0,72,1 ）I2 2 ）,0 ,GF =（0，衣1 ）设 n = x, y, zN Tn GH =0, 由4 4n GF =0,是平面FGH 的一个法向量，则|x y = 0可得.2y z = 0可得平面FGH的一个法向量n -11, -1, , 2因为GB是平面ACFD 的一个法向量， GB =( J2,0,0 )所以 cos : GB,n =邳%二 2|GB| |n| 2.2所以平面与平面所成的解 (锐角)的大小为60； 解法二：作HM 1 AC 于点M ，作MN _LGF 于点N ，连接NH由 FC _L 平面 ABC ，得 HM _L FC又 FC。AC =C所以H

42、M _L平面ACFD因止匕GF _ NH所以/MNH 即为所求的角 /在必GC中，】田 BGIH =-BG = 由 3GA” s SGCF日GM 可得一=FC GF从而p =立 6由MH 平面ACFDIX二平面ACFDTJf因此 tan TAN =#V y所以平面FGH与平面ACFD所成角（锐角）的大小为 60：.【考点定位】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立几何中的证明与求解， 意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，

43、要注 意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性 26.12015高考天津，理17（本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD- ABCX,侧棱A A-L 底面 ABCD, AB -L AC , AB = 1,AC = AA =2,AD = CD= 芯，且点M和N分别为BC和DQ的中点.（I）求证：MN 平面ABCD ；(II)求二面角D1- AC- B1的正弦值;1(III)设E为棱AB上的点，若直线 NE和平面ABCD所成角的正弦值为 ,求线段AE的长 3【答案】(I)见解析；(II)以10 ； (iii) 2.101【解析】如图，以 A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),

44、 B(0,1,0), C(2,0,0), D(1,-2,0), _1 1，又因为M , N分别为B1c和D1D的中点，得M 1-,1 ,N(1,-2,1).2 2)Az5 MN 10,0 ,2由此可得，mN(I)证明：依题意，可得 n =(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量, n = 0,又因为直线 MN0平面ABCD ,所以MN 平面ABCD(II) AD1=(1,2,2), AC =(2,0,0),设 n1 = (x, y,z)为平面 ACd 的法向量，则n1AD1 = 0 口 u x-2y 2z=0T ，即 ，不妨设 z = 1 ,可得 n1 =(0,1,1),ni AC =0 J2

45、x =0设n2 =(x, y,z)为平面ACR的一个法向量，则 *粤:0,又滞= (0,1,2),得n2 AC =0y 2z =0 E是AD的中点，一BAD=三，所以BE_：二即在图 2 中，BE _OA :, BE.OC从而BE 一平面AOC 又CD BE,所以CD 一平面，OU(II)由已知，平面 ABE _L 平面 BCDE,又由(I)知，BE _LOA, , BE _L OC所以/AOC为二面角A-BE-C的平面角，所以 NAOC=.2如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为 AB=AE=BC=ED=1 , BC/ED所以 B(2,0,0),E(-2,0,0),A i(0,0噂),C

46、(0呼,0),口 T 22得BC( , ,0),22K(”A1必07 2,CD = BE = (- .2,0,0).设平面ABC的法向量ni = (Xi,yi,Zi),平面ACD的法向量” = (x2, V222),平面ABC与平面ACD夹ni AC =0-x1yl =0，得 1 ，取=(1,1,1), X -乙=0CD. =0 /曰一 ，得X2 = 0n2 AC =0，取 rb =(0,1,1),，一. 7F 26从而 cos日弓 cosg, n2)|=-?=，3 .23即平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为 3考点：i、线面垂直;2、.面角；3、空间直角坐标系；4、空间向量在立体几何中的应

47、用【名师点晴】本题主要考查的是线面垂直、二面角、空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属 于中档题.解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误.证明线面垂直的关 键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线.31.12015高考新课标1,理18如图，四边形 ABCD；菱形，/ ABC120。，E, F是平面ABCa一侧的两点，BE1 平面 ABCD DFL平面 ABCD BE=2DF AE! EC（I ）证明：平面 AECL平面AFC（n）求直线 AE与直线CF所成角的余弦值.【答案】（I ）见解析（n ）【解

48、析】试题分析：（I ）连接3Q,设3AC=G,连接EG, 5G,三3在菱形J3CD中，不妨用易五三G_L， 通过计算可证三GLFG，根据线面垂直判定定理可知EG,平面、比，由面面垂直判定定理知平面二文：一不 面.二口（ II）以G为坐标原点，分别以的方向为a轴，j轴正方向，G3为单位*三.，空立空间 直角坐标系鼻沟二，利用向量法可求出异面直线上三与U二所成角的余弦值.试题解析工（ I ）隹接3D,设33 AC=G,连接 2 FG, EF,在瓢 A3C3中,不妨设叮5=1,由可得AG=GC=布.由EX,平面33仁;，上可知，又. AE! ECEG., EGL AC,在RtAEBG,可得BE= x

49、 2 ,故 DF= 2在RtAFDG,可得FG 6FG 2在直角梯形BDF计,由 BD=2, BE=J2, DF=，2可得 EF=X2,22 EG2 +FG2 =EF2 ,EGLFG ACn FG=G EGL平面 AFC.EGP面AEC 平面 AFCL平面AEC6分(n)如图，以 G为坐标原点，分别以 GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长度，建立空间2直角坐标系 G-xyz,由(I)可得 A (0, B 0),日1,0,J2), F ( 1,0 , =), C (0, J3 , 0),aE=(i,褥，应)，cF =(-1故 cos ：AE,CF =AE*CF 3|AE|CF|

50、3 3所以直线AE与CF所成的角的余弦值为 7312分3【考点定位】空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路 2:利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对异面直线所成角问题，也有两种思路，思路1:几何法，步骤为一找二作三证四解，一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角，若没有，则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角，再证明该角是异面直线所成角，利用解三角形解出该角32.12015高考北京，理17】如图，在四麴t

51、 A-EFCB中，AAEF为等边三角形，平面AEF，平面EFCB , EF / BC , BC=4, EF =2a , NEBC =/FCB =60 1。为 ef 的中点.(I )求证：AO _LBE ；(n )求二面角F -AE -B的余弦值；(出)若BE _L平面AOC ,求a的值.AC【答案】（1）证明见解析，（2） 一 乂5,（3）a = 453【解析】试题分析：证明线线垂直可寻求续面垂直，利用题目提供的面面垂直平面上EF下面注 质定理证明R0 _平面三5c3.进而得出线线垂直，第二步建立空间直角坐标系，A 3壮大点的坐标： 平面AZh的法向量易得，只需求平面AEm的法向量，设平面AE

52、3的法向量，利用建线垂直.数氧只 为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值.第三步由于0.迸，要想3E 一 平面X,只需四一比，利用向量标石的坐标，借助数量积为零，求出m的值，根据实际问题予以取舍.试题解析：（I）由于平面 AEF _L平面EFCB , AAEF为等边三角形，O为EF的中点，则AO .L EF , 根据面面垂直性质定理，所以 AO _L平面EFCB又BE U平面EFCB ,则AO _L BE .（）取CB的中点D,连接OD,以O为原点，分别以OE OD OA为x、y、z轴建立空间直角坐标系,A。,。岳），日a,0,0）, B（2,2 百岛,0）, AE = （

53、a,0,-耶a）, EB = （2 - a,2 73 -相,0）,由于平面AEF与y轴垂直，则设平面 AEF的法向量为=（0,1,0）,设平面AEB的法向量n2=(x,y,1) ,n21 a1 ax-73a= 0, x =V3,n21 EB, (2 -a)x+(2/3-/3a)y= 0 ,cos n1, n2 =_ -1 _二：5 二一y = 一1 ,则 n2 =( 73, -1,1),二面角 f -ae -B 的余弦值,5、 ,由二面角 F -AE -B为钝二面角，所以二面角 F -AE -B5的余弦值为-色5(出)有(1)知 AO _L 平面 EFCB 则 AO _L BE ,若 BE _

54、L平面 AOC ,只需 BE _L OC,EB =(2 - a, 2/3 -岳,0),又 OC = ( 2,2 4 &0),BE OC = -2；2 -a) +(273 J3a)2 = 0,解得 a = 2或 a =,由于 a 2,则 a = 33考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题【名师点睛】本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关垂 直的判定定理和性质定理进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化与证明，另外利用空间向量解题 时，要建立适当的直

55、角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求二面角，利用数量积为零，解决线 线、线面垂直问题.33.12015高考广东，理18如图2,三角形PDC所在的平面与长方形 ABCD所在的平面垂直，PD = PC = 4 ,AB = 6, BC =3.点E是CD边的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB, CG = 2GB .(1)证明：PE _LFG ;(2)求一面角P - AD - C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.PA图 2 FB【答案】(1)见解析；(2) Y7; (3)坦5.325【解析】(1)证明： PD=PC且点E为CD的中点，. PE _L DC ,又

56、T PDC _LT ABCD ,且T PDC Q T ABCD. PE _L平面ABCD，又FG仁平面ABCD ,=CD , PEC 平面 PDC ,PE _L FG ;P(2)ABCD 是矩形,A AD-DCf又平面尸门(？ 一平面/BCD,且平面平面H3(?D = UD,UD二平面-*. MD 一平面PUD,又 CZX PD 二平面 PDC,AD - DC t AD _ PD，二上也即为二面角产-“0-C,的平面角，在五3PZXE 中，FD 4,DE = AB = 3, PE =PD三-DE：=诉*inPDC =言=卓即二面角PTD-C的正切值为,(3)如下图所示，连接 AC,AF=2FB

57、, CG =2GB 即尤=CG =2 FB GB . AC/FG,/PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角,在 APAC 中，PA =，PD2+AD2 =5, AC =JAD2+CD2 =3石，由余弦定理可得cos-PACPA2 AC2 - PC22 PA AC52 +(375)2 -429反2 5 3 525直线PA与直线FG所成角的余弦值为述.25【考点定位】直线与直线垂直、二面角、异面直线所成角.【名师点睛】本题主要考查平面与平面垂直，直线与平面垂直，直线与直线垂直，二面角，异面直线所成 角等基础知识和空间想象能力、转化与化归思想、运算求解能力，属于中档题，本题整体难度不大，无论 是利

58、用空间向量方法还是传统的几何法都容易入手解答，但解答过程需注意逻辑性和书写的规范性.【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台 ABCD - ABCQi上、下底面分别是边长为 3和6的正方形,AA =6 ,且AA _L底面ABCD，点P , Q分别在棱DDi, BC上.(1)若P是DDi的中点，证明： AB _LPQ；3(2)若PQ/平面ABB1A,二面角P-QD A的余弦值为一，求四面体ADPQ的体积.7【答案】(1)详见解析；(2) 24.【解析】试题分析：(1)建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明ab1 PQ=0; (2)根据条件二面角P-QD-A的余弦值为-,利用空间向量可将四面体 ADPQ视为以AADQ为底面的三棱锥7P -ADQ，其高h =4 ,从而求解试题解析：解法一由题设知，AA1 , AB, AD两两垂直，以 A为坐标原点， AB , AD , AA1所在直线分别为丁轴，j轴，二轴,建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为一式。，妣。-6).Z)i；0:670), D】(036) , 0(6j%0),其中明二0, 06* 若产是DD的中点，则产地之斗 而 =。6),于是否亘=18-16=0,，工J一 %,即一烟一F。；。由题设知，